Kolokwium ze statystyki [poprawkowe]

30.05.2006
Kolokwium ze statystyki [poprawkowe]
imię i nazwisko
Zadanie 1. [15 punktów]
Zbadano 100 dzieci. Okazało się, że średnia waga dziecka w tej próbie wynosi 15 kg. Oszacuj przedziałowo na poziomie
ufności 0,90 średnią wagę dziecka w populacji, z której pobrano próbę, następnie zaznacz na wykresie otrzymany
przedział ufności. Przyjmij, że odchylenie standardowe wagi dziecka w populacji wynosi 4 kg.
Zadanie 2. [20 punktów]
Zmienna X ma w pewnej populacji rozkład Poissona. Jej średnia wynosi -4, a odchylenie standardowe 5.
Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania z tej populacji takiej 900-osobowej próby, której średnia będzie się różniła
od średniej w populacji co najwyżej o 0,5.
Zadanie 3. [15 punktów]
Dana jest populacja Ω, której 20% stanowią obiekty, dla których X wynosi 0, a dla reszty X wynosi 2. Z tej populacji
losujemy proste, niezależne próby losowe o liczebności n=3.
a. Wyznacz rozkład prawdopodobieństwa zmiennej „średnia X z trójelementowej próby”.
b. Objaśnij pojęcie „statystyka z próby”.
c. Jaka byłaby średnia i wariancja zmiennej „średnia z 20-elementowej próby” wylosowanej z tej samej populacji?
Odpowiedź proszę uzasadnić.
Zadanie 4. [20 punktów]
Weryfikowano hipotezę głoszącą, że pacjent jest zdrowy przeciwko hipotezie, że jest chory na zapalenie płuc. Testem był
pomiar temperatury ciała pacjenta. Punktem krytycznym była temperatura 38 stopni.
a. Opisz, jak mogła wyglądać funkcja decyzyjna. Na czym polegał (z czego wynikał) błąd pierwszego i drugiego
rodzaju.
b. Co zmieniłoby się, gdyby hipoteza zerowa głosiła, że pacjent jest chory, a alternatywna – że jest zdrowy?
Zadanie 5. [30 punktów]
[Uwaga: Przy rozwiązywaniu tego zadania należy szczególnie dokładnie wskazać, który punkt jest rozwiązywany]
Poniższy rozkład przedstawia wyniki badania 900-osobowej próby drobnych przedsiębiorców. Zmienna X oznacza liczbę
stałych klientów przedsiębiorcy.
xi
1
2
3
4
razem
P(X= xi)
0,1
0,2
0,3
0,4
1,0
a. Na poziomie istotności 0,02 wyznacz optymalną funkcję decyzyjną dla weryfikacji
hipotezy o tym, że średnia liczba stałych klientów małego przedsiębiorcy wynosi
2,7 przeciwko hipotezie, że takich klientów jest średnio 3,3.
b. Oblicz prawdopodobieństwo popełnienia błędu drugiego rodzaju dla wyznaczonej
funkcji decyzyjnej.
c. Przeprowadź procedurę weryfikacji
d. Podaj dowolną inną (nieoptymalną) funkcję decyzyjną (z jednostronnym obszarem
krytycznym) dla weryfikacji tej samej hipotezy, oblicz dla niej α i β. Jaka byłaby
decyzja przy zastosowaniu tej funkcji?
30.05.2006
Kolokwium ze statystyki [poprawkowe]
imię i nazwisko
Zadanie 1. [20 punktów]
Zmienna X ma w pewnej populacji rozkład dwumianowy. Jej średnia wynosi -2, a odchylenie standardowe 0,4.
Obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania z tej populacji takiej 400-osobowej próby, której średnia będzie się różniła
od średniej w populacji co najmniej o 0,1.
Zadanie 2. [30 punktów]
[Uwaga: Przy rozwiązywaniu tego zadania należy szczególnie dokładnie wskazać, który punkt jest rozwiązywany]
Poniższy rozkład przedstawia wyniki badania 900-osobowej próby drobnych przedsiębiorców. Zmienna X oznacza liczbę
stałych klientów przedsiębiorcy.
xi
1
2
3
4
razem
P(X= xi)
0,4
0,3
0,2
0,1
1,0
a. Na poziomie istotności 0,01 wyznacz optymalną funkcję decyzyjną dla weryfikacji
hipotezy o tym, że średnia liczba stałych klientów małego przedsiębiorcy wynosi
1,8 przeciwko hipotezie, że takich klientów jest średnio 2,2.
b. Oblicz prawdopodobieństwo popełnienia błędu drugiego rodzaju dla wyznaczonej
funkcji decyzyjnej.
c. Przeprowadź procedurę weryfikacji
d. Podaj dowolną inną (nieoptymalną) funkcję decyzyjną (z jednostronnym obszarem
krytycznym) dla weryfikacji tej samej hipotezy, oblicz dla niej α i β. Jaka byłaby
decyzja przy zastosowaniu tej funkcji?
Zadanie 3. [15 punktów]
Dana jest populacja Ω, której 80% stanowią obiekty, dla których X wynosi 0, a dla reszty X wynosi 2. Z tej populacji
losujemy proste, niezależne próby losowe o liczebności n=3.
a. Wyznacz rozkład prawdopodobieństwa zmiennej „średnia X z trójelementowej próby”.
b. Objaśnij pojęcie „statystyka z próby”.
c. Jaka byłaby średnia i wariancja zmiennej „średnia z 15-elementowej próby” wylosowanej z tej samej populacji?
Odpowiedź proszę uzasadnić.
Zadanie 4. [20 punktów]
Weryfikowano hipotezę głoszącą, że pacjent jest chory na zapalenie oskrzeli przeciwko hipotezie, że jest zdrowy. Testem
był pomiar temperatury ciała pacjenta. Punktem krytycznym była temperatura 37,5 stopnia.
a. Opisz, jak mogła wyglądać funkcja decyzyjna. Na czym polegał (z czego wynikał) błąd pierwszego i drugiego
rodzaju.
b. Co zmieniłoby się, gdyby hipoteza zerowa głosiła, że pacjent jest zdrowy, a alternatywna – że jest chory?
Zadanie 5. [15 punktów]
Zbadano 400 dzieci. Okazało się, że średnia waga dziecka w tej próbie wynosi 18 kg. Oszacuj przedziałowo na poziomie
ufności 0,98 średnią wagę dziecka w populacji, z której pobrano próbę. Narysuj wykres i zaznacz na nim otrzymany
przedział ufności. Przyjmij, że odchylenie standardowe wagi dziecka w populacji wynosi 5 kg.