Fraktale - ciąg dalszy

Fraktale - cią
ciąg dalszy
1. Kolejna pró
próba definicji fraktala
• Kolejna pró
próba definicji fraktala
Jak Mandelbrot zdefiniował
zdefiniował fraktal ?
Co to jest wymiar fraktalny zbioru ?
Benoit Mandelbrot - The Fractal Geometry of Nature,
Nature, 1983.
1.1. Cechy okreś
określają
lające fraktal
Fraktal ma trzy wł
własnoś
asności.
• Nie jest bezpoś
bezpośrednio okreś
określony wzorem, lecz przy pomocy
algorytmu rekurencyjnego.
rekurencyjnego.
• Ukł
Układy odwzorowań
odwzorowań iterowanych (IFS)
(IFS
Przykł
Przykład konstrukcji pewnego zbioru.
Elementy ogó
ogólniejszej teorii wyjaś
wyjaśniają
niającej
fenomen powstał
powstałego zbioru.
• Ma wł
własność
asność samopodobień
samopodobieństwa (część
(część faraktala
przypomina cał
całość).
ść).
• Wymiar fraktala nie jest liczbą
liczbą cał
całkowitą
kowitą
1
2
Definicja wymiaru Hausdorffa (1919)
1.2. Wymiar fraktalny
Definicja wymiaru Koł
Kołmogorowa (1958)
Wiadomo, że
Wymiar zbioru wedł
według Koł
Kołmogorowa (dla R2)
• punkt ma wymiar 0,
Pokrywa się
się zbió
zbiór siatką
siatką figur geometrycznych
(np. kwadrató
kwadratów) o boku ró
równym ε i oblicza liczbę
liczbę d.
• odcinek ma wymiar 1,
• kwadrat ma wymiar 2,
ε - rozmiar „oczka”
oczka” siatki
N(ε
N(ε) - najmniejsza liczba
• sześ
sześcian ma wymiar 3
• i tak dalej.
„oczek”
oczek”, potrzebna
do pokrycia zbioru
Jaki wymiar mają
mają, zbió
zbiór Cantora,
Cantora, tró
trójką
jkąt Sierpiń
Sierpińskiego czy
zbió
zbiór Mandelbrota ?
ε
d = lim
Wydaje się
się dość
dość sensowne uogó
uogólnienie poję
pojęcia wymiaru na
liczby niecał
niecałkowite.
ε →0
ε
3
log N ( ε )
log( 1 )
ε
4
1
Przykł
Przykład 1 - tró
trójką
jkąt Sierpiń
Sierpińskiego
Przykł
Przykład 2 - tró
trójką
jkąt ró
równoboczny
ε = 1, N(ε
N(ε) = 1
ε = 1, N(ε
N(ε) = 1
ε = 1/2, N(ε
N(ε) = 3
ε
ε
ε
...
ε = 1/4, N(ε
N(ε) = 9
ε = (1/2) n, N(ε
N(ε) = 3 n
ε = 1/2, N(ε
N(ε) = 4
ε
ε = 1/4, N(ε
N(ε) = 16
...
ε = (1/2) n, N(ε
N(ε) = 4 n
ε
ε
log N ( ε )
log( 3 n ) log 3
= lim
=
= 1 ,584962501 ...
n
ε → 0 log( 1
) n → ∞ log( 2 ) log 2
ε
d = lim
log N ( ε )
log( 4 n ) log 4 2 log 2
= lim
=
=
=2
n
ε → 0 log( 1
) n → ∞ log( 2 ) log 2 log 2
ε
d = lim
5
2. Ukł
Układy odwzorowań
odwzorowań iterowanych (IFS)
Wymiar fraktalny dla niektó
niektórych zbioró
zbiorów:
• krzywa von Kocha
d = log2/log3 = 0,630929... ,
d = log4/log3 = 1,261869... ,
• tró
trójką
jkąt Sierpiń
Sierpińskiego
• dywan Sierpiń
Sierpińskiego
d = log3/log3 = 1,584962... ,
d = log8/log3 = 1,892789... ,
• zbiór Cantora
• brzeg zbioru Mandelbrota
IFS - Iterated Function System
2.1. Odwzorowania afiniczne
Rozważ
Rozważmy nastę
następują
pujące odwzorowanie w R2
ϕ : ( x , y ) → ( x′ , y′ )
d= ?
gdzie
x, y)
gdzi (x,
y i ( x′, y′ ) są punktami pł
płaszczyzny.
