Analiza Matematyczna dla Informatyków Lista 9 Zadanie 1 Korzystaj

Analiza Matematyczna dla Informatyków
Lista 9
Zadanie 1 Korzystajac
ace
calki:
, z twierdzenia Newtona-Leibniza obliczyć nastepuj
,
,
Z
3
x2
p
Z
xarctg x dx,
−3
Z
1
Z
9 − x2 dx,
1
0
2
√
3/4
Z
dx
,
2 + 3x − 2x2
1
p
3 − 2x − x2 dx,
e
cos(ln x)
dx,
x
Z ∞
e−3x dx,
−1
Z
e2
e
0
dx
,
x ln x
Z ∞
x dx
.
x2 + 4
0
Z
2
1
1
e x2
dx,
x3
Zadanie 2 Obliczyć podane calki z funkcji przedzialami ciag
, lych:
Z1
sgn x − x
2
Z3
dx,
Z1
[ln(x)] dx.
x[x] dx,
−2
−1
1
2
Zadanie 3 Obliczyć pola obszarów ograniczonych nastepuj
acymi
krzywymi:
,
,
a)
b)
x2 + y 2 = 8 i y 2 = 2x;
√
y = cos x − cos3 x i osia, OX dla |x| ≤
π
2;
2
c) x = 0 i x = y (y − 1);
d)* x = a t2 − 1 , y = b 4t − t3 , a > 0, b > 0;
e)* x = 2a cos t − a cos 2t, y = 2a sin t − a sin 2t (kardioida).
n
Zadanie 4 Obliczyć pole obszaru nieogranicznego D = (x, y) ∈ R2 : 0 < y <
x
x4 +1
o
.
Zadanie 5 Obliczyć dlugość luku nastepuj
acych
krzywych:
,
,
d)
y 2 = x3 od poczatku
ukladu wspólrzednych
do punktu (4, 8);
,
,
√
√
2
y = x − x + arcsin x;
Rx √
y = −π/2 cos t dt dla |x| ≤ π2 ;
x = a cos t + ln tg 2t , y = a sin t dla t ∈ π2 ; 3π
4 ;
e)
f)
x = a cos3 t, y = a sin3 t (asteroida) od punktu A = (a, 0) do B = (0, a);
x = R (cos t + t sin t), y = R (sin t − t cos t) (ewoluta okregu)
dla t ∈ (0; π).
,
a)
b)
c)
Zadanie 6 Obliczyć pole powierzchni bocznej nastepuj
acych
bryl obrotowych powstalych przez obrót:
,
,
a)
y = cosh x, x ∈ [0; 1], dookola osi OX;
b)
c)
y = x3 , x ∈ [0, 1], dookola osi OX;
y = tg x, x ∈ 0, π4 , dookola osi OX;
d)* x2/3 + y 2/3 = a2/3 (asteroida) dookola osi OX;
e)* x = a cos3 t, y = a sin3 t (asteroida) dookola osi OX;
f )* x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t) (cykloida) dookola osi OX;
g)* (x − R)2 + y 2 = r2 , 0 < r < R, dookola osi OY .
Zadanie 7 Obliczyć objetość
bryl obrotowych, których powierzchnie boczne powstaly przez obrót nastepuj
acych
krzy,
,
,
wych:
a)
b)
y = x, y = 4x, xy = 1 dookola osi OX;
√
y = 2x, y = 2(x − 1)3/2 dookola osi OX;
c)
y=
√ 1
4+x2
dookola swojej asymptoty;
2
d)* y = e−x , y = 0, dookola jej osi symetrii;
e)* x = a cos3 t, y = a sin3 t (asteroida), t ∈ [0; π], dookola osi OX.
2
R∞ dx
Zadanie 8* Zbadać zbieżność calek
1
xp
oraz
R∞
e−px dx w zależności od parametru p.
a
Zadanie 9 Korzystajac
acych
szeregów:
, z kryterium calkowego zbadać zbieżność nastepuj
,
,
∞
∞
∞
∞
X
X
X
X
1
1
n
ln(n)
,
,
,
.
2+n
2+4
2
n
n
n
n
ln(n)
ln(ln(n))
n=1
n=2
n=1
n=2
Zadanie 10 Korzystajac
, z definicji zbadać zbieżność calek:
∞
Z∞
Z
dx
,
2−x dx,
(x + 2)2
Z∞
Z0
0
π
Z−1
Z∞
(π − arcctg (x)) dx,
1
−∞
−∞
Z0
Zπ
Z3
−1
dx
√
,
5
x2
dx
,
sin(x)
π
2
Zadanie 11 Na przykladzie funkcji f (x) =
dx
,
x2 − 4x + 13
Z∞
3
x2 e−x dx,
−∞
dx
,
x(x − 3)
2
x
1+x2
Z∞
x4
−∞
1
Z∞
dx
√
,
3
3x + 5
dx
,
+4
x cos(x) dx,
Ze
ln(x)
dx.
x
0
pokazać, że zależność
Za
f (x) dx = lim
a→∞
−a
−∞
f (x) dx
nie zawsze jest prawdziwa.
Zadanie 12* Korzystajac
, z kryteriów zbieżności zbadać zbieżność calek:
∞
Z
Z0
Z∞
Z∞
1 + sin(x)
2x
x dx
1
2
√
dx,
dx,
dx,
,
sin
3
3
7
x
x−1
x
x +2
π
−∞
0
1
Z1
0
dx
.
arcsin2 (x)