Ca lka oznaczona - zastosowanie geometryczne 1. Narysowac

CaÃlka oznaczona - zastosowanie geometryczne
1. Narysować krzywe oraz obliczyć pole obszaru ograniczonego przez
te krzywe. (zakÃladamy, że staÃle wystepuj
ace
w zadaniach sa, dodatnie)
,
,
a) x2 = 4y, y =
8
,
x2 +4
b) y = −x2 +4x−3 i stycznymi do tej krzywej w punktach A(3, 0), B(0, −3),
c) y 2 = 8x, y = x1 , x = 8 dla x > 0,
d) x(t) = a(t − sin t), y(y) = a(1 − cos t), y = 0, t ∈ [0; 2π],
e) x(t) = a cos3 t, y(t) = a sin3 t, t ∈ [0; 2π],
f ) r(ϕ) = a, ϕ ∈ [0; 2π],
g) r(ϕ) = a(1 + cos ϕ), ϕ ∈ [0; 2π].
2. Obliczyć dÃlugość Ãluku krzywej.
√
a) f (x) = x, 0 ≤ x ≤ 1,
√
√
b) f (x) = ln x, 3 ≤ x ≤ 8,
c) x(y) = 12 (y 2 − ln y), 1 ≤ y ≤ 2,
√
√
d) f (x) = x − x2 + arcsin x, 0 ≤ x ≤ 1,
e) x(t) = a cos3 t, y(t) = a sin3 t, t ∈ [0; 2π],
f ) x(t) = a(t − sin t), y(y) = a(1 − cos t), t ∈ [0; 2π],
g) r(ϕ) = a(1 + cos ϕ), ϕ ∈ [0; π]
3. Obliczyć objetość
bryÃly powstaÃlej przez obrót dookoÃla osi ox odpowiednio
,
oy krzywych o równaniach
a) y = ex , 0 ≤ x ≤ 1,
b) y = 1 + cos x, 0 ≤ x ≤ π,
c) y 2 = 2x, 0 ≤ x ≤ a,
1
d) (2a − x)y 2 = x3 , 0 ≤ x ≤ b < 2a,
e)
x2
a2
−
y2
b2
= 1, 0 ≤ y ≤ h,
f ) x = arccos y, 0 ≤ y ≤ 1,
g) y =
1
, −h
x2 +1
≤ x ≤ h.
4. Zbadać czy istnieje
skończone pole obszaru ograniczonego krzywymi:
a) y =
1
,
x2
y = x, y = 0 dla x ≥ 0,
b) y = x1 , y = 12 x, y = 0 dla x ≥ 0,
c) y =
x
,
x4 +1
y = 0, dla x ≥ 0,
skończona objetość
bryÃly powstaÃlej przez obrót wokóÃl osi ox krzywej
,
o równaniu
√
d) y = xe−x .
5. Zbadać zbieżność caÃlek:
R +∞
R1
2
a) 0 xe−x dx, b) −1
e)
R1
√ dx ,
0 3 1−x4
f)
R +∞
0
x−1
√
3 5 dx,
x
c)
√arctan2x 3 dx, g)
(1+x )
2
R1
0
Re
ln xdx,
√dx ,
1 x ln x
d)
h)
R +∞
1
R +∞
e2
x4 +x+2
dx,
x5
dx
.
x ln(ln x)