Plik PDF - Pomiary Automatyka Robotyka

Pomiary Automatyka Robotyka 2/2009
Prof. dr hab. in. Mikoaj Busowicz
Politechnika Biaostocka, Wydzia Elektryczny
Mgr in. Tomasz Kalinowski
Studium Doktoranckie, Wydzia Elektryczny PB
ODPORNA STABILNO CIGYCH UKADÓW UAMKOWEGO
RZDU WSPÓMIERNEGO O FUNKCJI CHARAKTERYSTYCZNEJ
ZALENEJ LINIOWO OD NIEPEWNYCH PARAMETRÓW
Rozpatrzono problem odpornej stabilnoci liniowego cigego ukadu uamkowego rzdu wspómiernego, którego funkcja charakterystyczna zaley liniowo od
niepewnych parametrów. Pokazano, e do badania odpornej stabilnoci takich
ukadów mona stosowa twierdzenie krawdziowe, znane z teorii odpornej stabilnoci rodzin wielomianów charakterystycznych naturalnego stopnia. Podano
komputerow metod suc do sprawdzania warunków tego twierdzenia. Rozwaania zilustrowano przykadem.
ROBUST STABILITY OF CONTINUOUS-TIME FRACTIONAL
SYSTEMS OF COMMENSURATE ORDER WITH CHARACTERISTIC
FUNCTION LINEARLY DEPENDENT ON UNCERTAIN PARAMETERS
The problem of robust stability of linear continuous-time fractional order systems
of commensurate order with characteristic polynomial linearly dependent on uncertain parameters is considered. It is shown that the Edge Theorem known from
the theory of robust stability of families of natural degree characteristic polynomials can be used to robust stability analysis of the systems. Computer method for
checking of the conditions of this theorem is given. The considerations are illustrated by numerical example.
1. WSTP
W ostatnich latach teoria analizy i syntezy liniowych ukadów uamkowego rzdu jest intensywnie rozwijana w literaturze wiatowej, patrz np. monografie [12, 17, 21-22] i cytowan
tam literatur. Problem badania stabilnoci oraz odpornej stabilnoci liniowych ukadów
uamkowych by rozpatrywany w pracach [7-11, 13-15, 23]. Nowa klasa ukadów uamkowych, a mianowicie dodatnie ukady uamkowego rzdu, bya rozpatrywana w [18-20].
W niniejszej pracy zostanie rozpatrzony problem badania odpornej stabilnoci liniowego cigego ukadu uamkowego rzdu wspómiernego, którego funkcja charakterystyczna (bdca
wielomianem uamkowego stopnia wspómiernego) zaley liniowo od niepewnych parametrów. Problem ten w przypadku ukadów o wielomianach charakterystycznych naturalnego
stopnia by tematem wielu publikacji (patrz np. [3] oraz monografie [1, 2, 4-6]). Wedug wiedzy autorów wyej wymieniony problem w przypadku wielomianów charakterystycznych
stopnia uamkowego nie by dotychczas rozpatrywany w literaturze.
W pracy zostanie pokazane, e do badania odpornej stabilnoci rozpatrywanych ukadów
uamkowych o niepewnych parametrach mona stosowa tzw. twierdzenie krawdziowe
(znane z teorii odpornej stabilnoci ukadów o wielomianach charakterystycznych stopnia
naturalnego) oraz zostan podane czstotliwociowe metody suce do sprawdzania warunków tego twierdzenia.
388
automation 2009
Pomiary Automatyka Robotyka 2/2009
2. WPROWADZENIE
Wemy pod uwag liniowy ukad dynamiczny uamkowego rzdu wspómiernego, którego
wielomian charakterystyczny o rzeczywistych wspóczynnikach ma posta
w ( s)
an sDn an 1sD ( n 1) ... a1sD a0 ,
(1)
przy czym D (0, 1] jest liczb rzeczywist dodatni.
