Rachunek prawdopodobienstwa i statystyka Z9 − Z10 1. W pewnym

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Z9 − Z10
1. W pewnym szpitalu zbadano wag˛e noworodków przebywajacych
˛
na oddziale położniczym. Uzyskano
nast˛epujace
˛ wyniki:
3, 7, 4, 0, 3, 5, 3, 7, 2, 5, 1, 8, 3, 5, 3, 6, 2, 9, 1, 5, 4, 5, 2, 3, 1, 6, 4, 2, 3, 2, 3, 8
2, 5, 2, 4, 3, 7, 5, 0, 3, 4, 2, 6, 2, 8, 2, 6, 4, 1, 4, 8, 3, 0, 4, 4, 3, 0, 3, 2.
Dla powyższych danych utworzyć szereg rozdzielczy, histogram liczebności, histogram cz˛estości oraz
łamana˛ cz˛estości.
2. Dzienne zużycie energii elektrycznej (w kWh) przez lokatorów pewnego budynku było nast˛epujace:
˛
15, 12, 10, 5, 10, 18, 6, 13, 41, 25.
(a) Wyznaczyć wartość średnia˛ i median˛e.
(b) Sporzadzić
˛
szereg rozdzielczy (biorac
˛ jako pierwszy przedział [5; 10)). Narysować histogram. Czy
rozkład zużycia energii jest symetryczny? Co jest w tym przypadku lepszym wskaźnikiem położenia: wartość średnia czy mediana?
3. W 12 wybranych niezależnie gospodarstwach pewnej gminy otrzymano nast˛epujace
˛ dane dotyczace
˛ plonów
żyta (w q/ha):
28, 5, 30, 1, 29, 4, 30, 1, 39, 3, 27, 4, 29, 8, 27, 8, 30, 0, 31, 3, 28, 7, 29, 0.
(a) Wyznaczyć wartość średnia˛ oraz odchylenie standardowe.
(b) Wyznaczyć median˛e, kwartyl dolny oraz kwartyl górny.
(c) Narysować wykres skrzynkowy i sprawdzić, czy sa˛ obserwacje odstajace.
˛
4. W celu oszacowania czasu reakcji organizmu po zażyciu nowego leku u osób cierpiacych
˛
na pewne
schorzenie, przebadano 150 pacjentów. Mierzono czas reakcji (w minutach) od podania jednorazowej
dawki leku do momentu wystapienia
˛
pewnego objawu. Zebrane wyniki przedstawia poniższa tabela:
Czas reakcji w minutach
[3; 8)
[8; 13)
[13; 18)
[18; 23)
[23; 28)
[28; 33)
[33; 38)
[38; 43)
Liczba osób
3
4
15
24
70
22
7
5
(a) Wyznaczyć wartość średnia˛ oraz kwartyle.
(b) Narysować histogram liczebności. Wskazać mod˛e.
5. W dwóch grupach chorych zmierzono ciśnienie skurczowe krwi. Otrzymano nast˛epujace
˛ wyniki:
Grupa I:
Grupa II:
145
115
125
150
130
100
155
180
140
140
150
165
135
.
130
Określić, która grupa charakteryzuje si˛e wi˛ekszym zróżnicowaniem ciśnienia (wyznaczyć współczynnik
s
zmienności v = .)
x
6. Badano czas reakcji na lek w 3 grupach 100-osobowych. Dane przedstawiono w poniższej tabeli:
Czas reakcji
[10; 20)
[20; 30)
[30; 40)
[40; 50)
[50; 60)
Grupa I
10
20
40
20
10
Grupa II
5
35
25
25
10
Grupa III
10
25
.
25
35
5
Porównać czas reakcji w obu grupach za pomoca˛ współczynnika skośności.
Współczynnik skośności:
β1 =
µ3
,
s3
gdzie
n
µ3 =
1 X
(xi − x)3 ni .
n − 1 i=1
Jeśli β1 = 0, to rozkład cechy jest symetryczny.
Jeśli β1 > 0, to rozkład cechy jest prawostronnie skośny.
Jeśli β1 < 0, to rozkład cechy jest lewostronnie skośny.
7. W pewnej miejscowości zbadano zużycie wody przez rodziny, uzyskujac
˛ wyniki:
Zużycie wody w litrach
Odsetek rodzin
[30; 50)
10
[50; 70)
30
[70; 90)
25
[90; 110)
20
[110; 130)
.
15
(a) Narysować histogram i ocenić asymetri˛e rozkładu zużycia wody.
(b) Narysować wykres skrzynkowy przyjmujac
˛ xmin = 32, xmax = 129. Który element wykresu
wskazuje na asymetri˛e?
8. Zmienna losowa (X, Y ) ma rozkład ciagły
˛ o g˛estości
 1
 2 , (x, y) ∈ D1
1 , (x, y) ∈ D2 ,

0 ,
w p.p.
gdzie D1 = {(x, y) : −1 < x < 0, 0 < y < 1}, D2 = {(x, y) : 0 6 x 6 1, 0 < y < 21 }. Wyznaczyć
prosta˛ regresji liniowej X wzgl˛edem Y oraz bład
˛ tego przybliżenia.
9. Spośród kibiców pewnego klubu sportowego wylosowano niezależnie 10 osób. Niech X oznacza wzrost
(w cm), zaś Y wag˛e (w kg) osoby. Otrzymano nast˛epujace
˛ wyniki:
X:
Y :
165, 5
69
166
67
168
67
168, 5
74
169
70
169, 5
75
170
73
171
73
173, 5
70
179
93
Wyznaczyć prosta˛ regresji liniowej Y wzgl˛edem X. Korzystajac
˛ z wyniku podać przybliżona˛ wag˛e
kibica, który ma 166, 5 cm wzrostu.