5 Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego

Budownictwo, sem. II
rok akademicki 2008/2009
5
studia niestacjonarne
MATEMATYKA - wykład
Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego
Definicja 5.1. Równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci
F x, y, y 0 , y 00 = 0,
(12)
w którym niewiadomą jest funkcja y = y(x) i w którym występuje pochodna pierwszego i drugiego rzędu
dy 00
d2 y
tej funkcji, tzn. y 0 =
,y =
.
dx
dx2
5.1
Rozwiązanie lub całka równania różniczkowego różniczkowego drugiego rzędu
Definicja 5.2. Rozwiązaniem lub całką równania różniczkowego F (x, y, y 0 , y 00 ) = 0 w przedziale
(a, b) nazywamy każdą funkcję zmiennej x wyrażoną
w postaci jawnej
y = y(x)
lub w postaci uwikłanej
h(x, y) = 0,
która ma pochodne do rzędu n włącznie i spełnia równanie F (x, y, y 0 , y 00 ) = 0 dla x ∈ (a, b).
Definicja 5.3. Rozwiązaniem ogólnym lub całką ogólną równania F (x, y, y 0 , y 00 ) = 0 w obszarze
istnienia i jednoznaczności rozwiązań nazywamy rozwiązanie równania F (x, y, y 0 , y 00 ) = 0 zależne od
dwóch dowolnych stałych C1 , C2 wyrażone
w postaci jawnej
y = y(x, C1 , C2 )
lub w postaci uwikłanej
h(x, y, C1 , C2 ) = 0,
i takie, że podstawiając dowolne wartości za C 1 , C2 otrzymamy wszystkie znajdujące się w tym obszarze
krzywe całkowe i tylko te krzywe.
Podstawiając za C1 , C2 konkretne wartości otrzymamy tzw.
całkę szczególną
rozwiązanie szczególne
lub
równania F (x, y, y 0 , y 00 ) = 0.
5.2
Zagadnienie Cauchy’ego (zagadnienie początkowe)
Zagadnienie Cauchy’ego dla równania F (x, y, y 0 , y 00 ) = 0 polega na znalezieniu całki szczególnej tego
równania, spełniającej warunki początkowe:
y 0 (x0 ) = y1
y(x0 ) = y0 ,
(W )
gdzie wartość początkowa x0 ∈ (a, b), zaś wartości początkowe y0 i y1 są dowolnymi z góry wybranymi liczbami.
5.3
Równania różniczkowe rzędu drugiego sprowadzalne do równań
różniczkowych rzędu pierwszego
Równanie postaci F (x, y 0 , y 00 ) = 0 sprowadzamy do równania różniczkowego rzędu pierwszego przez
podstawienie
y0 = u
Wówczas
y 00 = u0 i otrzymujemy równanie różniczkowe rzędu pierwszego postaci:
F x, u, u0 = 0 .
12
Opracowała: Małgorzata Wyrwas
Budownictwo, sem. II
rok akademicki 2008/2009
studia niestacjonarne
MATEMATYKA - wykład
Równanie postaci F (y, y 0 , y 00 ) = 0 sprowadzamy do równania różniczkowego rzędu pierwszego przez
podstawienie
y 0 = v(y)
Wówczas
dy 0
dv
dv dy
=
=
·
= v0 · y0 = v0 · v
dx
dx
dy dx
y 00 =
i otrzymujemy równanie różniczkowe rzędu pierwszego postaci: F (y, v, v 0 · v) = 0 .
Przykład 5.4. Rozważmy równanie y 00 x2 + 1 = 2xy 0 .
Stosując podstawienie u = y 0 , otrzymujemy
u0
x2
2x
du
= 2
dx ⇒
+ 1 = 2xu ⇒
u
x +1
Z
du
=
u
Z
2x
dx
x2 + 1
⇓
ln |u| = ln x2 + 1 + ln |C1 |
u = C 1 · x2 + 1 .
⇒
Ponieważ u = y 0 , więc otrzymujemy
0
2
y = C1 · x + 1
⇒
y = C1 ·
1 3
x + x + C2 .
3
Rozważmy zagadnienie Cauchy’ego
y 00 x2 + 1 = 2xy 0 ,
y(0) = 1, y 0 (0) = 3 ,
Wówczas C2 = 1 i C1 = 3 . Zatem rozwiązaniem danego zagadnienia Cauchy’ego jest całka
y = x3 + 3x + 1 .
Przykład 5.5. Rozważmy równanie y · y 00 = (y 0 )2 .
Stosując podstawienie y 0 = v(y) ⇒ y 00 = v 0 · v , otrzymujemy
yv 0 v = v 2
v
y
dv
dy
=
v
y
⇒
v0 =
⇒
ln |v| = ln |y| + ln |C1 |
⇒
⇒
⇒
Z
dv
=
v
Z
dy
y
⇒
v = C1 · y .
Ponieważ v = y 0 , więc otrzymujemy
y 0 = C1 · y
⇒
dy
= C1 · dx
y
⇒
ln |y| = C1 x + ln |C2 |
13
⇒
y = C 2 · e C1 x .
Opracowała: Małgorzata Wyrwas
Budownictwo, sem. II
