historical volatility

Konstrukcja uśmiechu
zmienności
Dr Piotr Zasępa
Rynek opcji FX
Rynek
Międzybankowy
Market Makerów
Rynek opcji
waniliowych
Opcje egzotyczne
I generacji
Klientowski
(bank/klient)
(bank makler/bank
user)
Kierunkowe opcje
Waniliowe i
egzotyczne
Opcje kierunkowe
Opcje egzotyczne
II generacji
Strategie opcyjne
Zabezpieczające
Strategie kształtujące
Płaszczyznę
zmienności
ATM,risk reversal,FLY
Opcje egzotyczne
III generacji
Opcje i strategie
opcyjne
Jako częśc struktur
Wycena walutowego kontraktu opcyjnego oparta jest
na zmodyfikowanej formule BS nazywanej modelem
Garmana-Kohlhagena opublikowanym w 1982 r.
𝐶 = 𝑆𝑒𝑥𝑝 −𝑟𝑡 𝑁 𝑑+ − 𝐾𝑒𝑥𝑝 −𝑅𝑡 𝑁 𝑑−
𝑃 = 𝐾𝑒𝑥𝑝 −𝑅𝑡 𝑁 −𝑑− − 𝑆𝑒𝑥𝑝 −𝑟𝑡 𝑁 −𝑑+
𝑆
𝜎2
ln 𝐾 + 𝑅 − 𝑟 + 2 𝑇
𝑑+ =
𝑇𝜎
𝑑− = 𝑑+ − 𝜎 𝑇
Analiza zmienności kuru walutowego
• Zmienność (volatility) jest jedynym parametrem
kształtowanym na rynku pochodnym, a nie na
rynku instrumentu bazowego,
• W inżynierii finansowej możemy wskazać
następujące rodzaje zmienności: zmienność
historyczną (historical volatility), zmienność
implikowaną lub rynkową (implied volatility),
zmienność lokalną (local volatility), zmienność
stochastyczną (stochastic volatility).
Zmienność historyczna
• Zmienność historyczna to zaanualizowane
odchylenie standardowe logarytmicznej stopy
zwrotu z ceny danego aktywa S. Z procesu
stochastycznego
wynika,
że:
𝑆𝑡 = 𝑆0 exp( 𝑟𝑑 − 𝑟𝑓 −
1 2
𝜎
2
𝑡 + 𝜎𝑊𝑡 .
• Wyznaczenie zmienności historycznej jest
jedynie podstawą do dalszego prognozowania
zmienności.
1
16
31
46
61
76
91
106
121
136
151
166
181
196
211
226
241
256
271
286
301
316
331
346
361
376
391
406
421
436
451
466
481
496
511
526
541
556
571
586
601
616
631
646
661
676
691
706
721
736
751
Zmienność historyczna
5,0000%
4,0000%
3,0000%
2,0000%
1,0000%
0,0000%
-1,0000%
-2,0000%
-3,0000%
-4,0000%
-5,0000%
Struktura czasowa zmienności
13,5
13
12,5
12
11,5
11
10,5
12.01
19.01
26.01
𝑉𝑂𝐿1,2 =
09.02
23.02
09.03
23.03
(𝑉𝑂𝐿0,2 )2 ∗ 𝑇0,2 − (𝑉𝑂𝐿0,1 )2 ∗ 𝑇0,1
𝑇1,2
06.04
Struktura kursowa zmienności
• W przypadku kursów walutowych problem
wzrostu
zmienności
może
wystąpić
symetrycznie po dwóch stronach kursu w
stosunku do kursu ATM F,
• Dodatkowym
problemem
na
rynku
walutowym jest notowanie zmienności
względem kursu delty.
Krzywa wskazująca na zależność między kursem realizacji i
poziomem zmienności implikowanej ma najczęściej kształt
nazywany uśmiechem zmienności (volatility smile).
16
14
12
10
8
6
4
2
0
1,2
1,25
1,26
1,27
1,28
1,285
1,29
1,295
1,3
1,305
1,31
1,32
1,33
1,34
1,38
1,4
1,45
Płaszczyzna zmienności
• W przypadku, gdyby model Blacka-Scholesa wyceniał opcje
prawidłowo, to zmienność implikowana powinna mieć stałą wartość
niezależną od współczynnika moneyness opcji oraz niezależna od
terminu do wygaśnięcia opcji.
