dr in˙z. Magdalena Topczewska Cwiczenia nr 5 Zmienna losowa

dr inż. Magdalena Topczewska
Ćwiczenia nr 5
Zmienna losowa dwuwymiarowa
Zakres teorii
• Zmienna losowa dwuwymiarowa dyskretna i ciag
, la
– funkcja rozkladu prawdopodobieństwa
– dystrybuanta
– rozklady brzegowe
– rozklady warunkowe
– rozklady zmiennej losowej dwuwymiarowej
– charakterystyki zmiennej losowej dwuwymiarowej
Zadania
Zad 1.
Niech (X, Y ) bedzie
dwuwymiarowa, zmienna, losowa, typu skokowego o wartościach i prawdopodobieństwach
,
podanych w tabeli. Znaleźć rozklady brzegowe i sprawdzić, czy zmienne sa, niezależne.
Y \X
y1
y2
x1
0.25
0.2
x2
0.23
0.1
x3
0.12
0.1
Zad 2.
Niech (X, Y ) bedzie
dwuwymiarowa, zmienna, losowa, typu skokowego o wartościach i prawdopodobieństwach
,
podanych w tabeli. Znaleźć rozklady brzegowe i sprawdzić, czy zmienne sa, niezależne.
Y \X
−1
0
1
0
1
8
1
4
0
1
0
2
1
4
0
0
1
8
1
8
3
0
1
8
0
Zad 3.
Dobrać stala, c, by funkcja
f (x, y) =
x + cxy
0
dla 0 6 x 6 2, 0 6 y 6 1
w p.p.
byla funkcja, gestości.
,
Zad 4.
Znaleźć stala, a, by funkcja f (x, y) byla funkcja, gestości
zmiennej losowej (X, Y ), a nastepnie
znaleźć rozklady
,
,
brzegowe zmiennych X i Y , znajac
g
estość
prawdopodobieństwa
dwuwymiarowej
zmiennej
losowej
,
,
1
dla |x| 6 2, |y| 6 2
a
f (x, y) =
0
w p.p.
Zad 5.
Gestości
a, zmiennej losowej (X, Y ) jest
,
f (x, y) =
e−x−y
0
dla x, y > 0
w p.p.
Znaleźć gestości
fX (x) i fY (y) rozkladów brzegowych zmiennych losowych X i Y .
,
Zad 6.
Dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) ma nastepuj
acy
rozklad p11 = 38 , p12 = 38 , p21 =
,
,
rozklady brzegowe zmiennych X i Y . Zbadać, czy zmienne losowe X i Y sa, niezależne.
1
1
8
i p22 = 81 . Znaleźć
Zad 7.
Znaleźć dystrybuante, zmiennej losowej (X, Y ), której gestości
a, jest funkcja
,
x − xy dla 0 6 x 6 2, 0 6 y 6 1
f (x, y) =
0
w p.p.
Zad 8.
Dana jest dwuwymiarowa zmienna losowa (X, Y ) o wartościach i prawdopodobieństwach podanych w tabeli
Y \X
−2
0
2
−1
0
1
5
1
15
1
10
1
10
0
1
10
1
0
1
5
1
15
2
1
10
1
15
0
1. Czy zmienne losowe X i Y sa, niezależne?
2. Znaleźć rozklad zmiennej losowej warunkowej X/Y = 2.
3. Znaleźć rozklad zmiennej losowej warunkowej Y /X = 1.
Zad 9.
Rzucamy 5 razy moneta.
, Niech X oznacza liczbe, orlów otrzymanych w tych rzutach, Y - liczbe, serii orlów,
Z zaś – dlugość najdluższej serii orlów. Wypisać wszystkie zdarzenia elementarne w opisanym doświadczeniu.
Wyznaczyć:
1. rozklad dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y ),
2. rozklady brzegowe poszczególnych zmiennych,
3. rozklad dwuwymiarowej zmiennej (X, Z) oraz obliczyć P (X = 3, Z <= 2),
(w ciagu
elementów dwóch rodzajów każdy maksymalny podciag
,
, elementów jednego rodzaju nazywamy seria).
,
Zad 10.
W 10-cio elementowej partii pewnego towaru sa, 2 sztuki wadliwe. Wylosowano bez zwrotu 2 sztuki. Niech
zmienna losowa X przyjmuje wartości równe liczbie sztuk wadliwych wśród 2 wylosowanych sztuk, Y – przyjmuje wartość 1, jeśli pierwsza wylosowana sztuka jest wadliwa, 0 – jeśli nie jest wadliwa. Wyznaczyć rozklad
dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y ). Zbadać, czy zmienne sa, niezależne. Znaleźć rozklad zmiennej losowej
warunkowej X/Y = 1.
2