Zadania z ekonomii matematycznej 1. Rozwiąż równanie

1.
2.
3.
4.
Zadania z ekonomii matematycznej
dy
Rozwiąż równanie różniczkowe
+ 4 y = 12 przy warunku y (0) = 5 .
dt
Rozwiąż równanie różnicowe yt +1 − 6 yt = 10 przy warunku y0 = 6 .
Niedźwiedzia rodzina próbuje zdecydować się na obiad. Dziecko miś mówi, że jego
kolejność ulubionych potraw to: miód, gąsienice, kasztany. Mama niedźwiedzica ma
preferencje: gąsienice, kasztany, miód, a preferencje taty niedźwiedzia to kasztany, miód,
gąsienice. Aby ustalić wspólne menu rodzina niedźwiedzia postawia brać po kolei każdą
parę możliwości i w większościowym głosowaniu określić kolejność spożywanych
potraw. Tata sugeruje, żeby najpierw rozważyć parę miód-gąsienice, a potem parę
zwycięzca-kasztany. Mama z kolei sugeruje, żeby najpierw rozważyć parę miódkasztany, a potem parę zwycięzca-gąsienice. Która potrawa zostanie wybrana w obu
przypadkach? Jaki porządek wyboru powinien zasugerować miś, aby otrzymał na obiad
swój ulubiony miód? Czy preferencje ustalone w drodze głosowania są przechodnie?
Która potrawa zostanie wybrana na obiad, jeśli w niedźwiedzim domu panuje tyrania
(wybór odbywa się zgodnie z zasadą ,,ustępowania słabszemu”)? (Varian, zad. 3.14, s.
40).
Załóż, że funkcją użyteczności Adama jest U = X 1 X 2 , gdzie X i – wielkość spożycia
dobra i -tego ( i = 1,2 ). Wyprowadź marshallowskie funkcje popytu konsumpcyjnego
wiedząc, że ograniczeniem budżetowym Adama jest p1 X 1 + p 2 X 2 = Y , gdzie p i – cena
jednostkowa dobra i -tego (zł), Y – dochód Adama (zł). Wyznacz elastyczności cenowe
(własną i krzyżową) oraz elastyczność dochodową popytu na dobro i -te. Pokaż o ile
zmieni się popyt Adama na dobro i -te, gdy obie ceny jednostkowe oraz jego dochód
zmienią się t razy. Pokaż o ile zmieni się jego popyt na dobro i -te, gdy cena
jednostkowa dobra j -tego ( j = 1,2 ) (jego dochód) zmieni się o dp j ( dY ), ceteris
paribus. Wyznacz wielkości popytu na oba dobra oraz zmiany popytu wywołane
zmianami dp j oraz dY dla p1 = 5 , p 2 = 2 oraz Y = 100 .
5.
6.
Załóż, że funkcją użyteczności Doroty jest 5U 2 + 20U + 10 , gdzie U – funkcja
użyteczności Adama. Wyprowadź marshallowskie funkcje popytu konsumpcyjnego dla
warunków określonych w zad. 4.
Załóż, że Adam chce osiągnąć zadowolenie z konsumpcji w wysokości U jednostek.
Wyprowadź jego hicksowskie funkcje popytu konsumpcyjnego oraz określ wielkości
popytu na oba dobra dla warunków określonych w zad. 4 zakładając dodatkowo, że
U = 250 . Wyznacz elastyczności cenowe (własną i krzyżową) oraz elastyczność
dochodową popytu na dobro i -te. Pokaż o ile zmieni się popyt Adama na dobro i -te, gdy
obie ceny jednostkowe oraz jego zadowolenie zmienią się t razy. Pokaż o ile zmieni się
popyt Adama na dobro i -te, gdy cena jednostkowa dobra j -tego ( j = 1,2 ) (jego
zadowolenie) zmieni się o dp j ( dU ), ceteris paribus. Wyznacz zmiany popytu
wywołane zmianami dp j oraz dU .
7.
Niech funkcją produkcji w pewnym przedsiębiorstwie jest Q = KL , gdzie: Q –
wielkość produkcji, K, L – nakłady odpowiednio majątku i siły roboczej. Zdefiniuj
kategorie produktywności przeciętnej i produktywności krańcowej nakładu siły roboczej
oraz naszkicuj odzwierciedlające je funkcje dla K = 1, 4 . Oceń łatwość zastępowania
majątku pracą oraz określ efekt skali produkcji. Naszkicuj także izokwanty produkcji dla
Q = 1, 4, 9,16 .
