Seria 2. - dynamika

Seria 2. - dynamika
Całkowanie równań ruchu
1. Na ciało o masie m działa siła F (t) = f0 e−bt (przy czym f0 i b to stałe). W chwili początkowej ciało miało
prędkość v(0) = 0 i znajdowało się w punkcie x(0) = 0. Wyznacz położenie i prędkość ciała w funkcji czasu.
Do jakiej prędkości vgr ciało będzie przyspieszane (jaka będzie jego prędkość w granicy dla nieskończonego
czasu)?
Odp. v(t) =
f0
mb (1
− e−bt ), x(t) =
f0
mb t
+
f0
−bt
mb2 (e
− 1), vgr =
f0
mb
2. Na ciało o masie m działa siła hamująca ruch, proporcjonalna do prędkości, F = −bv, b - stała. Znaleźć zależność prędkości ciała od czasu. Jaką drogę przebędzie ciało do chwili zatrzymania się? Prędkość początkową
ciała przyjąć równą v0 .
b
Odp. v = v0 e− m t , s =
v0 m
b
3. Samochód o masie m hamowany jest siłą oporu F = −kv 2 . Jaką drogę przebędzie samochód, zanim jego
prędkość zmaleje do połowy?
Odp. s =
m
k
ln 2
√
4. Na poruszające się ciało o masie m działa siła oporu o wartości F = −b v, gdzie v jest prędkością ciała, b
- dodatnią stałą. Zakładając, że w chwili t = 0 prędkość ciała wynosiła v0 , wyznacz czas τ po jakim ciało
zatrzyma się i drogę sτ jaką przebędzie do chwili zatrzymania.
Odp. τ =
√
2m v0
,
b
3/2
sτ =
2mv0
3b
5. Ciało o masie m spada pionowo bez prędkości początkowej w ośrodku, który stawia opór proporcjonalny do
pierwszej potęgi prędkości ciała, równy co do wartości R = k m v, gdzie k jest stałym dodatnim współczynnikiem proporcjonalności. Znaleźć równianie ruchu ciała.
Odp. x(t) =
g
−kt
k2 (e
− 1) + kg t
6. Ciało o ciężarze P spada pionowo bez prędkości początkowej w polu sił ciężkości. Na ciało działa siła oporu
R = k 2 P v 2 , gdzie k jest dodatnią stałą. Znaleźć prędkość ciała jako funkcję czasu. Wyznaczyć jego prędkość
graniczną. Znaleźć również równanie ruchu.
Odp. v(t) = k1 (1 −
2
),
e2kgt +1
x(t) =
1
k2 g
ln cosh kgt
7. Kamień o masie m wrzucono z prędkością V0 do studni, w której poziom wody znajduje się na głębokości
d. Zakładamy, że kamień w powietrzu spada swobodnie, natomiast w wodzie działa na niego siła oporu
proporcjonalna do prędkości F~ = −k~v . Znaleźć zależność położenia, prędkości i przyspieszenia kamienia od
czasu.
mg
m
−kt/m
Odp. x(t) = mg
) + d, v(t) =
k t + k (v1 − k )(1 − e
p
2
v1 = v0 + 2gd
mg
k
k
−kt/m
+ (v1 − mg
, a(t) = (g − m
v1 )e−kt/m , gdzie
k )e
8. Pocisk przebił na wylot deskę o grubości h zmniejszając przy tym swoją prędkość z v0 do v1 . Oblicz czas przelotu pocisku przez deskę, jeżeli siła oporu z jaką deska działała na pocisk była proporcjonalna do kwadratu
prędkości.
Odp.: τ =
h(v0 −v1 )
v
v0 v1 ln v0
1
9. Spadochroniarz wyskakuje z lecącego idealnie poziomo na dużej wysokości samolotu. Jak będzie zależała od
czasu prędkości opadania, jeżeli działające na niego siły oporu powietrza są proporcjonalne do prędkości
opadania (współczynnik proporcjonalności wynosi b > 0) i odwrotnie do niej skierowane?
b
1 − e− m t
Odp.: v(t) = mg
b
10. Kulkę drewnianą o gęstości ρ1 i masie m wrzucamy z wysokości h0 do cieczy o gęstości ρ2 , przy czym ρ1 < ρ2 .
Siła oporu, z jaką ciecz działa na kulkę, jest równa F = −kv. Znaleźć równanie ruchu x(t) kulki.
11. Ciało o masie m rzucono pionowo do góry z prędkością v0 . Zakładając, że siła oporu powietrza jest proporcjonalna do prędkości (F = −bv, gdzie b jest dodatnią stałą) obliczyć czas wznoszenia się ciała do najwyżej
położonego punktu.
v0 b
Odp. τ = m
ln
1
+
b
mg
12.
