równania różniczkowe drugiego rzędu
Transkrypt
równania różniczkowe drugiego rzędu
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE DRUGIEGO RZĘDU XII. Równania liniowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach ay '' by ' cy r x Metoda przewidywań y y j yp ETAP 1: Rozwiązujemy równanie jednorodne. ay '' by ' cy 0 ar 2 br c 0 ? 0 r1 , r2 0 r0 0 r1 i r2 i y j C1er1x C2er2 x y j C1er0 x C2 xer0 x y j e x C1 cos x C2 sin x Mamy rozwiązanie jednorodne: y j ETAP 2: Znajdujemy „rozwiązanie przewidywane”. Bierzemy pod uwagę r x z równania ay by cy r x i określamy postać ogólną y p r x yp WIELOMIAN POSTAĆ OGÓLNA WIELOMIANU TEGO SAMEGO STOPNIA (POSTAĆ OGÓLNA WIELOMIANU TEGO SAMEGO STOPNIA) eax (POSTAĆ OGÓLNA WIELOMIANU TEGO SAMEGO STOPNIA) sin ax + (POSTAĆ OGÓLNA WIELOMIANU TEGO SAMEGO STOPNIA) cos ax (POSTAĆ OGÓLNA WIELOMIANU TEGO SAMEGO STOPNIA) eax sin bx + (POSTAĆ OGÓLNA WIELOMIANU TEGO SAMEGO STOPNIA) eax cos bx WIELOMIAN eax WIELOMIAN sin ax + WIELOMIAN cos ax WIELOMIAN eax sin bx + WIELOMIAN eax cos bx Z postaci ogólnej y p liczymy pochodną i pochodną drugiego rzędu y p , y p , wstawiamy do równania ay by cy r x i wyznaczamy stałe do postaci ogólnej y p poprzez porównywanie wielomianów. Mamy rozwiązanie przewidywane: y p Odp. y y j y p Metoda uzmienniania stałych ay '' by ' cy r x ETAP 1: Rozwiązujemy równanie jednorodne (jak wyżej). Mamy rozwiązanie jednorodne: y j W rozwiązaniu tym „uzmienniamy stałe” i mamy: y C1 x C2 x ETAP 2: Tworzymy układ równań: C x C x 0 2 1 r x C1 x C2 x a Rozwiązujemy go (układ Cramera), wyznaczamy C1 x i C2 x , wstawiamy je do otrzymanego w ETAPIE 1 związku y C1 x C2 x i mamy odpowiedź. XIII. Równanie sprowadzalne do rzędu pierwszego typu F x, y '' 0 Równanie y obustronnie całkujemy. XIV. Równanie sprowadzalne do rzędu pierwszego typu F x, y ', y '' 0 Podstawiamy p y . XV. Równanie sprowadzalne do rzędu pierwszego typu F y, y ', y '' 0 Podstawiamy u y y . Podstawiona funkcja jest funkcją zmiennej y.