PRZYKŁADOWY ARKUSZ ZADAŃ Z MATEMATYKI

..................................................................................................................................
imię i nazwisko
PRZYKŁADOWY ARKUSZ
ZADAŃ Z MATEMATYKI
Sprawdzian 2
funkcje
POZIOM PODSTAWOWY
Czas pracy 170 minut
Instrukcja dla zdającego
1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 10 stron.
2. W zadaniach od 1. do 24. są podane 4 odpowiedzi: A, B, C, D,
z których tylko jedna jest prawdziwa. Wybierz tylko jedną
odpowiedź i zaznacz ją.
3. Rozwiązania zadań od 25. do 32. zapisz starannie i czytelnie
w wyznaczonych miejscach. Przedstaw swój tok rozumowania
prowadzący do ostatecznego wyniku.
4. Pisz czytelnie.
5. Nie używaj korektora. Błędne zapisy przekreśl.
6. Obok numeru każdego zadania podana jest maksymalna liczba
punktów możliwych do uzyskania.
7. Możesz korzystać z zestawu wzorów matematycznych, cyrkla
i linijki oraz kalkulatora.
Życzymy powodzenia!
Za rozwiązanie
wszystkich zadań
można otrzymać
łącznie
50 punktów
S2
2
Zestaw zadań z matematyki S2
Poziom podstawowy
ZADANIA ZAMKNIĘTE
W zadaniach od 1. do 24. wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź.
Zadanie 1. (1 pkt)
Funkcją nie jest prosta o równaniu:
B. y = 0
A. x = 4
Zadanie 2.
C. y = 3
D. y = x
(1 pkt)
Na rysunku obok przedstawiono wykres funkcji f ( x ) = x . Wykresem
funkcji g ( x ) = f ( x − 2) jest:
A.
B.
C.
D.
Zadanie 3. (1 pkt)
Wzór funkcji, której wykres powstaje przez przesunięcie wykresu funkcji f o 3 jednostki
w lewo, to:
A. y = f ( x + 3)
Zadanie 4.
B. y = f ( x − 3)
C. y = f ( x ) + 3
D. y = f ( x ) − 3
(1 pkt)
Na rysunku obok przedstawiono wykres funkcji f ( x ) . Wykresem
funkcji g ( x ) = − f ( x ) jest:
A.
B.
C.
D.
Zadanie 5. (1 pkt)
Dana jest funkcja f określona słownie: każdej liczbie naturalnej większej od zera
przyporządkowano liczbę o 2 mniejszą. Miejscem zerowym tej funkcji jest:
A. –2
B. 0
C. 2
D. 4
3
Zestaw zadań z matematyki S2
Poziom podstawowy
Zadanie 6. (1 pkt)
Każdej liczbie pierwszej przyporządkowujemy jej dzielniki. O tym przyporządkowaniu
można powiedzieć, że:
A. jest funkcją stałą
C. jest funkcją o dwóch wartościach
B. jest funkcją bez miejsc zerowych
D. nie jest funkcją
Zadanie 7.
(1 pkt)
Dana jest funkcja f określona wzorem f ( x ) = −5 x − 5 . Wzór funkcji, której wykres jest
prostopadły do wykresu funkcji f to:
1
A. y = − x − 1
5
Zadanie 8.
B. y =
1
1
x+
5
5
C. y = 5 x − 5
D. y = −5 x + 1
(1 pkt)
Dana jest funkcja f określona wzorem f ( x ) = x + 2 . Wykres funkcji g ( x ) jest równoległy
do wykresu funkcji f ( x ) . Zatem:
A. g ( x ) = x
Zadanie 9.
B. g ( x ) = 2
C. g ( x ) = 2 x + 2
D. g ( x ) = 2 − x
(1 pkt)
Dziedziną funkcji f określonej wzorem f ( x ) =
A. R \ {− 1, 1}
B. R \ {− 1}
x2 −1
jest zbiór:
x2 + 1
D. ∅
C. R
Zadanie 10. (1 pkt)
Miejscem zerowym funkcji f określonej wzorem f ( x ) =
A. x ∈ {− 4, 8}
B. x ∈ {− 4, 4}
(x + 4)(x − 8) jest:
C. x ∈ {− 8}
x 2 − 16
D. x ∈ {8}
Zadanie 11. (1 pkt)
Dana jest funkcja f określona wzorem f ( x ) = −2 x + 4 . Przedział, w którym wartości tej
funkcji są ujemne, to:
A. (2, + ∞ )
B. 2, + ∞ )
C. (− ∞, 2)
D. (− ∞, − 2)
Zadanie 12. (1 pkt)
Funkcja f ( x ) = (3m + 9)x + 5m − 1 jest malejąca dla:
A. m ∈ (− ∞, − 3)
B. m ∈ (− 3, + ∞ )
C. m ∈ (− ∞, 3)
D. m ∈ 3, + ∞ )
4
Zestaw zadań z matematyki S2
Poziom podstawowy
Zadanie 13. (1 pkt)
Dana jest funkcja określona wzorem f ( x ) = (1 − a )x + 5 . Funkcja ta jest malejąca, zatem:
A. a = −1
B. a = 0
C. a = 1
D. a = 2
Zadanie 14. (1 pkt)
− x + 1 dla x ∈ (− ∞, − 2

Miejscem zerowym funkcji f ( x ) = 3 x + 1 dla x ∈ (− 2, 1)
jest:
− 2 x − 4 dla x ∈ 1, + ∞ )