Podstawiajc O sD w (1) otrzymamy wielomian naturalnego stopnia stowarzyszony
z wielomianem uamkowym (1), o postaci
~ ( O ) a On a On 1 ... a O a .
(2)
w
n
n 1
1
0
Uwzgldniajc rezultaty literaturowe (omówione np. w [8]) warunek stabilnoci rozpatrywanego ukadu moemy sformuowa w postaci jak niej.
Twierdzenie 1. Uamkowy ukad dynamiczny, którego wielomian charakterystyczny ma posta (1) jest stabilny (w sensie ograniczone wejcie – ograniczone wyjcie) wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie zera wielomianu (1) maj ujemne czci rzeczywiste, tzn.
(3)
w( s) z 0 dla Re s t 0,
lub równowanie, gdy wszystkie zera O stowarzyszonego wielomianu (2) speniaj warunek
S
|arg O| ! D ,
2
(4)
czyli le w otwartym obszarze stabilnoci pokazanym na rys. 1 przy D (0, 1].
Im O
granica obszaru
stabilnoci
DS / 2
obszar stabilnoci
0
DS / 2
0
Rys. 1. Obszar stabilnoci na paszczynie zespolonej O
Re O
sD przy 0 D d 1
Wielomian (1) speniajcy warunek (3) bdziemy nazywa stabilnym wielomianem uamkowym. Natomiast stowarzyszony wielomian naturalnego stopnia (2), którego zera speniaj
warunek (4), bdziemy nazywa wielomianem D-stabilnym, przy czym D jest obszarem stabilnoci pokazany na rys. 1. Jego brzegiem jest linia amana o opisie parametrycznym
( jZ ) D |Z|D e jDS / 2 , Z  ( f, f).
(5)
Jeeli D 1, to (5) staje si opisem parametrycznym osi urojonej paszczyzny zmiennej zespolonej, czyli obszar D przy D 1 redukuje si do otwartej lewej pópaszczyzny.
automation 2009
389
Pomiary Automatyka Robotyka 2/2009
Twierdzenie 2 [8]. Wielomian uamkowy (1) jest stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy przy Z
zmieniajcym si od f do f wykres funkcji \ ( jZ ) nie okra pocztku paszczyzny
zmiennej zespolonej ani te nie przechodzi przez niego, gdzie
\( s)
w ( s)
,
wod ( s)
(6)
przy czym w( s) ma posta (1) za wod ( s) jest stabilnym wielomianem odniesienia uamkowego stopnia równego stopniowi wielomianu (1).
2. SFORMUOWANIE PROBLEMU
Rozpatrzmy liniowy ukad dynamiczny uamkowego rzdu wspómiernego, którego wielomian charakterystyczny o wspóczynnikach liniowo zalenych od niepewnych parametrów
ma posta
n
iD
¦ ai ( q ) s , q  Q,
w( s , q )
(7)
i 0
gdzie D  (0, 1], q [q1 , q2 ,..., qm ]T jest wektorem odchyek qk ( k 1,2,..., m ) niepewnych
parametrów od ich wartoci nominalnych, m jest liczb niepewnych parametrów,
ai (q )
m
¦ qk aik ai 0 ,
i
0,1,..., n,
(8)
k 1
s to liniowe cige funkcje swoich argumentów ( aik s to znane wspóczynniki), za
Q
{q: qk [bk , ck ], bk d 0, ck t 0, k
1,2,..., m}
(9)
jest zbiorem wartoci odchyek niepewnych parametrów od ich wartoci nominalnych.
Bdziemy zakada, e wielomian (7) jest staego stopnia (tj. q  Q ma on stopie nD )
i nie zmniejszajc ogólnoci rozwaa przyjmijmy, e an ( q ) ! 0 dla kadego q Q.