• Rzeczywista płaszczyzna zmienności charakteryzuje się efektem
„uśmiechu zmienności”, czyli zależnością zmienności implikowanej
od ceny wykonania.
• Kształt „uśmiechu zmienności” zależy od siły „efektu dźwigni” w
szeregu stóp zwrotu instrumentu bazowego, czyli wielkości
asymetrii w reakcji inwestorów na dopływające do rynku
wiadomości dobre i złe.
• Efekt dźwigni powoduje asymetrie w „uśmiechu zmienności”, który
nazywany jest wtedy ”grymasem zmienności”.
• Wraz ze wzrostem terminu do wygaśnięcia, kształt „uśmiechu” lub
„grymasu zmienności” staje się bardziej płaski.
Płaszczyzna zmienności
• Dodatkowo wraz ze wzrostem terminu do
wygaśnięcia obserwuje się często wzrost lub
spadek zmienności implikowanej dla opcji o
tym samym współczynniku moneyness.
• Efekt ten nazywa się ”strukturą czasowa
zmienności implikowanej”. Związany jest on z
faktem, że po okresie szczególnie niskiej lub
wysokiej zmienności, obserwuje się powrót do
poziomu średniego (mean reversion).
Dyskretna struktura zmienności
implikowanej
Ti\∆k
10
25
50
75
90
1D
δ1d,10
δ1d,25
δ1d,50
δ1d,75
δ1d,90
1W
δ1w,10
δ1w,25
δ1w,50
δ1w,75
δ1w,90
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
1Y
δ1y,10
δ1y,25
δ1y,50
δ1y,75
δ1y,90
Konstrukcja płaszczyzny zmienności
• Macierz utworzona przez terminy zapadalności i kursy realizacji –
volatility surface,
• V=f(t,z,x) V – zmienność rynkowa, t – tenor, x – kurs realizacji,
instrument podstawowy,
• Zmienność wyznaczana jest w punktach węzłowych,
• Typowe okresy 1, 2, 3, 6, 12 miesięcy, kursy realizacji przy danym
poziomie delty 90, 75, 50, 25, 10,
• Terminy łamane i kursy pośrednie wyznacza się różnymi metodami
interpolacyjnymi,
• Zmienność wyznacza się na podstawie notowań 3 strategii:
• zmienności opcji 25ΔP - 𝜎25 𝑝𝑢𝑡,
• zmienność opcji ATM – 𝜎𝐴𝑇𝑀 ,
• zmienność opcji 25Δcall – 𝜎25 𝑐𝑎𝑙𝑙, przy czym dwie ostatnie wartości
są kwotowane pośrednio poprzez:
• zmienność strategii 25Δ risk reversal: 𝜎25 𝑅𝑅 = 𝜎25 𝑐 − 𝜎25 𝑝,
• zmienność
𝜎𝐴𝑇𝑀 .
strategii
25Δbutterfly:
𝜎25 𝐵𝐹 =
1
2
𝜎25 𝑐 + 𝜎25 𝑝 −
Konstrukcja płaszczyzny zmienności
• Zero delta Straddle – strategia stelaża ATM – złożenie opcji 50 delta call i
50 delta put (obie kupione lub sprzedane). Zmienność rynkowa dla tej
strategii jest podstawowym parametrem na rynku opcyjnym, ponieważ
obejmuje opcje z najwyższą Vegą dla danego terminu zapadalności. Jest to
gra na drugim momencie centralnym – wariancji rozkładu zwrotu,
• Opcje o tym samym kursie realizacji, o tym samym terminie wygaśnięcia,
• Standardowo opcje mają deltę 50, co oznacza, że sumaryczna delta wynosi
zero,
Long Straddle0 = +C50+P50  vega dodatnia
Short Straddle0 = -C50-P50  vega ujemna
• Cenę Straddle pokazuje się w wymiarze zmienności rynkowej. Pozwala na
spekulację, co do poziomu zmienności kursowej. W związku z tym Straddle
jest grą na oczekiwanej wariancji rozkładu stóp zwrotu.
