1.9. Wartość bezwzględna.

1.9. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA
Definicja wartości bezwzględnej
 x......gdy....x ≥ 0
x =
− x....gdy...x < 0
Własności wartości bezwzględnej
x ≥0
x = −x
x⋅ y = x ⋅ y
x
x
=
y
y
n
a n = a , gdy n jest liczbą parzystą
Przykład 1.9.1. Oblicz:
a) 3
b) − 3
e) 1 − 2
f)
c) −
2 −1
g) 3,14 − π
Rozwiązanie
a) 3 = 3
1
3
d) 0
h)
(
3 −3
)2
Komentarz
Wykorzystujemy definicję
x = x gdy x ≥ 0
b) − 3 = 3
Wykorzystujemy definicję
1 1
=
3 3
Wykorzystujemy definicję
c) −
d) 0 = 0
e) 1 − 2 = −1 + 2
x = − x gdy x < 0
x = − x gdy x < 0
Wykorzystujemy definicję
x = x gdy x ≥ 0
1 − 2 jest ujemna, zatem
wykorzystując definicję x = − x gdy x < 0 ,
Liczba
opuszczamy wartość bezwzględną zmieniając
znak.
2 − 1 jest dodatnia, zatem
wykorzystując definicję x = x gdy x ≥ 0 ,
2 −1 = 2 −1
f)
Liczba
g) 3,14 − π = −3,14 + π
opuszczamy wartość bezwzględną nie
zmieniając znaku.
π = 3,14592654... , zatem liczba 3,14 − π
jest ujemna.
Wykorzystując definicję
x = − x gdy x < 0 ,
h)
(
3 −3
)2 =
3 −3 =
opuszczamy wartość bezwzględną zmieniając
znak.
Wykorzystując własność
n n
a = a , gdy n jest liczbą parzystą,
zastępujemy pierwiastek wartością
bezwzględną
3 − 3 jest ujemna, zatem
wykorzystując definicję x = − x gdy x < 0 ,
=− 3 +3
Liczba
opuszczamy wartość bezwzględną zmieniając
znak.
Przykład 1.9.2. WyraŜenie x + 2 − 1 − x , gdy x ∈ (− ∞,−3) zapisz bez uŜycia symbolu
wartości bezwzględnej.
Rozwiązanie
x + 2 − 1 − x = (− x − 2) − (1 − x ) =
Komentarz
WyraŜenie x + 2 dla x ∈ (− ∞,−3) jest
ujemne, zatem opuszczamy wartość
bezwzględną z tego wyraŜenie zmieniając
znak.
WyraŜenie 1 − x dla x ∈ (− ∞,−3) jest
dodatnie, zatem opuszczamy wartość
bezwzględną z tego wyraŜenie nie zmieniając
znaku.
= − x − 2 − 1 + x = −3
Opuszczamy nawiasy, upraszczamy.
Interpretacja wartości bezwzględnej
−a
-a
a
0
a
Wartość bezwzględna liczby jest to odległość tej liczby od zera.
Równania z wartością bezwzględną
Jeśli a > 0 , to x = a ⇔ x = a ∨ x = − a
Jeśli a = 0 , to x = a ⇔ x = 0
Jeśli a < 0 , to x = a ⇔ x ∈ ∅
Nierówności z wartością bezwzględną
Jeśli a > 0 , to x < a ⇔ x < a ∧ x > − a ⇔ x ∈ (− a, a )
Jeśli a > 0 , to x > a ⇔ x > a ∨ x < − a ⇔ x ∈ (− ∞,− a ) ∪ (a,+∞ )
Przykład 1.9.3. Korzystając z interpretacji wartości bezwzględnej rozwiąŜ równania i
nierówności.
a) x = 2
b) x = 0
c) x = −6
d) x < 3
e) x > 2
Rozwiązanie
a) x = 2
x = 2 ∨ x = −2
b) x = 0
x=0
c) x = −6
brak rozwiązania
Komentarz
Równanie
x = 2 spełniają liczby , których
odległość od 0 jest równa 2. Są to 2 i – 2 .
Równanie
x = 0 spełniają liczby , których
odległość od 0 jest równa 0. Jest to 0.
Odległość nie moŜe być liczbą ujemną.
d) x < 3
Nierówność
x < 3 spełniają wszystkie liczby
, których odległość od 0 jest mniejsza od 3.
x ∈ (− 3,3)
e) x > 2
Nierówność
x > 2 spełniają wszystkie liczby
, których odległość od 0 jest większa od 2.
x ∈ (− ∞,−2 ) ∪ (2,+∞ )
Przykład 1.9.4. RozwiąŜ równania
a) x − 3 = 5
b) 3x − 5 = 0
c)
Rozwiązanie
a) x − 3 = 5
x − 3 = 5 lub x − 3 = −5
x = 5+3
x = −5 + 3
x =8
x = −2
Odp. Równanie ma dwa rozwiązania: 8, -2
b) 3x − 5 = 0
3x − 5 = 0
3x = 5 / : 3
Komentarz
Opuszczamy wartość bezwzględną wykorzystując
własność :
Jeśli a > 0 , to x = a ⇔ x = a ∨ x = − a
Rozwiązujemy otrzymane równania.