Wielomian (7) o wspóczynnikach liniowo zalenych od niepewnych parametrów mona napisa w postaci
w( s, q ) w0 ( s) q1w1 ( s) ... qm wm ( s), q  Q,
(10)
gdzie
n
wk ( s)
iD
¦ aik s , k
0,1,..., m,
(11)
i 0
s to znane wielomiany, przy czym w0 ( s)
stopnia nD.
w( s,0) jest stabilnym wielomianem nominalnym
Na podstawie teorii odpornej stabilnoci cigych ukadów dynamicznych naturalnego rzdu
o niepewnych parametrach moemy sformuowa nastpujc definicj oraz twierdzenie.
Definicja 1. Uamkowy ukad dynamiczny o wielomianie charakterystycznym (7) nazywamy
odpornie stabilnym, jeeli jest on stabilny dla kadej ustalonej wartoci q Q.
Twierdzenie 3. Uamkowy ukad dynamiczny, którego wielomian charakterystyczny ma posta (7) jest odpornie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy jego wielomian charakterystyczny (7)
uamkowego stopnia jest stabilny dla kadego q Q, tzn. jest speniony warunek
390
automation 2009
Pomiary Automatyka Robotyka 2/2009
w( s, q ) z 0 dla Re s t 0, q Q.
(12)
Zadanie badania odpornej stabilnoci ukadu uamkowego o wielomianie charakterystycznym
(7) jest równowane z problemem badania odpornej stabilnoci rodziny wielomianów
(13)
W ( s, q ) {w( s, q ): q  Q},
przy czym wielomian uamkowy w( s, q ) ma posta (7) lub równowan posta (10).
Celem pracy jest podanie komputerowych metod badania odpornej stabilnoci ukadu uamkowego o wielomianie charakterystycznym (7). Poniewa odporna stabilno tego ukadu jest
równowana z odporn stabilnoci rodziny wielomianów (13), podane metody bd bezporednio dotyczyy uamkowej rodziny wielomianów (13) o liniowej strukturze niepewnoci.
3. ROZWIZANIE PROBLEMU
Podstawiajc O sD w wielomianie (7) otrzymamy stowarzyszon rodzin wielomianów
naturalnego stopnia
~
~( O , q ): q  Q},
(14)
W ( O , Q) {w
gdzie
~(O , q )
w
n
i
¦ ai (q ) O , q  Q,
(15)
i 0
przy czym wspóczynniki ai (q ) o postaci (8) zale liniowo od niepewnych parametrów.
Wielomian (15) naturalnego stopnia bdziemy nazywa wielomianem stowarzyszonym z wielomianem uamkowym (8).
Definicja 2. Rodzin wielomianów (14) naturalnego stopnia nazywamy odpornie D-stabiln,
jeeli dla kadego ustalonego q Q wszystkie zera wielomianu (15) speniaj warunek (4),
tzn. le w otwartym obszarze D pokazanym na rys. 1, którego brzeg ma opis parametryczny
(5).
Z definicji 2 i twierdzenia 1 wynika bezporednio nastpujce twierdzenie.
Twierdzenie 4. Rodzina wielomianów (13) uamkowego stopnia jest odpornie stabilna wtedy
i tylko wtedy, gdy stowarzyszona rodzina wielomianów (14) naturalnego stopnia jest odpornie D-stabilna.
Metody badania odpornej stabilnoci i odpornej D-stabilnoci (przy odpowiednio zdefiniowanych obszarach D) rodziny wielomianów (14) naturalnego stopnia zostay szczegóowo
przedstawione w monografii [6]. S to metody czstotliwociowe bazujce na tzw. warunku
wykluczenia zera. W teorii odpornej stabilnoci rodzin wielomianów charakterystycznych
naturalnego stopnia o wspóczynnikach liniowo zalenych od niepewnych parametrów fundamentalne znaczenie ma twierdzenie sformuowane i udowodnione w pracy [3], które póniej zostao nazwane twierdzeniem krawdziowym (ang. Edge Theorem). Twierdzenie to jest
podane np. w monografiach [1, 2, 4–6]. Polska nazwa „twierdzenie krawdziowe" zostaa
zaproponowana w pracy [6].