aszczyzny
Zastosowanie - filtracja fraktalna obrazu
punkt na obrazie
obszar, w kt
któ
órym obliczany jest d
d ≤ 0 ,75 punkt usuwa się
6
Rozpatrywana bę
będzie szczegó
szczególna postać
postać odwzorowania φ, tak
zwane odwzorowanie afiniczne opisane wzorem
punkt na obrazie
obszar, w kt
któ
órym obliczany jest d
ϕ:
d > 0 ,75 punkt pozostaje
7
x′ = ax + by + c
y′ = dx + ey + f
8
2
Algorytm generacji zbioru oparty na odwzorowaniach
φ1, φ2, φ2, φ4 jest nastę
następują
pujący:
Definicja 1:
Odwzorowanie afiniczne nazywamy
zwęż
ają
ącym,
jeś
każ
odcinek
poddany
temu
zwężaj
jeśli
każdy
przekształ
przekształceniu ulega skró
skróceniu.
Przykł
Przykład 3
Niech bę
będą dane odwzorowania afiniczne φ1, φ2, φ2, φ4
o wspó
współczynnikach zapisanych w tabeli 1 oraz liczby s i p
Tabela 1
φ
φ
φ
φ
φ
1
2
3
4
2. Ze zbioru czterech odwzorowań
odwzorowań φ1, φ2, φ2, φ4
wylosować
wylosować jedno, posł
posługują
ugując się
się generatorem
dyskretnej zmiennej losowej np.
(pi =1/4; i=1, 2, 3, 4 )
a
b
c
d
e
f
s
p
-0,67 -0.02 0,00 -0,18 0,81 10,0 0,8613 0,5460
0,40 0.40 0,00 -0,10 0,40 0,0 0,6217 0,2000
-0,40 -0.40 0,00 -0,10 0,40 0,0 0,6217 0,2000
-0,10 0.00 0,00 0,44 0,44 -2,0 0,6263 0,0440
s - długość
ugość odcinka [0,1], poddanego odwzorowaniu φi
p - pole figury o polu 1, poddanej odwzorowaniu φi
1. Za punkt startowy procesu generacji zbioru wybrać
wybrać
2
dowolny punkt pł
płaszczyzny R .
3. Uż
Używają
ywając wylosowanego odwzorowania wyliczyć
wyliczyć
wspó
współrzę
rzędne nowego punktu pł
płaszczyzny R2
4. Przyjąć
Przyjąć wyliczony punkt, jako nowy punkt startowy
i powtó
powtórzyć
rzyć krok 2.
9
Po wykonaniu 10.000 iteracji obraz uzyskanego zbioru
wyglą
wygląda tak:
10
a po wykonaniu 10.000.000 iteracji tak:
11
12
3
Wniosek:
Przykład 4
Bardzo skomplikowany obiekt jest moż
możliwy do opisania przy
pomocy stosunkowo niewielkiego zbioru informacji:
• 24 liczby ( współczynniki odwzorowań φ1, φ2, φ3, φ4),
• prosty algorytm obliczeniowy.
Pytanie 1:
Czy i jak otrzymany po duż
dużej liczbie iteracji zbió
zbiór zależ
zależy od
punktu startowego algorytmu i jakie są
są własnoś
asności tego zbioru ?
Niech będzie dane następujące odwzorowanie
ϕ ( A ) = ϕ1 ( A ) ∪ ϕ 2 ( A ) ∪ ϕ 3 ( A ) ∪ ϕ 4 ( A )
gdzie A jest podzbiorem przestrzeni R2 a φ1, φ2, φ2, φ4
odwzorowaniami określonymi w tabeli 1.
Zbiór „choinki” można otrzymać przy pomocy algorytmu
deterministycznego w następujący sposób.
1. Za punkt startowy procesu generacji obrać dowolny
podzbiór A0 płaszczyzny R2 , w szczególności punkt .
Pytanie 2:
Jaka jest rola czynnika losowego wystę
występują
pującego
w algorytmie ?
Czy moż
możliwa jest generacja zbioru przy pomocy algorytmu
deterministycznego ?
2. Wygenerować podzbiór A1
A1 = ϕ( A0 )
13
2.2. Podstawy analizy funkcjonalnej
3. Generować
Generować kolejne podzbiory wedł
według reguł
reguły
Ak +1 = ϕ ( Ak )
Niech bę
będzie dany zbió
zbiór pewien zbió
zbiór X.
czyli inaczej
Definicja 2: Metryką
Metryką w zbiorze X nazywamy funkcję
funkcję
d : X × X → R speł
spełniają
niającą nastę
następują
pujące warunki:
A0 - 1 punkt
φ1
φ2
φ3
φ4
...
...
φ1
φ2
φ3
A1 - 4 punkty
φ4
...
...
φ1
...