⎡1 −1 2 −1 ⎤
Zastąp funkcję produkcji z zad. 7 funkcją Q = ⎢ K 2 + L 2 ⎥
3
⎣3
⎦
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
−2
oraz wykonaj wszystkie
czynności w nim polecone.
Załóż, że przedsiębiorstwo z zad. 7 (zad. 8) może przeznaczyć na wynajęcie czynników
produkcji C jednostek pieniężnych. Wyznacz największą możliwą do wytworzenia
wielkość produkcji oraz nakłady obu czynników produkcji wiedząc, że koszt wynajęcia
jednostki majątku i jednostki siły roboczej wynosi odpowiednio r i k . Wykonaj
stosowne obliczenia dla C = 100 , r = 5 oraz w = 1 .
Jak zmieni się wielkość produkcji oraz nakłady czynników produkcji w przedsiębiorstwie
z zad. 9, jeśli kwota, którą przedsiębiorstwo może przeznaczyć na wynajęcie czynników
produkcji (koszt wynajęcia jednostki majątku, koszt wynajęcia jednostki siły roboczej)
zwiększy się o dC ( dr , dw ), ceteris paribus?
Załóż, że przedsiębiorstwo z zad. 7 (zad. 8) otrzymało zamówienie na Q jednostek
produkcji. Wyznacz najmniejszy możliwy koszt produkcji oraz nakłady obu czynników
produkcji wiedząc, że koszt wynajęcia jednostki majątku i jednostki siły roboczej wynosi
odpowiednio r i k . Wykonaj stosowne obliczenia dla Q = 500 , r = 5 oraz w = 1 .
Jak zmieni się koszt produkcji oraz nakłady obu czynników produkcji z zad. 11, jeśli
wielkość zamówienia (koszt wynajęcia jednostki majątku, koszt wynajęcia jednostki siły
roboczej) zwiększy się o dQ ( dr , dw ), ceteris paribus?
Niech funkcją produkcji w przedsiębiorstwie jest Q = L , gdzie: Q – wielkość
produkcji, L – nakład siły roboczej. Załóż, że przedsiębiorstwo sprzedaje produkcję na
rynku uzyskując p jednostek pieniężnych za każdą jednostkę produkcji oraz wynajmuje
jednostkę siły roboczej za w jednostek pieniężnych. Wyznacz nakład siły roboczej
(wielkość produkcji), przy którym zysk przedsiębiorstwa jest największy, jeśli koszt stały
jest równy s jednostek pieniężnych ( s > 0 ). Wykonaj stosowne obliczenia dla L = 25 ,
p = 2 oraz s = 5 .
Jak zmieni się nakład siły roboczej i wielkość produkcji, jeżeli cena jednostkowa
produktu (koszt wynajęcia jednostki nakładu siły roboczej) zwiększy się o dp ( dw ),
ceteris paribus?
Przy jakim minimalnym nakładzie siły roboczej L0 (minimalnej wielkości produkcji Q0 )
przedsiębiorstwu z zad. 13 opłaca się produkować?
Załóż, że celem przedsiębiorstwa z zad. 13 jest maksymalizacja wynagrodzenia w
przypadającego każdemu zatrudnionemu, gdzie w =
p L−s
. Wyznacz optymalną
L
wielkość nakładu siły roboczej oraz wielkości produkcji. Wykonaj stosowne obliczenia
dla p = 2 oraz s = 5 .
17. Jak zmieni się nakład siły roboczej (wielkość produkcji) w przedsiębiorstwie z zad. 16,
jeśli cena jednostkowa produktu (koszt stały) zwiększy się o dp ( ds ), ceteris paribus?
18. Dany jest keynesowski model równowagi
C t = α + βC t −1 + γYt + δYt −1
,
Yt = C t + I
gdzie: C t – konsumpcja w roku t , Yt – dochód w tym roku, I – inwestycje
(autonomiczne).Załóż, że w modelu tym konsumpcja i dochód są endogeniczne, a
inwestycje – egzogeniczne. Pokaż, jak zmieni się dochód i konsumpcja w roku t , gdy
inwestycje w tym roku wzrosną o dI ? Dla jakich wartości parametrów α , β , γ oraz δ
~
konsumpcja i dochód zbiegają do odpowiednich wielkości równowagi długookresowej C i
~
~ ~
Y ? Wyznacz C i Y .