Z twierdzenia 4 wynika, e do badania odpornej stabilnoci rodziny (13) wielomianów uamkowego stopnia mona stosowa te same metody, które stosuje si do badania odpornej
D-stabilnoci rodziny wielomianów (14) naturalnego stopnia. Mona zatem stosowa twierdzenie krawdziowe.
automation 2009
391
Pomiary Automatyka Robotyka 2/2009
Zanim sformuujemy twierdzenie krawdziowe, najpierw podamy (uwzgldniajc prac [6])
niezbdne wprowadzenie.
Zbiór Q zdefiniowany wzorem (9) jest m-wymiarowym prostopadocianem. Ma on K 2m
wierzchoków i L m2 m1 krawdzi. Oznaczmy przez qk [q1k , q2k ,..., qmk ]T , gdzie qik bi
lub qik ci , i 1,2,..., m, k-ty wierzchoek zbioru Q. Kademu wierzchokowi qk ,
k 1,2,..., K , zbioru Q odpowiada w zbiorze wielomianów (7) tzw. wielomian wierzchokowy
pk ( s)
Kadej krawdzi
qrk (E)
w ( s, q k )
n
i
¦ ai (qk ) s .
(16)
i 0
(1 E)qr Eqk , E [0,1],
(17)
zbioru Q, bdcej odcinkiem linii prostej czcym wierzchoki qr i qk , w zbiorze wielomianów (7) odpowiada tzw. wielomian krawdziowy o postaci
prk ( s, E) (1 E) pr ( s) Epk ( s), E [0,1],
(18)
gdzie pr ( s) i pk ( s) s to wielomiany wierzchokowe (16), odpowiadajce wierzchokom qr
i q k zbioru Q, odpowiednio.
Uwzgldniajc teori odpornej stabilnoci rodziny wielomianów naturalnego stopnia o
wspóczynnikach zalenych liniowo od niepewnych parametrów oraz twierdzenie 4 moemy
sformuowa ponisze twierdzenie, bdce uogólnieniem twierdzenia krawdziowego na klas rozpatrywanych ukadów uamkowych o niepewnych parametrach.
Twierdzenie 5 (twierdzenie krawdziowe). Niech wielomian nominalny w0 ( s) rodziny wielomianów (13) bdzie stabilny. Rodzina (13) wielomianów uamkowych staego stopnia
o wspóczynnikach liniowo zalenych od niepewnych parametrów jest odpornie stabilna wtedy i tylko wtedy, gdy s odpornie stabilne wszystkie jej wielomiany krawdziowe prk ( s, E) ,
odpowiadajce poszczególnym krawdziom zbioru Q.
Twierdzenie krawdziowe 5 sprowadza zadanie badania odpornej stabilnoci rodziny wielomianów (13) do badania odpornej stabilnoci skoczonej liczby wielomianów krawdziowych, których jest L m2 m1. Zauwamy, e kady wielomian krawdziowy (18) jest wypuk kombinacj odpowiednich dwóch wielomianów wierzchokowych.
Metody badania odpornej stabilnoci wielomianów krawdziowych s podane w pracy [6]
w przypadku wielomianów naturalnego stopnia. Natomiast dogodna do oblicze komputerowych metoda badania odpornej stabilnoci wypukej kombinacji dwóch wielomianów stopnia
uamkowego jest podana w pracy [11]. Na bazie tej pracy mona sformuowa ponisze
twierdzenie oraz lemat.
Wemy pod uwag wielomian krawdziowy prk ( s, E), E [0,1], o postaci (18) i zaómy, e
wielomian wierzchokowy pr ( s) jest stabilny.