14
φ2
φ3
•
d( x1 ,x2 ) = 0 ⇔ x1 = x2
•
d( x1 , x2 ) = d( x2 ,x1 )
• d( x1 , x2 )+ d( x2 , x3 ) ≥ d( x1 , x3 )
A2 - 16 punktó
punktów
φ4
Dla przykł
przykładu X=R2 i tzw. metryka euklidesowa
Ak - 4k punktó
punktów
d [( x1 , y1 ),( x2 , y2 )] =
W granicy powstanie ten sam zbió
zbiór co poprzednio.
15
( x1 − x2 )2 + ( y1 − y2 )2
16
4
Definicja 3: Przestrzenią
Przestrzenią metryczną
metryczną nazywamy parę
parę (X, d).
Definicja 4: Cią
Ciąg {x1,x2,…,xi,…} elementó
elementów
metrycznej (X, d) jest cią
ciągiem Cauchy’
Cauchy’ego jeż
jeżeli
d ( xn , xm ) → 0
gdy
przestrzeni
d [ f ( x1 ), f ( x2 ) ] ≤ λ d ( x1 , x 2 )
n→∞
Definicja 5: Jeż
Jeżeli dla każ
każdego cią
ciągu Cauchy’
Cauchy’ego {xi} istnieje w
x∞
przestrzeni metrycznej (X, d) element
taki, że
d ( xn , x∞ ) → 0
gdy
Definicja 6: Operację
ają
ącą w przestrzeni
Operację f nazywamy zwęż
zwężaj
metrycznej (X, d) jeż
jeżeli dla dowolnego x ∈ X zachodzi f ( x )∈ X
i jeż
jeżeli istnieje taka liczba λ ∈ (0 , 1) ,ż
,że dla dowolnych x1 ,x2 ∈ X
speł
spełniony jest warunek Lipschitza w postaci
n→∞
to przestrzeń
przestrzeń (X, d) jest zupeł
zupełna a x∞ nazywa się
się granicą
granicą cią
ciągu
Cauchy’
Cauchy’ego.
ego.
Definicja 7: Rozwią
Rozwiązanie x∞ ró
równania x=f(x) nazywane jest
punktem stał
stałym operacji f .
Twierdzenie (Banacha o odwzorowaniu zwęż
ają
ącym)
zwężaj
W przestrzeni metrycznej zupeł
ają
ąca
zupełnej (X, d) operacja zwęż
zwężaj
ma dokł
dokładnie jeden punkt stał
stały.
17
• 0dległ
0dległość zbioru od zbioru
2.3. Odległość pomiędzy zbiorami
R2
18
Niech (X, d) będzie przestrzenią
przestrzenią metryczną
metryczną zupeł
zupełną (np.
z metryką
metryką euklidesową
euklidesową ) a H(X) przestrzenią
przestrzenią, któ
której
d ( A, B ) = max{d ( x , B ) : x ∈ A}
A
x
d(A,B)
d(A,B)
elementami są
są zwarte i niepuste podzbiory X.
d(B,A)
d(B,A)
Pytanie : Jak okreś
określić
lić metrykę
metrykę w przestrzeni H(X) czyli
odległ
odległość pomię
pomiędzy zbiorami ?
B
d ( B , A ) = max {d ( y , A ) : y ∈ B }
y
• 0dległ
0dległość punktu od zbioru
• 0dległ
0dległość pomię
pomiędzy zbiorami (metryka Hausdorffa)
A
d ( x , B ) = min {d ( x , y ) : y ∈ B}
x
y
d(x,B)
d(x,B)
d ( y , A ) = min {d ( x , y ) : x ∈ A}
d(y,A)
d(y,A)
B
y
x
19
h( A , B ) = max { d ( A , B ), d ( B , A ) }
h(A,
h(A, B) speł
spełnia trzy warunki metryki.
20
5
2.4. Wnioski
•
W zbiorze H(X) okreś
określono metrykę
metrykę h, czyli (H(X), h)
jest przestrzenią
przestrzenią metryczną
metryczną.
•
Dla „choinki”
choinki” generowanej wedł
według algorytmu z rysunku,
moż
można pokazać
pokazać, że kolejne zbiory Aj są elementami H(X)
oraz, że odwzorowanie φ(A) jest zwęż
ają
ące.
zwężaj
A0 - 1 punkt
φ1
φ2
φ3
φ4
... A1 - 4 punkty
...
φ1
φ2
...
φ3
φ4
•
Speł
Spełnione są
są wię
więc
zał
założenia twierdzenia
Banacha, czyli „choinka”
choinka” w
granicy jest zawsze taka
sama i nie zależ
zależy od tego
jaki jest zbió
zbiór A0.
21
6