17.01.

Rozważmy relację binarną % określoną w zbiorze skończonym
X. Możemy narysować graf, którego wierzchołki są oznaczone
elementami tego zbioru. Krawędź grafu o początku x i końcu y
(strzałkę prowadzącą z x do y) rysujemy wtedy i tylko wtedy,
gdy x%y.
1
zwrotność
przeciwzwrotność
symetria
asymetria
słaba antysymetria
spójność
Przy każdym wierzchołku
jest pętla.
Przy żadnym wierzchołku
nie ma pętli.
Na każdej krawędzi są
strzałki w obie strony.
Na każdej krawędzi jest
strzałka tylko w jedną stronę. Nie ma pętli.
Na każdej krawędzi jest
strzałka tylko w jedną stronę. (Mogą być pętle.)
Każde dwa (różne) wierzchołki są połączone krawędzią.
2
Macierz relacji % tworzymy w ten sposób, że wiersze i kolumny
oznaczamy elementami zbioru X. Na przecięciu wiersza oznaczonego elementem x i kolumny oznaczonej elementem y stawiamy
1, jeśli x%y, a 0 w przeciwnym wypadku.
Przykłady. Niech X = {1, 2, 3, 4, 5}.
3
x|y
x<y
x\y
1
2
3
4
5
1
0
0
0
0
0
2
1
0
0
0
0
3
1
1
0
0
0
4
1
1
1
0
0
5
1
1
1
1
0
x\y
1
2
3
4
5
y = x2
x\y
1
2
3
4
5
1
1
0
0
0
0
2
0
0
0
0
0
3
0
0
0
0
0
1
1
0
0
0
0
2
1
1
0
0
0
3
1
0
1
0
0
4
1
1
0
1
0
5
1
0
0
0
1
4
0
1
0
1
0
5
1
0
1
0
1
x i y stsp
4
0
1
0
0
0
5
0
0
0
0
0
x\y
1
2
3
4
5
1
1
0
1
0
1
2
0
1
0
1
0
3
1
0
1
0
1
4
zwrotność
przeciwzwrotność
symetria
asymetria
słaba antysymetria
spójność
Na głównej przekątnej są same jedynki.
Na głównej przekątnej są same zera.
Macierz jest symetryczna (względem głównej przekątnej).
Na
miejscach
symetrycznych
(względem głównej przekątnej)
nie ma dwóch jedynek. Na
głównej przekątnej są same zera.
Na
miejscach
symetrycznych
(względem głównej przekątnej)
nie ma dwóch jedynek.
Na
miejscach
symetrycznych
(względem głównej przekątnej)
nie ma dwóch zer.
5
Relacje porządkujące
6
Relację binarną % określoną w zbiorze X nazywamy relacją porządkującą (lub relacją częściowego porządku), jeśli jest zwrotna,
słabo antysymetryczna i przechodnia. Zbiór X z określoną w nim
relacją porządkującą nazywamy zbiorem częściowo uporządkowanym.
Relację porządkującą oznaczamy zazwyczaj symbolem „ 4”. Mówimy wówczas, że (X, 4) jest zbiorem częściowo uporządkowanym. Mamy zatem warunki:
∀x∈X x 4 x, ∀x,y∈X x 4 y ∧ y 4 x ⇒ x = y,
∀x,y,z∈X x 4 y ∧ y 4 z ⇒ x 4 z.
7
Jeśli „ 4” jest relacją częściowego porządku, to możemy określić
relację „ ≺” następująco:
x ≺ y ⇔ x 4 y ∧ x 6= y.
Jeśli x ≺ y, to mówimy, że element x jest mniejszy od y, a y jest
większy od x. Jeśli x 4 y, to mówimy, że element x jest mniejszy
lub równy y, a y jest większy lub równy x.
8
Niech (X, 4) będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. Element x ∈ X nazywamy:
– najmniejszym, jeśli jest mniejszy od pozostałych elementów:
∀y∈X x 4 y;
– największym, jeśli jest większy od pozostałych elementów:
∀y∈X y 4 x;
– minimalnym, jeśli nie ma elementów od niego mniejszych:
∀y∈X y 4 x ⇒ y = x;
– maksymalnym, jeśli nie ma elementów od niego większych:
∀y∈X x 4 y ⇒ y = x.
9
zbiór cz. up.
({1, 2, 3, 4, 5}, 6)
({1, 2, 3, 4, 5}, |)
(N1, |)
(N2, |)
(2{a,b,c}, ⊂)
(2{a,b,c} \ {∅, {a, b, c}}, ⊂)
el. minimalne
1 – najmniejszy
1 – najmniejszy
1 – najmniejszy
liczby pierwsze
∅
{a}, {b}, {c}
el. maksymalne
5 – największy
3, 4, 5
nie ma
nie ma
{a, b, c}
{a, b}, {a, c}, {b, c}
Zadanie. Narysuj kilka diagramów zbiorów częściowo uporządkowanych, wskaż elementy minimalne, maksymalne, najmniejsze,
największe.
10
Uwaga. Element najmniejszy (jeśli istnieje) jest jedynym elementem minimalnym. Analogicznie, element największy jest jedynym
maksymalnym. (Jedyny element minimalny nie musi być elementem najmniejszym.)
11
Porządek liniowy
Definicja. Relację porządkującą, która jest spójna, nazywamy
relacją porządku liniowego. Oznacza to, że spełniony jest warunek
∀x,y∈X x 4 y ∨ y 4 x.
Przykłady: (R, 6), ({1, 2, 4, 8}, |), ({{a}, {a, b}, {a, b, c}}, ⊂).
W zbiorze liniowo uporządkowanym istnieje co najwyżej jeden
element minimalny. Jeśli taki element istnieje, to jest elementem
najmniejszym. Analogiczna własność zachodzi oczywiście dla elementów maksymalnych.
12
Porządek leksykograficzny
Niech (A, 4) będzie zbiorem liniowo uporządkowanym. W zbiorze
słów nad alfabetem A określamy relację porządku leksykograficznego „ 4lex” w sposób następujący:


a1 ≺ b1





 ∨
a1a2 . . . am 4lex b1b2 . . . bn ⇔ a1 = b1, . . . , ak−1 = bk−1, ak ≺ bk



∨



 a = b , . . . , a = b , m 6 n.
m
m
1
1
Relacja „ 4lex” jest porządkiem liniowym w zbiorze A∗.
13