Twierdzenie 6. Niech wielomian wierzchokowy pr ( s) bdzie stabilny. Wielomian krawdziowy (18) jest odpornie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy wykres funkcji
- rk ( jZ ) pk ( jZ ) / pr ( jZ ), Z  : ( f, f),
(19)
nie przecina póosi rzeczywistej ( f, 0].
Sprawdzajc warunek (19) mona ograniczy si do przedziau : [0, f).
392
automation 2009
Pomiary Automatyka Robotyka 2/2009
atwo zauway, e na paszczynie zmiennej zespolonej wykres funkcji (19) rozpoczyna si
(przy Z f ) i koczy (przy Z f ) w punkcie - rk ( r jf), przy czym przy Z 0 przechodzi on przez punkt - pr (0), gdzie
- rk (0)
pk (0)
pr (0)
a0 (qk )
,
a0 ( qr )
lim - rk ( jZ )
Z orf
an (qk )
,
an (qr )
(20)
przy czym wspóczynniki wystpujce w licznikach i mianownikach wzorów (20) oblicza si
ze wzoru (8) dla q qk oraz q qr odpowiednio.
Lemat 1. Niech wielomian wierzchokowy pr ( s) bdzie stabilny. Wielomian krawdziowy
(18) nie jest odpornie stabilny, jeeli
a0 (qk )
a (q )
d 0 lub n k d 0.
(21)
a0 ( qr )
an (qr )
Z twierdzenia krawdziowego 5 i z twierdzenia 6 wynika poniszy lemat.
Lemat 2. Rodzina (13) wielomianów uamkowych staego stopnia o wspóczynnikach liniowo zalenych od niepewnych parametrów jest odpornie stabilna wtedy i tylko wtedy, gdy s
spenione dwa ponisze warunki:
1) wszystkie wielomiany wierzchokowe pk ( s), k
1,2,..., K
2 m s stabilne,
2) kady z L m2 m1 wykresów funkcji - rk ( jZ ) pk ( jZ ) / pr ( jZ ), Z  : ( f, f),
sporzdzonych oddzielnie dla kadego wielomianu krawdziowego (18), nie przecina póosi rzeczywistej ( f, 0].
Z powyszych rozwaa wynika nastpujcy algorytm postpowania przy badaniu odpornej
stabilnoci rodziny (13) wielomianów uamkowych.
Algorytm postpowania:
Krok 1. Wyznaczamy wszystkie wierzchoki qk , k 1,2,..., K 2 m , zbioru Q i pary tych
wierzchoków ( qr , qk ), r , k 1,2,..., K ( r z k ), tworzcych krawdzie zbioru Q.
Krok 2. Wyznaczamy wielomiany wierzchokowe pk ( s)
w( s, qk ) (16) odpowiadajce po-
szczególnym wierzchokom qk , k 1,2,..., K 2 m , zbioru Q oraz pary tych wielomianów
tworzce wielomiany krawdziowe prk ( s, E) (18).
Krok 3. Stosujc twierdzenie 2 sprawdzamy stabilno jednego z wielomianów wierzchokowych, np. p1 ( s) w( s, q1 ) odpowiadajcy pierwszemu (dowolnie wybranemu) wierzchokowi zbioru Q. Jeeli nie jest on stabilny, to rodzina wielomianów (13) nie jest odpornie stabilna. Jeeli jest on stabilny, to przechodzimy do nastpnego kroku.
Krok 4. Stosujc twierdzenie 6 badamy odporn stabilno wielomianu krawdziowego
prk ( s, E) przy r 1 i dowolnym k, przy czym q1k (E) jest krawdzi zbioru Q, a nastpnie
badamy odporn stabilno wszystkich pozostaych wielomianów krawdziowych poczynajc
od pk , k 1 ( s, E). Naley przy tym pamita, aby przed badaniem stabilnoci wielomianu krawdziowego prk ( s, E) mie zbadan stabilno wielomianu krawdziowego pir ( s, E), i z r.