∗
Na gładkim stole leży sznur, 41 długości sznura zwisa pionowo w dół. Znaleźć czas, po którym cały sznur
spadnie ze stołu, jeżeli w chwili t = 0 jego prędkość jest równa zeru, a całkowita długość sznura wynosi l.
q
√
Odp. t = gl ln(4 + 15)
1
Siły pozorne
13. Przez nieruchomy bloczek przerzucono nieważką linę. Na jednym jej końcu znajduje się banan o masie m a
na drugim końcu małpa o masie M . Z jakim przyspieszeniem a będzie poruszał się banan jeśli: a) małpa nie
porusza się względem liny, b) małpa wspina się do góry ze stałą prędkością v0 , c) małpa wspina się do góry
ze stałym przyspieszeniem a0 względem liny.
Odp. b) a =
M −m
M +m g
c) a =
M (g+a0 )−mg
M +m
14. Ciało o masie m umieszczono na równi pochyłej o kącie nachylenia α, która porusza się z przyspieszeniem a0 .
Dla jakiego zakresu wartości a0 ciało na równi pozostanie względem niej nieruchome. Współczynnik tarcia
wynosi f .
sin α+f cos α
α−f cos α
Odp. a0 ∈ hg sin
cos α+f sin α ; g cos α−f sin α i
15. Po równi pochyłej o kącie nachylenia α zsuwa się naczynie z cieczą. Współczynnik tarcia f < tg α. Wyznaczyć
nachylenie powierzchni cieczy w naczyniu względem równi.
Odp. β = arc tg f
16. Na platformie obrotowej znajduje się naczynie w kształcie cylindra o promieniu R, wypełnione cieczą do
wysokości H. Jaki kształt przybierze powierzchnia cieczy jeśli platforma będzie się obracać z prędkością
kątową ω?
Wskazówka Zbadaj funkcję y(x) opisującą poziom cieczy y w funkcji odległości od środka naczynia x.
Odp. y(x) =
ω 2 x2
2g
+H −
ω 2 R2
4g
17. Zakręt ma promień krzywizny R. Jezdnia jest nachylona do środka zakrętu pod kątem α względem poziomu. Oblicz największą prędkość v z jaką może jechać samochód po zakręcie, aby nie wpaść w poślizg.
Współczynnik tarcia k.
q
k cos α+sin α
Odp. v = gR cos
α−k sin α
18. Na wirującej z częstością ω równi pochyłej o kącie α znajduje się mrówka, w którym miejscu powinna się
ona ustawić, aby nie zlecieć z równi? Tarcie pomijamy.
Odp. x =
g sin α
ω 2 cos2 α
19. Na pionowo ustawionym obracającym się wokół średnicy pionowej okręgu o promieniu R znajduje się koralik.
Układ jest umieszczony w ziemskim polu grawitacyjnym. Znaleźć punkty na okręgu, w których koralik może
znajdować się w spoczynku.
Odp. ϕ1 = 0, ϕ2 = π, ϕ = ± arc cos( ω2gR )
20. Małe ciało ześlizguje się po sferze o promieniu R. Znajdź kąt, przy którym ciało oderwie się od powierzchni
i prędkość, jaką do tego czasu osiągnie.
q
Odp. cos α = 2/3, v = 23 Rg
21. Znaleźć odchylenie ciała spadającego z wieży o wysokości h w polu grawitacyjnym ziemskim. Wynik przedyskutować w zależności od szerokości geograficznej ϕ miejscowości, w której znajduje się wieża.
3/2
Odp. x = 31 gω cos ϕ 2h
g
22. Pocisk wystrzelono z prędkością początkową v0 skierowaną pod kątem α do poziomu z działa skierowanego na
południe znajdującego się na półkuli północnej w miejscu o szerokości geograficznej ϕ. Obliczyć odchylenie
pocisku od linii strzału w chwili upadku.
Odp. ∆x =
8πv03
T g2
sin ϕ cos α sin2 α
23. Pociski V-2, którymi Niemcy bombardowali Londyn w czasie II Wojny Światowej, przebywały drogę s =
300km i doznawały odchylenia x = 3700m. Zakładając, że pociski leciały ze stałą prędkością i poruszały się
wzdłuż południka, znaleźć czas ich lotu. Przyjąć, że szerokość geograficzna Londynu równa jest szerokości
geograficznej Warszawy (ϕ = 52).
Odp. t =
xT
2πs sin ϕ
24. Na szerokości geograficznej ϕ = π/3 parowóz o masie m = 105 kg jedzie z południa na północ z prędkością
v = 72km/h po torze kolejowym biegnącym wzdłuż południka. Znaleźć wartość i kierunek siły jaką parowóz
wywiera na szyny kolejowe prostopadle do kierunku toru.
Odp. F = 2mvω sin ϕ
2