GEOMETRIA ANALITYCZNA NA PŁASZCZYŹNIE I. Wektory Jeżeli A

Geometria analityczna na płaszczyźnie
Architektura Krajobrazu
GEOMETRIA ANALITYCZNA NA PŁASZCZYŹNIE
I. Wektory
−−→
Jeżeli A(a1 , a2 ), B(b1 , b2 ) ∈ R2 , wtedy wektor AB = [b1 − a1 , b2 − a2 ].
Wersorem nazywamy wektor jednostkowy, tzn. wektor o długości 1.
Wektory ~i = [1, 0], ~j = [0, 1] nazywamy wersorami odpowiednio osi OX, OY .
Niech ~x = [x1 , x2 ], ~y = [y1 , y2 ], ~z = [z1 , z2 ], λ ∈ R.
a) ~x + ~y = [x1 + y1 , x2 + y2 ].
b) ~x − ~y = [x1 − y1 , x2 − y2 ].
c) λ~x = [λx1 , λx2 , ].
Środek odcinka o końcach A(a1 , a2 ), B(b1 , b2 ) to punkt o współrzędnych: S =
a1 +b1 a2 +b2
2 ,
2
.
Długość wektora ~x jest określona wzorem
|~x| =
q
x21 + x22 .
Iloczyn skalarny wektorów ~x, ~y określamy wzorem
~x ◦ ~y = |~x||~y | cos ϕ,
gdzie ϕ = ^(~x, ~y ).
Postać analityczna iloczynu skalarnego jest następująca
~x ◦ ~y = x1 y1 + x2 y2 .
Własności:
a) ~x k ~y ⇐⇒ xy11 = xy22 .
b) ~x ⊥ ~y ⇐⇒ ~x ◦ ~y = 0.
II. Prosta
Równanie kierunkowe prostej ma postać
L : y = ax + b
gdzie a = tg α nazywany współczynnikiem kierunkowym prostej (α jest kątem nachylenia prostej
do osi OX).
Równanie ogólne prostej prostopadłej do niezerowego wektora ~n = [A, B] ma postać
L : Ax + By + C = 0.
Wektor ~n nazywamy wektorem normalnym prostej L.
Równanie parametryczne prostej przechodzącej przez punkt P (x0 , y0 ) oraz równoległej do
niezerowego wektora ~u = [a, b] ma postać
(
L:
x = x0 + at
, gdzie t ∈ R.
y = y0 + bt
1
Geometria analityczna na płaszczyźnie
Architektura Krajobrazu
Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty P = (xP , yP ), R = (xR , yR ) ma postać
(y − yP )(xR − xP ) = (x − xP )(yR − yP )
y − yP =
yR − yP
(x − xP )
xR − xP
Weźmy dwie dowolne proste dane równaniami
L1 : y = a1 x + b1 ,
L2 : y = a2 x + b2 .
Wtedy:
a) L1 k L2 ⇐⇒ a1 = a2 .
b) L1 ⊥ L2 ⇐⇒ a1 · a2 = −1.
Jeśli proste dane są równaniami
L1 : A1 x + B1 y + C1 = 0,
Wtedy:
a) L1 k L2 ⇐⇒
A1
A2
=
L2 : A2 x + B2 y + C2 = 0.
B1
B2 .
b) L1 ⊥ L2 ⇐⇒ A1 · A2 + B1 · B2 = 0.
Kątem ϕ między prostymi L1 i L2 :
a1 −a2
tg ϕ = 1−a
,
1 ·a2
gdy proste dane są równaniami: L1 : y = a1 x + b1 ,
L2 : y = a2 x + b2
oraz
◦n~2
cos ϕ = |nn~~11|·|
n~2 | ,
gdy proste dane są równaniami: L1 : A1 x + B1 y + C1 = 0,
(n~1 = [A1 , B1 ], n~2 = [A2 , B2 ]).
L2 : A2 x + B2 y + C2 = 0
Odległość punktu P0 (x0 , y0 ) od prostej L : Ax + By + C = 0 wynosi:
d(P0 , L) =
|Ax√0 +By0 +C|
.
A2 +B 2
Odległość między prostymi równoległymi L1 , L2 wynosi:
d=
gdy L1 : y = ax + b1 ,
|b
√1 −b2 | ,
1+a2
L2 : y = ax + b2
oraz
d=
gdy L1 : Ax + By + C1 = 0,
2
|C1 −C2 |
√
,
A2 +B 2
L2 : Ax + By + C2 = 0
Geometria analityczna na płaszczyźnie
Architektura Krajobrazu
Wzajemne położenie prostych na
( płaszczyźnie
A1 x + B1 y + C1 = 0
a) proste przecinają się, gdy układ
ma dokładnie jedno rozwiązanie;
A2 x + B2 y + C2 = 0
(
A1 x + B1 y + C1 = 0
ma nieskończenie wiele rozwiązań;
A2 x + B2 y + C2 = 0
(
A1 x + B1 y + C1 = 0
jest sprzeczny.
A2 x + B2 y + C2 = 0
b) proste pokrywają sie, gdy układ
c) proste są równoległe, gdy układ
III. Okrąg
Okrąg o środku S = (a, b) i promieniu r ma postać:
(x − a)2 + (y − b)2 = r2
x2 + y 2 − 2ax − 2by + c = 0,
gdzie c = a2 + b2 − r2
W szczególnym przypadku, gdy środek okręgu leży w początku układu współrzędnych, to równanie
przyjmuje postać
x2 + y 2 = r2
3
Geometria analityczna na płaszczyźnie
Architektura Krajobrazu
ZADANIA
1. Dane są punkty: P = (1, 3), R = (3, 7). Obliczyć:
−→
a) współrzędne wektora P R;
−→
b) długość wektora P R;
c) środek odcinka P R.
2. Dla jakiego k wektory ~a = [3, 2], ~b = [k, 2k + 4] są równoległe, a dla jakiego prostopadłe?
3. Dany jest trójkąt o wierzchołkach A = (2, −1), B = (3, 1), C = (1, 2). Obliczyć kąt przy wierzchołku
A, tzn ^BAC.
4. Napisać równanie prostej równoległej do prostej 3x + y + 1 = 0 i przechodzącej przez punkt
P = (1, 1).
5. Napisać równanie prostej prostopadłej do prostej 2x − y + 3 = 0 i przechodzącej przez punkt
P = (2, 1).
6. Napisać równanie prostej przechodzącej przez punkty P = (−2, 10) oraz Q = (1, −1).
√
√
7. Znaleźć odległość między prostymi równoległymi: 3x + y − 3 10 = 0, 6x + 2y + 5 10 = 0.
8. Wyznaczyć odległość punktu P = (−2, 3) od prostej 3x − 4y + 2 = 0.
9. Określić wzajemne położenie prostych: x − 3y + 2 = 0, y = − 43 x + 1.
10. Napisać równanie okręgu o środku w punkcie (−2, 4) i promieniu 1.
11. Znaleźć środek i promień okręgu danego równaniem: x2 + y 2 − 4x + 2y + 1 = 0.
4