Jeeli jest on odpornie stabilny, to jest te stabilny wielomian wierzchokowy pr ( s). Jeeli
przynajmniej jeden z wielomianów krawdziowych nie jest odpornie stabilny, to rodzina wielomianów (13) nie jest odpornie stabilna. W przypadku przeciwnym rodzina (13) jest odpornie stabilna, zgodnie z twierdzeniem krawdziowym 5.
automation 2009
393
Pomiary Automatyka Robotyka 2/2009
5. PRZYKAD
Wemy pod uwag analizowany w pracach [24, 17, 10] ukad regulacji automatycznej zoony z uamkowego obiektu o transmitancji
G0 ( s)
0.8s
2.2
1
0.5s0.9 1
1
M 0 ( s)
(22)
i szeregowego uamkowego regulatora PD o transmitancji
C ( s)
.
20.5 3.7343s115
,
(23)
objtych ptl ujemnego sprzenia zwrotnego.
Wielomian charakterystyczny rozpatrywanego ukadu regulacji ma posta
M 0 ( s) C ( s )
w0 ( s)
1 / 20 i O
Stosujc podstawienie D
mian naturalnego stopnia
~ (O )
w
0
.
0.8s2.2 3.7343s115
0.5s0.9 215
. .
sD
(24)
s1/ 20 w (24) otrzymamy stowarzyszony wielo-
0.8O44 3.7343O23 0.5O18 21.5.
(25)
Przyjmijmy, e mianownik transmitancji (22) nie jest dokadnie znany, przy czym
M 0 ( s, q ) M 0 ( s) q1w1 ( s) q2 w2 ( s),
(26)
gdzie
w1 ( s)
Q
{q
01
. s2.2 0.25, w2 ( s)
0.2 s0.9 01
.,
(27)
[q1 , q2 ]T : q1 [ 0.5, 1], q2 [ 0.4, 1]}.
(28)
Naley zada odporn stabilno rozpatrywanego ukadu regulacji w przypadku, gdy transmitancja (22) obiektu nie jest dokadnie znana, przy czym jej mianownik zaley liniowo od niepewnych parametrów i ma posta (26).
Postawiony problem jest równowany z badaniem odpornej stabilnoci rodziny wielomianów
charakterystycznych
w( s, q ) M 0 ( s, q ) C ( s) w0 ( s) q1w1 ( s) q2 w2 ( s), q  Q,
(29)
przy czym wielomian w0 ( s) oraz wielomiany w1 ( s) i w2 ( s) maj postaci (24) i (27), odpowiednio za zbiór Q jest zdefiniowany zalenoci (28).
Do badania odpornej stabilnoci rodziny wielomianów (29) zastosujemy podany powyej
algorytm postpowania.
Krok 1. Zbiór (28) jest prostoktem na paszczynie ( q1 , q2 ) o wierzchokach
q1
ª 0.5º
«0.4» , q2
¬
¼
ª1º
«1» , q3
¬¼
ª0.5º
« 1 » , q1
¬
¼
ª 1 º
«0.4».
¬
¼
(30)
Krawdzie zbioru (28) tworz pary wierzchoków o indeksach (1,3), (3,2), (2,4) i (1,4).
Krok 2. Wielomiany wierzchokowe odpowiadajce poszczególnym wierzchokom (30) zbioru (28) wyznacza si ze wzorów
p1 ( s) w0 ( s) 0.5w1 ( s) 0.4 w2 ( s), p2 ( s) w0 ( s) w1 ( s) w2 ( s),
p3 ( s)
394
w0 ( s) 0.5w1 ( s) w2 ( s),
p4 ( s)
w0 ( s) w1 ( s) 0.4 w2 ( s).
automation 2009
Pomiary Automatyka Robotyka 2/2009
Wielomianami krawdziowymi s wielomian prk ( s, E) o postaci (18), przy czym (r , k ) (1,
3), (3, 2), (2, 4) i (1, 4).
