Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją
Transkrypt
Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją
Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X×Y , którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x ∈ X i y ∈ Y . Uwaga 1.1 Jeśli R jest relacją w zbiorze X ×X, to mówimy, że R jest relacją w zbiorze X. Rozważmy relację R ⊂ X ×X. Relację R nazywamy: ^ zwrotną, gdy: (x, x) ∈ R x∈X ^ symetryczną, gdy: (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ R x,y∈X ^ antyzwrotną, gdy: (x, x) ∈ /R x∈X słabo antysymetryczną, gdy: ^ ((x, y) ∈ R ∧ (y, x) ∈ R) ⇒ x = y) x,y∈X ^ antysymetryczną, gdy: (x, y) ∈ R ⇒ (y, x) ∈ /R x,y∈X ^ przechodnią, gdy: ((x, y) ∈ R ∧ (y, z) ∈ R) ⇒ (x, z) ∈ R) x,y,z∈X spójną, gdy: ^ (x, y) ∈ R ∨ (y, x) ∈ R x,y∈X Niech X = {x1 , . . . , xn } oraz R ⊂ X ×X. Wówczas relacji R możemy przyporządkować macierz n × n zdefiniowaną w następujący sposób: ( MR = [rij ], gdzie rij = 0, gdy (xi , xj ) ∈ /R 1, gdy (xi , xj ) ∈ R Niech R, S będą relacjami w zbiorze X × X. Wówczas sumą relacji R, S jest zbiór R ∪ S, iloczynem (przekrójem) relacji R, S jest zbiór R ∩ S. Dopełnieniem relacji R jest zbiór X \ R. Relacją odwrotną do relacji R określamy zbiór: R−1 = {(x, y) ∈ X ×X: (y, x) ∈ R} Uwaga 1.2 Relacja R ⊂ X ×X jest symetryczna, wtedy i tylko wtedy, gdy R = R−1 . Lemat 1.1 Jeżeli (Rt )t∈T jest rodziną relacji przechodnich w zbiorze X, to przekrój wszystkich relacji z tej rodziny też jest relacją przechodnią. Definicja 1.2 Przechodnim domknięciem relacji R w zbiorze X nazywamy przekrój wszystkich relacji przechodnich zawierających relację R. Przechodnie domknięcie oznaczamy symbolem R∗ Ponadto zdefiniujmy ciąg relacji: R(1) = R, R(2) = R ◦ R, R(n+1) = R ◦ R(n) . Lemat 1.2 R∗ = ∞ [ R(n) n=1 Dowód: Niech Z = {S ⊂ X ×X: S jest przechodnia ∧ R ⊂ S}. Zauważmy, że: (x, y) ∈ R ⇒ ^ (x, y) ∈ S ⇒ (x, y) ∈ \ Z ⇒ R⊂ \ Z S∈Z Wówczas: (x, y) ∈ ∞ [ R(n) ⇔ n=1 (x, y) ∈ R(m) _ m∈N A więc istnieją w zbiorze X elementy v1 , . . . , vm−1 takie, że: (x, v1 ) ∈ R ∧ (v1 , v2 ) ∈ R ∧ . . . ∧ (vm−1 , y) ∈ R Ponieważ R jest zawarte w każdej relacji S ze zbioru Z, to: ^ (x, v1 ) ∈ S ∧ (v1 , v2 ) ∈ S ∧ . . . ∧ (vm−1 , y) ∈ S S∈Z Ponieważ każda relacja S jest przechodnia, to: ^ (x, y) ∈ S ⇔ (x, y) ∈ \ Z S∈Z Ostatecznie: ∞ [ R(n) ⊆ \ Z n=1 Zauważmy, że: R = R(1) ⊆ ∞ [ R(n) n=1 ∗ Pokażemy, że R jest relacją przechodnią. Niech (x, y), (y, z) ∈ R∗ . Wówczas: _ (x, y) ∈ R(m) ∧ (y, z) ∈ R(p) m,p∈N Więc istnieją w zbiorze X elementy v1 , . . . , vm−1 , u1 , . . . , up−1 takie, że: (x, v1 ) ∈ R ∧ . . . ∧ (vm−1 , y) ∈ R ∧ (y, u1 ) ∈ R ∧ . . . ∧ (up−1 , z) ∈ R Niech y = vm . Wtedy powyższa koniunkcja oznacza, że element (x, z) należy do (m + p)-krotnego złożenia relacji R. A więc: (x, z) ∈ R(m+p) ⇒ (x, z) ∈ ∞ [ R(n) n=1 co oznacza przechodniość relacji R∗ . Skoro R∗ jest relacją przechodnią i zawiera T relację R, to R∗ ∈ Z oraz Z ⊆ R∗ , skąd wynika dowodzona równość. Niech MR = [rij ] oraz MS = [sij ] będą macierzami relacji R, S w zbiorze skończonym X. Wówczas definiujemy następujące macierze: (a) MR∪S = [ rij ∨ sij ] (b) MR∩S = [ rij ∧ sij ] (c) MR−1 = [ rji ] (d) MR0 = [ ∼ rij ] (e) MR◦S = [ cij ] gdzie: cij = (ri1 ∧ s1j ) ∨ (ri2 ∧ s2j ) ∨ . . . ∨ (rin ∧ snj ). Definicja 1.3 Relacja R jest porządkiem w zbiorze P , gdy jest zwrotna, słabo antysymetryczna i przechodnia. Jeżeli relacja R jest spójna, to mówimy, że porządek R jest liniowy. Zbiór P , w którym określona jest relacja porządkująca R oznaczamy symbolem (P, R) lub (P, ¬). Definicja 1.4 Niech (P, ¬) będzie zbiorem uporządkowanym. Przedziałem wyznaczonym przez elementy a, b ∈ P nazywamy podzbiór: [a, b] = {x ∈ P : a ¬ x ¬ b} Zauważmy następujące wynikania: [a, b] 6= Ø ⇒ _ x ∈ [a, b] ⇒ a ¬ x ¬ b ⇒ a ¬ b x∈P ∼ (a ¬ b) ⇒ [a, b] = Ø (a ¬ b) ⇒ a, b ∈ [a, b] Ponadto definiujemy jeszcze następujące przedziały: (a, b] = [a, b] \ {a} (←, b] = {x ∈ P : x ¬ b} [a, →) = {x ∈ P : a ¬ x} Definicja 1.5 Niech a, b ∈ P i a 6= b. Element a nazywamy poprzednikiem elementu b (element b nazywamy następnikiem elementu a), jeśli |[a, b]| = 2, czyli gdy [a, b] = {a, b}. Definicja 1.6 Niech (X, ¬) będzie zbiorem uporządkowanym. Element a ∈ X nazywamy maksymalnym jeśli nie poprzedza on żadnego elementu w zbiorze X: ∼ _ (a ¬ x ∧ a 6= x) x∈X Element a ∈ X nazywamy największym, jeśli spełniony jest warunek: ^ x¬a x∈X Element a ∈ X nazywamy minimalnym, gdy nie poprzedza go żaden element zbioru X: _ ∼ (x ¬ a ∧ x 6= a) x∈X Element a ∈ X nazywamy najmniejszym, jeśli spełniony jest warunek: ^ x∈X a¬x Definicja 1.7 Niech A ⊂ X, będzie podzbiorem zbioru uporządkowanego (X, ¬). Element a ∈ X nazywamy ograniczeniem górnym zbioru A, jeśli zachodzi warunek: ^ x¬a x∈A Element a ∈ X nazywamy ograniczeniem dolnym zbioru A, jeśli zachodzi warunek: ^ a¬x x∈A Jeśli zbiór wszystkich ograniczeń górnych zbioru A ma element najmniejszy, to nazywamy go kresem górnym zbioru A i oznaczamy sup A. Jeśli zbiór wszystkich ograniczeń dolnych zbioru A ma element największy, to nazywamy go kresem dolnym zbioru A i oznaczamy inf A. Definicja 1.8 Zbiór uporządkowany (P, ¬) nazywamy kratą, jeśli każdy dwuelementowy podzbiór