A. 1
B. − 2
C. −
1
3
D.
1
3
Zadanie 15. (1 pkt)
 x−3

Dana jest funkcja f określona wzorem f ( x ) =  x − 2
1

A. f (0) = 9
B. f (5) = 1
dla x ∈ (− ∞, 0 )
dla x ∈ 0, 5
. Wówczas:
dla x ∈ (5, + ∞ )
C. f (0) = 1
D. f (5) = 3
Zadanie 16. (1 pkt)
Do wykresu funkcji f ( x ) = −2 x + 1 należy punkt:
A. (− 1, 3)
B. (− 1, − 3)
C. (3, − 1)
D. (− 3, − 1)
Zadanie 17. (1 pkt)
Punkt przecięcia się wykresów funkcji f ( x ) = 2 x i g ( x ) = −2 x − 4 to:
A. (1, 2)
B. (− 1, − 2)
C. (− 4, 8)
D. (− 1, 2 )
Zadanie 18. (1 pkt)
O funkcji f ( x ) , której wykres przedstawiono poniżej, nie można powiedzieć, że:
A. funkcja osiąga swoją wartość największą dla x = 0
B. dziedziną funkcji jest przedział − 3, 2
C. funkcja rośnie w przedziale − 1, 2
D. miejscem zerowym funkcji jest x = −2
5
Zestaw zadań z matematyki S2
Poziom podstawowy
Zadanie 19. (1 pkt)
Funkcja f ( x ) = −( x − 4 ) + 3 jest malejąca dla:
2
A. x ∈ 4, + ∞ )
B. x ∈ − 4, + ∞ )
C. x ∈ (− ∞, 4
D. x ∈ 3, + ∞ )
C. y = ( x + 3) − 6
D. y = 9 − x 2
Zadanie 20. (1 pkt)
Liczba − 3 jest miejscem zerowym funkcji:
A. y = ( x − 3)( x + 4)
B. y = 2 x 2 − x − 15
2
Zadanie 21. (1 pkt)
Osią symetrii funkcji f ( x ) = 2 x 2 − 4 x + 10 jest prosta o równaniu:
A. y = 1
B. y = 10
C. x = 1
D. x = −1
Zadanie 22. (1 pkt)
Dana jest funkcja f określona wzorem f ( x ) = − x 2 − 4 x . Punkt P = (− 2, b ) należy do
wykresu funkcji f . Wynika stąd, że:
A. b = −4
B. b = 12
C. b = 4
Zadanie 23. (1 pkt)
(
)
Dana jest funkcja f ( x ) = m 2 + 4 x 2 + mx + 3 . Wówczas:
A. dla m = −2 funkcja osiąga wartość największą
B. dla m = 0 funkcja ma dwa miejsca zerowe
C. dla m = −2 funkcja jest liniowa
D. dla m = 0 funkcja nie ma miejsc zerowych
Zadanie 24. (1 pkt)
Dana jest funkcja f ( x ) = x 2 + 4 x + 3 . Wówczas:
A. funkcja osiąga swoją wartość największą dla x = −2
B. funkcja przecina oś OY w punkcie (0, 3)
C. osią symetrii wykresu jest prosta x = 2
D. funkcja nie ma miejsc zerowych
D. b = 16
6
Zestaw zadań z matematyki S2
Poziom podstawowy
ZADANIA OTWARTE
Rozwiązania zadań o numerach od 25. do 32. należy zapisać w wyznaczonych miejscach
pod treścią zadania..
Zadanie 25. (2 pkt)
Rozwiąż nierówność x 2 < 16 i podaj wszystkie liczby naturalne, które ją spełniają.
Zadanie 26. (2 pkt)
Wartościami funkcji f (n ) = n 2 − n + 41 , gdzie n ∈ {1, 2, 3, ..., 40} , są liczby pierwsze.
Sprawdź, czy liczba pierwsza 547 jest wartością tej funkcji.
7
Zestaw zadań z matematyki S2
Poziom podstawowy
Zadanie 27. (2 pkt)
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f (x) .
a) Podaj maksymalne przedziały, w których funkcja jest rosnąca.
b) Naszkicuj na tym samym rysunku wykres funkcji g ( x ) = f ( x + 2) .
Zadanie 28. (3 pkt)
Wyznacz dwie takie liczby, aby ich suma była równa 120, a ich iloczyn miał wartość
największą.
8
Zestaw zadań z matematyki S2
Poziom podstawowy
Zadanie 29. (3 pkt)
Oblicz najmniejszą wartość funkcji f ( x ) = x 2 − 2 x − 1 w przedziale 0, 2 .
Zadanie 30. (4 pkt)
Korzystając z punktów zaznaczonych na rysunku wyznacz współrzędne punktu przecięcia
prostych k i l .
9
Zestaw zadań z matematyki S2
Poziom podstawowy
Zadanie 31. (5 pkt)
Funkcja f jest określona wzorem f ( x ) = π 2 + π ⋅ x . Prosta k jest wykresem funkcji f .
a) Określ monotoniczność funkcji f .
b) Oblicz punkt przecięcia prostej k z osią OY .
c) Wyznacz te argumenty, dla których funkcja f przyjmuje wartości nieujemne.
d) Znajdź równanie prostej przechodzącej przez punkt P = (− 1, π ) i równoległej do
prostej k .
10
Zestaw zadań z matematyki S2
Poziom podstawowy
Zadanie 32. (5 pkt)
Funkcja kwadratowa postaci f ( x ) = ax 2 + bx + c , gdzie a ≠ 0 , przyjmuje największą wartość
f max = 6 dla argumentu x = 2 . Do wykresu funkcji y = f ( x ) należy punkt P = (8, − 18) .
a) Napisz wzór funkcji f w postaci kanonicznej.
b) Oblicz miejsca zerowe funkcji f .
c) Podaj dla jakich argumentów funkcja f przyjmuje wartości niedodatnie.