Krok 3. Stosujc twierdzenie 2 sprawdzamy stabilno wielomianu wierzchokowego p1 ( s).
Za wielomian odniesienia wod ( s) przyjmujemy wielomian w0 ( s) o postaci (24). Jest on stabilny [10].
Wykres funkcji \ ( jZ ), przy czym \( s) p1 ( s) / w0 ( s), jest pokazany na rys. 2. Z rys. 2
wynika, e nie obejmuje on pocztku ukadu wspórzdnych. Oznacza to, zgodnie z twierdzeniem 2, e wielomian p1 ( s) jest stabilny.
0 .6
Im
0
-0.6
0.5
Rys. 2. Wykres funkcji \( s)
Re
p1 ( s) / w0 ( s) przy s
1.2
jZ, Z [ 20, 20]
Krok 4. Wyznaczajc wykresy funkcji - rk ( jZ ) pk ( jZ ) / pr ( jZ ) dla Z [ 20, 20]
i (r , k ) (1,3), (3,2), (2,4) i (1,4) otrzymamy przebiegi pokazane na rys. 2.
aden z wykresów pokazanych na rys. 3 nie obejmuje pocztku ukadu wspórzdnych.
Z twierdzenia 6 wynika zatem, e wszystkie wielomiany krawdziowe s odpornie stabilne.
Oznacza to z kolei, zgodnie z twierdzeniem krawdziowym 5, e rozpatrywany ukad regulacji automatycznej o wielomianie charakterystycznym (29) o wspóczynnikach liniowo zalenych od niepewnych parametrów jest odpornie stabilny.
5. UWAGI KOCOWE
W pracy rozpatrzono problem badania odpornej stabilnoci liniowego cigego ukadu uamkowego rzdu wspómiernego, którego wielomian charakterystyczny (7) zaley liniowo od
niepewnych parametrów. Analizowany problem jest równowany z problemem badania odpornej stabilnoci rodziny wielomianów uamkowych (13) o wspóczynnikach liniowo zalenych od niepewnych parametrów. Pokazano, e do badania odpornej stabilnoci takiej rodziny wielomianów mona stosowa twierdzenie krawdziowe (twierdzenie 5) znane z teorii
odpornej stabilnoci rodzin wielomianów naturalnego stopnia. Podano dogodn do oblicze
komputerowych metod sprawdzania warunków twierdzenia krawdziowego oraz sposób
postpowania przy badaniu odpornej stabilnoci rodziny wielomianów uamkowych (13).
Proponowana metoda badania odpornej stabilnoci jest uogólnieniem na rozpatrywan klas
ukadów uamkowych metody podanej w monografii [6] w przypadku wielomianów stopnia
naturalnego.
automation 2009
395
Pomiary Automatyka Robotyka 2/2009
2
0.4
a)
0
0
-2
0
1
3
-0.4
0.5
4
c)
0
-1
0
b)
1.5
d)
0
1.5
-4
0
3
Rys. 3. Wykresy funkcji - rk ( jZ ), Z [ 20, 20] : a) -13 ( jZ ), b) - 32 ( jZ ),
c) - 24 ( jZ ), d) -14 ( jZ )
***
Praca naukowa finansowana ze rodków Komitetu Bada Naukowych w latach 2007–2010
jako projekt badawczy nr N N514 1939 33.
LITERATURA
1. Ackermann J. (with Bartlett A., Kaesbauer D., Sienel W., Steinhauser R.): Robust Control: Systems with Uncertain Physical Parameters. Springer-Verlag, London 1994.
2. Barmish B. R.: New Tools for Robustness of Linear Systems. Macmillan Publishing
Company, New York 1995.
3. Bartlett A.C., Hollot C.V., Lin H.: Root location of an entire polytope of polynomials:
It suffices to check the edges. Math. Contr., Signals Syst., 1988, vol. 1, pp. 61–71.