zbioru P ma kres górny i kres dolny w zbiorze P . Definujemy działania ∨ oraz ∧ w następujący sposód: a ∨ b = c ⇔ sup{a, b} = c oraz a ∧ b = c ⇔ inf{a, b} = c Uwaga 1.3 Niech (P, ¬) będzie zbiorem uporządkowanym i niech a, b, c ∈ P . Jeśli c jest kresem dolnym zbioru {a, b}, to zachodzi warunek: ^ (d ¬ a ∧ d ¬ b) ⇔ d ¬ c d∈P Jeśli c jest kresem górnym zbioru {a, b}, to zachodzi warunek: ^ (a ¬ d ∧ b ¬ d) ⇔ c ¬ d d∈P Twierdzenie 1.1 W zbiorze uporządkowanym (P. ¬) działania ∨ oraz ∧ są przemienne, łączne i spełniają warunki pochłaniania, tzn.: ^ (a ∨ b) ∧ a = a ^ i a,b∈P (a ∧ b) ∨ b = b a,b∈P Twierdzenie 1.2 Niech (P, ¬) będzie zbiorem uporządkowanym i niech a, b ∈ P . Wówczas: a ¬ b ⇔ ((a ∨ b = b) ∧ (a ∧ b = a)) Twierdzenie 1.3 Każda krata skończona ma element największy i element najmniejszy. Definicja 1.9 Jeśli krata ma element największy i element najmniejszy, to element b nazywamy uzupełnieniem elementu a, jeśli a ∨ b = 1 oraz a ∧ b = 0 Definicja 1.10 Mówimy, że krata jest rozdzielna jeśli dla każdych elementów a, b, c prawdziwe są równości: (a) a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) (b) a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) Definicja 1.11 Algebrą Boole’a nazywamy kratę rozdzielną zawierającą element największy i element najmniejszy, w której każdy element ma swoje uzupełnienie. Definicja 1.12 Niech (P, ¬1 ) i (Q, ¬2 ) będą zbiorami uporządkowanymi. Izomorfizmem zbiorów uporządkowanych nazywamy każde odwzorowanie odwracalne ψ: P → Q takie, że: ^ (a ¬1 b ⇔ ψ(a) ¬2 ψ(b)) a,b∈P Definicja 1.13 Niech ¬1 i ¬2 będą porządkami w zbiorze P . Mówimy, że ¬2 jest rozszerzeniem ¬1 , gdy: ^ (a ¬1 b ⇒ a ¬2 b a,b∈P Przykład 1.1 Zwykły porządek ¬ w zbiorze liczb naturalnych jest rozszerzeniem porządku | wyznaczonego przez relację podzielności. ^ (a|b ⇒ a ¬ b) a,b∈N Definicja 1.14 Niech (P1 , ¬1 ), . . . , (Pn , ¬n ) będą zbiorami uporządkowanymi. Utwórzmy zbiór P = P1 ×. . .×Pn i zdefiniujmy nowy porządek w zbiorze P . Niech (a1 , . . . , an ), (b1 , . . . , bn ) ∈ P , wówczas: (a1 , . . . , an ) ¬ (b1 , . . . , bn ) ⇔ a1 ¬1 b1 ∧ . . . ∧ an ¬n bn Tak określony porządek nazywamy produktowym. Definicja 1.15 Niech (P1 , ¬1 ), . . . , (Pn , ¬n ) będą zbiorami liniowo uporządkowanymi. Niech P = P1 ×. . .×Pn . Niech (a1 , . . . , an ), (b1 , . . . , bn ) ∈ P . Określmy następujący porządek: ( (a1 , . . . , an ) ¬ (b1 , . . . , bn ) ⇔ (a1 , . . . , an ) = (b1 , . . . , bn ) ai ¬ bi , gdzie: i = min{t: at ¬ bt } Tak zdefiniowany porządek nazywamy leksykograficznym. Copyright c Grzegorz Gierlasiński