Konstrukcja płaszczyzny zmienności
• 25 delta Risk Reversal RRd – złożenie opcji 25 delta call i 25 delta
put (jedna kupiona druga sprzedana). RR pokazuje jaka jest różnica
zmienności rynkowej dla opcji z kursami rozłożonymi symetrycznie
względem kursu terminowego, z których jeden jest po stronie
deprecjacyjnej, a drugi aprecjacyjnej.
• Strategia RR jest grą na trzecim momencie centralnym – skośności
(asymetrii) rozkładu stóp zwrotu,
• Cena RR jest różnicą zmienności rynkowej stosowanej do wyceny
poszczególnych opcji składowych,
• Opcje OTM o tych samych wartościach bezwzględnych delt,
znajdujące się po przeciwnych stronach kursu terminowego, mają
różne zmienności,
• Strategia pozwala na spekulację na szerszym zakresie oczekiwań
wahań. Z uwagi na występowanie volatility smile zmienność
rynkowa dla strategii jest wyższa niż dla Straddle.
Konstrukcja płaszczyzny zmienności
• 25 delta Butterfly – złożenie strategii 25 delta strangle i Zero delta
Straddle (jedna strategia kupiona, druga sprzedana). 25 delta
strangle składa się z opcji 25 delta call i 25 delta put obie kupione
lub sprzedane. Kupujemy kurs realizacji równy terminowemu i
sprzedajemy kurs realizacji rozłożone symetrycznie względem kursu
oczekiwanego. Strategia FLY jest grą na czwartym momencie
centralnym – kurtozie rozkładów stóp zwrotu,
• Cena FLY jest kwotowana jako różnica pomiędzy ceną strategii
Strangle i Straddle. Im większa oczekiwana kurtoza, tym wyższa
cena – dla rozkładu normalnego BS cena FLY powinna być równa 0,
• Cena FLY pokazuje o ile droższe (w wymiarze zmienności) są opcje
OTM (średnio call i put, których kursy realizacji reprezentują „grube
ogony” rozkładu) względem opcji ATM.
Konstrukcja płaszczyzny zmienności
• Cena Straddle i Strangle jest średnią z cen pojedynczych opcji składających
się na strategię. Cena RR i Buterfly jest różnicą zmienności rynkowej dla
opcji cząstkowych (jedną sprzedajemy drugą kupujemy):
STD50 = 0,5x(C50+P50)
RR25 = C25-P25
FLY25=STD50-STG25
STG25=0,5x(C25+P25)
C25=STD50+FLY25+0,5RR25
P25=STD50+FLY25-0,5RR25
Odcinek ED odpowiada za koszt transakcji BF a odcinek AB za koszt transakcji RR. Koszt
zmienności instrumentu I można oszacować na podstawie oszacowania ceny opcji z
uwzględnieniem uśmiechy zmienności na podstawie formuły: 𝐼𝑐𝑜𝑠𝑡 = 𝐼𝑀𝐾𝑇 − 𝐼𝐵𝑆 , co
następnie można zastosować do ustalenia kosztu zmienności dla transakcji BF oraz RR
Zmienność
C
A
D
E
B
F
25ΔPUT
ATM
25ΔCALL
Metody interpolacji
• Interpolacja zmienności w stosunku do delty oraz
terminów zapadalności,
• Liniowa interpolacja zrealizowanej wariancji,
• Uwzględnienie dni wolnych oraz znaczących informacji
wpływających na rynek,
• Ekstrapolacja dla bardzo wysokich delt nie ma dużego
znaczenia, gdyż zmienność dla wysokich cen wykonania
nie jest mocno wrażliwa,
• Czasowa ekstrapolacja też nie ma większej wrażliwości
dlatego, iż płaszczyzna wypłaszcza się wraz ze wzrostem
terminów do zapadalności.
Krzywa zmienności na rynku polskim
• W Polsce, opcje z niskimi kursami realizacji są
tańsze w wymiarze zmienności niż opcje ATM,
natomiast opcje z wysokimi kursami realizacji
są kwotowane z bardzo wysoką zmiennością.
Dziękuję za uwagę