Regionalne Koło Matematyczne

Regionalne Koło Matematyczne
Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu
Wydział Matematyki i Informatyki
http://www.mat.umk.pl/rkm/
Problematyka zajęć w dniu 24 kwietnia 2010 r.
Rozwiązywanie równań stopnia trzeciego i czwartego
Omówimy metodę Cardano rozwiązywania równań wielomianowych stopnia 3 oraz
metody Kartezjusza i Ferrariego rozwiązywania równań stopnia 4.
1. Metoda Cardano.
Równanie ax3 + bx2 + cx + d = 0 przez podstawienie x = t −
wadzić do postaci
b
3a
możemy spro-
t3 + pt + q = 0.
(1)
Podstawmy t = u + v.
(u + v)3 + p(u + v) + q = 0
u3 + v 3 + 3u2v + 3uv 2 + p(u + v) + q = 0
u3 + v 3 + (3uv + p)(u + v) + q = 0
Mamy dwie niewiadome, więc możemy wprowadzić dodatkowy warunek 3uv+
p = 0. Otrzymamy układ równań
(2)
(
u3 + v 3 = −q
uv = − p3
Wówczas u3 i v 3 są pierwiastkami równania kwadratowego
(3)
x2 + qx −
p3
= 0.
27
Niech D = 27q 2 + 4p3 . Mamy trzy przypadki.
√
√
1) D > 0, u0 = 3 x1 , v0 = 3 x2 , gdzie x1 , x2 są rozwiązaniami równania (3),
równanie (1) ma jeden pierwiastek rzeczywisty i dwa zespolone nierzeczywiste.
1
√
2) D = 0, u0 = 3 x0 , gdzie x0 jest rozwiązaniami równania (3), równanie (1) ma
trzy pierwiastki rzeczywiste: −u0 , −u0 , 2u0 .
3) D < 0, równanie (3) ma dwa pierwiastki zespolone nierzeczywiste, ale
równanie (1) ma trzy pierwiastki rzeczywiste postaci: 2r cos ϕ, 2r cos(ϕ + 2π
),
3
).
2r cos(ϕ + 4π
3
Przykłady:
a) x3 − 6x + 9 = 0,
b) x3 − 7x + 6 = 0,
c) x3 − 15x2 − 33x + 847 = 0.
2. Metoda Kartezjusza.
Równanie ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, a 6= 0, łatwo sprowadzić do postaci
t4 + pt2 + qt + r = 0.
Szukamy rozkładu na iloczyn
t4 + pt2 + qt + r = (t2 + ut + v)(t2 − ut + w).
Otrzymamy układ równań



v + w − u2 = p
u(w − v) = q


vw = r
Okazuje się, że dostaniemy stąd równanie stopnia 3 na u2 :
u6 + 2pu4 + (p2 − 4r)u2 − q 2 = 0.
Przykłady:
a) t4 + t2 + 4t − 3 = 0,
b) t4 − 2t2 + 8t − 3 = 0.
3. Metoda Ferrariego.
Równanie
t4 + 2pt3 + qt2 + 2rt + s = 0
przekształcamy do postaci
(t2 + pt + u)2 = (p2 − q + 2u)t2 + 2(pu − r)t + (u2 − s).
Parametr u dobieramy tak, aby po prawej stronie powyższego równania był
kwadrat (∆ = 0):
(pu − r)2 − (p2 − q + 2u)(u2 − s) = 0.
2
Przykłady:
a) t4 + t2 + 4t − 3 = 0,
b) t4 − 2t3 − 5t2 + 10t − 3 = 0.
Literatura.
1) E. J. Barbeau, Polynomials, Springer 2003.
2) A. Mostowski, M. Stark, Elementy algebry wyższej, PWN W-wa, różne wydania.
3