4. Bhattacharyya S. P., Chapellat H., Keel L. H.: Robust Control: The Parametric Approach.
Prentice Hall PTR, New York 1995.
5. Biaas S.: Odporna stabilno wielomianów i macierzy. Uczelniane Wyd. Nauk.-Techn.
AGH, Kraków 2002.
6. Busowicz M.: Stabilno ukadów liniowych stacjonarnych o niepewnych parametrach.
Dzia Wydawnictw i Poligrafii Politechniki Biaostockiej, Biaystok 1997.
7. Busowicz M.: Frequency domain method for stability analysis of linear continuous-time
fractional systems. W: Malinowski K., Rutkowski L.: Recent Advances in Control and
Automation, Academic Publishing House EXIT, Warszawa 2008, pp. 83–92.
396
automation 2009
Pomiary Automatyka Robotyka 2/2009
8. Busowicz M.: Stabilno liniowych cigych ukadów uamkowych rzdu wspómiernego. Pomiary Automatyka Robotyka, 2 (2008), str. 475–484 ( CD-ROM).
9. Busowicz M.: Robust stability of convex combination of two fractional degree characteristic polynomials. Acta Mechanica et Automatica, 2008, vol. 2, No. 2, pp. 5–10.
10. Busowicz M.: Stability analysis of linear continuous-time fractional systems of commensurate order. Journal of Automation, Mobile Robots and Intelligent Systems (w druku).
11. Busowicz M., Kalinowski T.: Odporna stabilno liniowego cigego ukadu uamkowego rzdu wspómiernego o funkcji charakterystycznej zalenej liniowo od jednego niepewnego parametru. Pomiary Automatyka Robotyka, 2 (2008), str. 465–474.
12. Das. S.: Functional Fractional Calculus for System Identification and Controls. Springer,
Berlin 2008.
13. Gakowski K., Bachelier O., Kummert A.: Fractional polynomial and nD systems a continuous case. Proc. of IEEE Conference on Decision & Control, San Diego 2006, USA.
14. Matignon D.: Stability results on fractional differential equation with applications to control processing. Proc. of IMACS, Lille 1996, France.
15. Matignon D.: Stability properties for generalized fractional differential systems. Proc. of
ESAIM, 1998, pp. 145–158.
16. Podlubny I., Fractional order systems and fractional order controllers. The Academy of
Sciences Unstitute of Experimental Physis, Kosice, Slovalk Republic, 1994.
17. Podlubny I.: Fractional Differential Equations. Academic Press, San Diego 1999.
18. Kaczorek T.: Reachability and controllability to zero of positive fractional discrete-time
systems, Machine Intelligence and Robotics Control, 6 (2007).
19. Kaczorek T.: Reachability of fractional positive continuous-time linear systems. Pomiary
Automatyka Robotyka, 2 (2008), str. 527–537 (CD-ROM).
20. Kaczorek T.: Fractional positive continuous-time linear systems and their reachability. Int.
J. Appl. Math. Comput. Sci., 2008, vol. 18, No. 2, pp. 223–228.
21. Kilbas A. A., Srivastava H. M., Trujillo J. J.: Theory and Applications of Fractional
Differential Equations. Elsevier, Amsterdam 2006.
22. Sabatier J., Agrawal O. P., Machado J. A. T. (Eds): Advances in Fractional Calculus,
Theoretical Developments and Applications in Physics and Engineering. Springer, London 2007.
23. Vinagre B. M., Monje C. A., Calderon A. J.: Fractional order systems and fractional order
control actions. Lecture 3 of IEEE CDC’02 TW#2: Fractional Calculus Applications in
Automatic Control and Robotics, 2002, Las Vegas.
24. Zhao Ch., Xue D., Chen Y.-Q.: A fractional order PID tuning algorithm for a class of fractional order plant. Proc. IEEE Intern. Conf. on Mechatronics & Automation, Niagara Falls
2005, Canada, pp. 216–221.
automation 2009
397