rok akademicki 2008/2009
5.4
studia niestacjonarne
MATEMATYKA - wykład
Równania różniczkowe liniowe rzędu drugiego
Definicja 5.6. Równaniem różniczkowym liniowym rzędu drugiego nazywamy równanie postaci:
y 00 + a1 (x)y 0 + a2 (x)y = f (x) ,
(13)
gdzie a1 , a2 i f są danymi funkcjami ciągłymi na (a, b).
Jeśli f ≡ 0, to równanie (13) nazywamy jednorodnym i oznaczamy RJ.
Jeśli f 6≡ 0, to to równanie (13) nazywamy niejednorodnym i oznaczamy RN.
5.5
Układ fundamentalny całek (rozwiązań)
Definicja 5.7. Rozwiązania y1 , y2 są liniowo niezależne na przedziale (a, b) ⇔ dla każdego x ∈ (a, b)
spełniony jest warunek
y (x) y (x)
1
2
(14)
0
6= 0
y1 (x) y20 (x)
Wyznacznik występujący w (14) nazywamy wyznacznikiem Wrońskiego (lub wrońskianem) i ozn.
symbolem W [y1 , y2 ](x).
Definicja 5.8. Układem fundamentalnym całek (rozwiązań) nazywamy układ liniowo niezależnych
rozwiązań.
5.6
Całka ogólna (rozwiązanie ogólne) liniowego równania niejednorodnego
Niech całki y1 , y2 będą fundamentalnym układem rozwiązań równania
y 00 + a1 (x)y 0 + a2 (x)y = 0 ,
RJ
wówczas całka ogólna równania RJ jest kombinacją liniową tych rozwiązań, tzn.
y = C 1 y1 + C 2 y2 .
Twierdzenie 5.9. Niech
y1 , y2 , . . . , yn – liniowo niezależne rozwiązania równania RJ na przedziale (a, b) ⊆ R
ys – całka szczególna RN.
Wtedy całka ogólna równania różniczkowego liniowego niejednorodnego ma postać
y = C 1 y1 + C 2 y2 + y s ,
czyli
CORN
=
CORJ
14
+
CSRN .
Opracowała: Małgorzata Wyrwas
Budownictwo, sem. II
rok akademicki 2008/2009
5.7
MATEMATYKA - wykład
studia niestacjonarne
Równania różniczkowe liniowe rzędu drugiego o stałych współczynnikach
Definicja 5.10. Równaniem różniczkowym liniowym rzędu drugiego o stałych współczynnikach
nazywamy równanie postaci:
y 00 + py 0 + qy = f (x) ,
(15)
gdzie p, q ∈ R zaś f jest daną funkcją ciągłą na (a, b).
Jeśli f ≡ 0, to równanie (15) nazywamy jednorodnym i oznaczamy RJ.
Jeśli f 6≡ 0, to to równanie (15) nazywamy niejednorodnym i oznaczamy RN.
5.8
Rozwiązanie równania różniczkowego liniowego II-ego rzędu o stałych współczynnikach
Aby wyznaczyć rozwiązanie
y 00 + py 0 + qy = f (x) ,
RN
szukamy najpierw rozwiązań odpowiadającego mu RJ:
y 00 + py 0 + qy = 0
RJ
Rozwiązania RJ poszukujemy w postaci wykładniczej:
y = erx
Wtedy
y = erx
y 0 = rerx
y 00 = r 2 erx
i podstawiając funkcję y do RJ otrzymujemy równanie
r 2 + pr + q = 0
zwane równaniem charakterystycznym.
Wyznaczamy pierwiastki równania charakterystycznego
r 2 + pr + q = 0
(?)
Pierwiastkom tym odpowiadają funkcje, które tworzą układ fundamentalny całek (rozwiązań).
Pierwiastki (?)
∆>0
∆=0
∆<0
r1 =
6 r2
r0
r1,2 = α ± βi
Całki szczególne RJ
y1
y1
y1
y2
= e r1 x , y 2 = e r2 x
= er0 x , y2 = xer0 x
= eαx sin βx
= eαx cos βx
15
Całka ogólna RJ
y = C 1 e r1 x + C 2 e r2 x
y = C1 er0 x + C2 xer0 x
y = C1 eαx sin βx + C2 eαx cos βx
Opracowała: Małgorzata Wyrwas
Budownictwo, sem. II
rok akademicki 2008/2009
MATEMATYKA - wykład
studia niestacjonarne
W celu znalezienia rozwiązania liniowego równania różniczkowego niejednorodnego rzędu drugiego postaci
y 00 + py 0 + qy = f (x), p, q ∈ R
stosujemy na przykład
Metodę wpółczynników nieoznaczonych (metoda przewidywania)
która polega na odgadnięciu CSRN, gdy dana jest CORJ, i wtedy na podstawie twierdzenia:
CORN
=
CORJ
+
CSRN .
Metodę stosujemy, gdy
równanie różniczkowe jest równaniem o stałych współczynnikach (p, q ∈ R)
f (x) =