Opuszczamy wartość bezwzględną wykorzystując
własność :
Jeśli a = 0 , to x = a ⇔ x = 0
Rozwiązujemy otrzymane równanie
5
x=
3
2
x =1
3
Odp. Równanie ma jedno rozwiązanie: 1
− 2x
= 5− x
3
2
3
c)
− 2x
= 5− x
3
−2 x
= 5− x
3
Równanie doprowadzamy do postaci
bx + c = a ,
wykorzystując własności:
x⋅ y = x ⋅ y
,
x
x
=
y
y
2x
= 5 − x /⋅ 3
3
2 x = 15 − 3 x
2 x + 3 x = 15
5 x = 15 / : 5
x =3
x = 3 lub x = −3
Odp. Równanie ma dwa rozwiązania: 3 , -3
Przykład 1.9.5. RozwiąŜ nierówności
a) x ≤ 4
b) x + 3 > 2
Rozwiązanie
a) x ≤ 4
x≤4
i x ≥ −4
Rozwiązujemy otrzymane równanie wykorzystując
własność:
Jeśli a > 0 , to
x = a ⇔ x = a ∨ x = −a
c) x + 1 ≥ 6 − 2 x + 2
Komentarz
Opuszczamy wartość bezwzględną wykorzystując
własność:
Jeśli a > 0 , to x < a ⇔ x < a ∧ x > − a
Rozwiązanie przedstawiamy na osi liczbowej.
x ∈ − 4,4
b) x + 3 > 2
x+3> 2
x > 2−3
x > −1
lub
x + 3 < −2
x < −2 − 3
x < −5
Opuszczamy wartość bezwzględną wykorzystując
własność:
Jeśli a > 0 , to x > a ⇔ x > a ∨ x < −a
Rozwiązujemy otrzymane równania .
Rozwiązania przedstawiamy na osi liczbowej
x ∈ (− ∞,−5) ∪ (− 1,+∞ )
c) x + 1 ≥ 6 − 2 x + 2
Nierówność doprowadzamy do postaci
bx + c ≥ a , wykorzystując własność:
x + 1 ≥ 6 − 2( x + 1)
x⋅ y = x ⋅ y
x +1 ≥ 6 − 2 x +1
x +1 ≥ 6 − 2 x +1
x +1 + 2 x +1 ≥ 6
3 x +1 ≥ 6/ : 3
x +1 ≥ 2
x +1 ≥ 2
x ≥ 2 −1
x ≥1
Opuszczamy wartość bezwzględną wykorzystując
własność:
lub x + 1 ≤ −2
x ≤ −2 − 1
x ≤ −3
Jeśli a > 0 , to x > a ⇔ x > a ∨ x < −a
Rozwiązujemy otrzymane równania .
Rozwiązania przedstawiamy na osi liczbowej
x ∈ (− ∞, − 3 ∪ 1, + ∞ )
ĆWICZENIA
Ćwiczenie 1.9.1. Oblicz:
a) (1pkt.) − 11
b) (1pkt.) 2 3 − 5
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
1
c) (1pkt.)
Odpowiedź
Podanie odpowiedzi.
(4 − 5 )2
Liczba punktów
1
Ćwiczenie 1.9.2. Zapisz podane wyraŜenia bez wartości bezwzględnej, jeśli
a > 0, b < 0 :
2a
a) (1pkt.)
b) (1pkt.) a − b
b
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
1
Odpowiedź
Zapisanie wyraŜeń bez wartości bezwzględnej.
Ćwiczenie 1.9.3. RozwiąŜ równania:
Liczba punktów
1
a) (2pkt.) 2 x − 3 = 4
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1
Zapisanie równania bez wartości bezwzględnej.
1
2
Podania rozwiązań równania.
1
b) (2pkt.)
x 2 + 4x + 4 = 5
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1
Zapisanie równania przy uŜyciu wartości bezwzględnej.
1
2
Podania rozwiązań równania.
1
Ćwiczenie 1.9.4. RozwiąŜ nierówności
a) (2pkt.) x − 3 ≥ 2
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1
Zapisanie nierówności bez wartości bezwzględnej.
1
2
Podanie rozwiązania nierówności w postaci przedziału lub
sumy przedziałów.
1
b) (2pkt.) x + 2 + 2 x + 4 < 12
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
bx + c < a
1
Zapisanie nierówności w postaci
2
Podanie rozwiązania nierówności w postaci przedziału lub
sumy przedziałów.
Liczba punktów
1
1