Lista 4: Metoda odwrotnej dystrybuanty

Lista 4: Metoda odwrotnej dystrybuanty - rozkªady dyskretne
Zad. 1 Napisa¢ program o argumencie (x1 , x2 , . . . , xn ), n ∈ N, (p1 , p2 , . . . , pn ),
który generuje n niezale»nych zmiennych losowych o sko«czonym dyskretnym rozkªadzie (xi , pi ) : i = 1, 2, . . . , n. Zastosowa¢ metod¦ odwrotnej dystrybuanty. Jak przy±pieszy¢ ten algorytm? Zwerykowa¢ za pomoc¡ dystrybuanty, prawdopodobie«stw, momentów i testu zgodno±ci
chi-kwadrat (przypomnie¢ hipotezy, statystyk¦ testow¡, jej rozkªad i
liczenie p-warto±ci) poprawno±¢ swojego programu.
Zad. 2 a) Napisa¢ program o argumencie λ > 0, który generuje jedn¡ warto±¢
zmiennej losowej X o rozkªadzie Poissona P ois(λ). Zastosowa¢ metod¦ odwrotnej dystrybuanty oraz p¦tl¦ while. Jaka jest ±rednia liczba
porówna« w tym algorytmie (liczba wykona« p¦tli), jak zale»y od parametru λ?
b) Uogólni¢ program z podpunktu a) aby generowa¢ wektor niezale»nych zmiennych losowych (X1 , X2 , . . . , Xn ) o jednakowym rozkªadzie
Poissona P ois(λ). Zastosowa¢ p¦tl¦ loop. Zwerykowa¢ za pomoc¡ dystrybuanty, prawdopodobie«stw, momentów i testu chi-kwadrat poprawno±¢ swojego programu.
Zad. 3 Napisa¢ program o argumencie λ > 0, który generuje jedn¡ warto±¢
zmiennej losowej X o rozkªadzie Poissona P ois(λ). Zastosowa¢ metod¦
odwrotnej dystrybuanty, ale przeszukuj¡cy algorytm rozpocz¡¢ od najbardziej prawdopodobnej warto±ci zmiennej losowej i kontyuowa¢ odpowiednio dla warto±ci mniejszych b¡d¹ wi¦kszych. Jaka jest ±rednia
liczba porówna« w tym algorytmie (liczba wykona« p¦tli), jak zale»y
od parametru λ? Jak ma si¦ ta ±rednia ze ±redni¡ liczb¡ porówna«
algorytmu z zad.1 a)?
Zad. 4 (Zadanie domowe) Napisa¢ program o argumentach: p ∈ [0, 1] oraz
n ∈ N, który generuje jedn¡ warto±¢ zmiennej losowej X z rozkªadu
dwumianowego b(n, p). Nie stosowa¢ interpretacji schematu Bernoulliego (nie zlicza¢ sukcesów w poszczególnych próbach), tylko zastosowa¢ metod¦ odwrtnej dystrybuanty. Dokªadniej, znale¹¢ rekurencj¦ dla
prawdopodobie«stw pk = P (X = k) i ±ledzi¢ algorytm jak dla rozkªadu
Poissona. Jaki ma rozkªad ±rednia liczba porówna« w tym algorytmie
(liczba wykona« p¦tli), jaka jest jej ±rednia? Jak algorytm mo»na przy±pieszy¢ aby ±rednia ta byªa najmniejsza? Wskazówka: Przy±pieszy¢
mo»na na dwa sposoby: jak w generatorze Poissona albo poprzez zamian¦ p na 1 − p.
1