wielomian stopnia n


lub f (x) jest sumą lub iloczynem funkcji obok.
a sin ωx + b cos ωx



aeλx ,
Przewidywane postacie całki szczególnej y s (x) równania
y 00 + py 0 + qy = f (x), ,
RN
p, q ∈ R
Niech λ + ωi, λ, ω ∈ R, będzie k-krotnym pierwiastkiem równania charakterystycznego r 2 + pr + q = 0.
Wówczas
Postać f (x)
Postać przewidywana ys (x)
Pn (x) = an xn + . . . + a1 x + a0
a · eλx
Pn (x) · eλx
a cos ωx + b sin ωx
Pn (x) cos ωx + Qm (x) sin ωx, n>m
Pn (x)eλx cos ωx + Qm (x)eλx sin ωx,n>m
xk (An xn + . . . + A1 x + A0 )
Axk eλx
xk (An xn + . . . + A0 )eλx
xk · (A cos ωx + B sin ωx)
xk · Wn (x) cos ωx + xk · Mn (x) sin ωx
xk · Wn (x)eλx cos ωx + xk · Mn (x)eλx sin ωx
gdzie Wn (x) = An xn + . . . + A0 i Mn (x) = Bn xn + . . . + B0
Przykład 5.11.
y 00 − 5 · y 0 + 6y = x2 + 8
=⇒
ys (x) = Ax2 + Bx + C
y 00 − 5 · y 0 + 6y = x · ex
=⇒
ys (x) = (Ax + B) · ex
y 00 −5 · y 0 +6y = x · e3x
=⇒
ys (x) = x·(Ax + B)·e3x
y 00 − 4 · y 0 + 4y = x · ex
=⇒
ys (x) = (Ax + B) · ex
y 00 − 4 · y 0 + 4y = x · e2x ⇒ ys (x) = x2 (Ax + B) · e2x
y 00 + 9y = sin 3x
=⇒
ys (x) = Ax sin 3x + Bx cos 3x
16
Opracowała: Małgorzata Wyrwas
Budownictwo, sem. II
rok akademicki 2008/2009
studia niestacjonarne
MATEMATYKA - wykład
Innym sposobem wyznaczenia całki równania postaci
y 00 + py 0 + qy = f (x), p, q ∈ R
jest
Metoda uzmienniania stałych
Jeżeli funkcje y1 (x), y2 (x) tworzą układ fundamentalny równania RJ
y 00 + py 0 + qy = 0, p, q ∈ R ,
y 00 + py 0 + qy = f (x), p, q ∈ R , ma postać
to całka ogólna równania RN
y(x) = C1 (x)y1 (x) + C2 (x)y2 (x) ,
gdzie C1 (x), C2 (x) jest dowolnym rozwiązaniem układu
"
# "
#
"
#
y1 (x) y2 (x)
C10 (x)
0
·
=
.
0
0
0
y1 (x) y2 (x)
C2 (x)
f (x)
Przykład 5.12. Rozważmy równanie y 00 − y =
e2x
(16)
8
.
+1
Równanie jednorodne y 00 − y = 0 ma następujące równanie charakterystyczne r 2 − 1 = 0 , którego
pierwiastkami są r1 = 1 i r2 = −1 .
Zatem CORJ ma postać
y = C1 ex + C2 e−x ,
CORN znajdziemy metodą uzmienniania stałych, tzn.
y = C1 (x)ex + C2 (x)e−x ,
W celu wyznaczenia funkcji C1 (x), C2 (x) rozwiązujemy układ:


ex C10 (x) + e−x C20 (x) = 0

ex C10 (x) − e−x C20 (x) =
e2x
8
+1
.
4e−x
⇒ C1 (x) = −4e−x − 4 arc tg ex + C̃1
e2x + x1
4e
C20 (x) = − 2x
⇒ C2 (x) = −4 arc tg ex + C̃2
e +1
Wtedy
C10 (x) =
y(x) = C̃1 ex + C̃2 e−x − 4 − 4ex arc tg ex − 4e−x arc tg ex
17
Opracowała: Małgorzata Wyrwas
Budownictwo, sem. II
rok akademicki 2008/2009
6
studia niestacjonarne
MATEMATYKA - wykład
Układy równań różniczkowych liniowych o stałych współczynnikach
Definicja 6.1. Układ równań postaci

y 0 = a (x)y + a (x)y + h (x)
11
1
12
2
1
1
y 0 = a (x)y + a (x)y + h (x)
21
1
22
2
2
2
(17)
,
nazywamy układem dwóch równań różniczkowych liniowych rzędu pierwszego. Funkcje a ij , gdzie
i, j = 1, 2 nazywamy współczynnikami , funkcje h 1 i h2 wyrazami wolnymi tego układu.
Jeśli h1 ≡ 0 i h2 ≡ 0, to układ (17) nazywamy jednorodnym i oznaczamy UJ.
Jeśli h1 6≡ 0 i h2 6≡ 0, to to układ (17) nazywamy niejednorodnym i oznaczamy UN
Jeżeli aij (x) ≡ aij = const, gdzie i, j = 1, 2, to układ (17) nazywamy układem równań różniczkowych
liniowych rzędu pierwszego o stałych współczynnikach.
Definicja 6.2.
Rozwiązaniem układu równań różniczkowych liniowych rzędu pierwszego na przedziale (a, b) nazywamy funkcje y1 (x), y2 (x), które podstawione do układu (17) dają tożsamość dla wszystkich wartości
x ∈ (a, b).
Uwaga 4. W celu rozwiązania układu (17) można zastosować metodę eliminacji , która sprowadza
układ (17) do równania różniczkowego liniowego drugiego rzędu z jedną tylko funkcją niewiadomą.
Przykład 6.3.
Dwa stulitrowe zbiorniki Y1 i Y2 , z których pierwszy zawiera 10% wodny roztwór soli, a drugi czysta
wodę, połączono dwiema rurkami umożliwiającymi przepływ cieczy między nimi. Przy czym pierwszą
rurą roztwór przepływa w jedną stronę, a drugą odwrotnie. Przepływy te odbywają się z prędkością 2
litrów na minutę. Określić ilość soli y 1 (t) i y2 (t) odpowiednio w zbiornikach Y1 i Y2 . Przyjąć, że proces
rozpuszczania soli w zbiornikach jest natychmiastowy.
Y1
Y2
10% soli
y1 (t) - ilość soli w zbiorniku Y1 w litrach w chwili t; y2 (t) - ilość soli w zbiorniku Y2 w litrach w chwili t.
y10 (t) - szybkość zmian ilość soli w zbiorniku Y 1 ;
y20 (t) - szybkość zmian ilość soli w zbiorniku Y 2 .
l
l
W chwili t do zbiornika Y1 wpływa 0,02y2 (t) min
oraz wypływa 0,02y1 (t) min
soli.
l
l
Ponadto w chwili t do zbiornika Y2 wpływa 0,02y1 (t) min oraz wypływa 0,02y2 (t) min
soli.
Zatem przebieg procesu w danych zbiornikach można opisać:

y 0 = −0,02y + 0,02y
1
2
1
y 0 = 0,02y − 0,02y
1
2
2
z warunkami początkowymi y1 (0) = 10 i y2 (0) = 0.
18
Opracowała: Małgorzata Wyrwas