Egzamin – II termin

Egzamin z metod numerycznych, informatyka stosowana, rok 2, II termin
28 II 2014
Informacje dla zdających:
1. Egzamin trwa 90 minut. Można pracę oddać wcześniej i wyjść, ale tylko do pół godziny po
rozpoczęciu.
2. Podczas egzaminu wolno korzystać jedynie z kalkulatora, narzędzi do pisania i materiałów
otrzymanych od prowadzących egzamin. Wszelkie przedmioty poza wspomnianymi powinny być
pozostawione w torbach/plecakach we wskazanym przez egzaminujących miejscu. W szczególności
nie wolno używać telefonów komórkowych i własnych kartek.
3. Wszystkie kartki z rozwiązaniami należy podpisać imieniem i nazwiskiem. Na pierwszej kartce,
obok imienia i nazwiska należy narysować prostokąt a w środku wpisać swój „pseudonim artystyczny”
pod jakim wynik egzaminu zostanie ogłoszony.
Zadania:
1. (400 punktów) Wykorzystując metodę iteracji prostej znaleźć pierwsze przybliżenie rozwiązania poniższego układu równań. Wykorzystując metodę iteracji Seidela
⎧ znaleźć drugie przybliżenie
⎨ 4𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 2
𝑥 − 4𝑦 + 2𝑧 = 1 .
rozwiązania poniższego układu równań. Uzasadnić zbieżność metod:
⎩ 3𝑥 + 4𝑧 = −1
2. (400 punktów) W wyniku zmian klimatycznych podniósł się poziom wód w rzekach i państwu
Numerica grozi powódź. W celu ochrony gruntów, król postanowił zbudować zbiornik retencyjny.
Zbiornik ten ma kształt walca zakończonego u dołu półsferą. Objętość zbiornika wyraża się wzorem
𝑉 (ℎ, 𝑟, 𝜋) = 𝜋𝑟2 ℎ+ 32 𝜋𝑟3 , gdzie ℎ ≈ 30𝑚, 𝑟 ≈ 20𝑚, 𝜋 ≈ 3. Obliczyć jaki błąd można popełnić mierząc
wymiary zbiornika i z jaką dokładnością należy obliczyć liczbę 𝜋, aby błąd objętości zbiornika nie
przekroczył 3 tysięcy litrów (1𝑚3 = 1000 l). Obliczenia przeprowadzić zgodnie z zasadą jednakowo
dokładnego pomiaru i zasadą równego wpływu (podpisać obie metody).
3. (400 punktów) W pewnym małżeństwie studentów Informatyki Stosowanej UEK mąż wykazywał
się niebywałą niepamięcią o rocznicy ślubu. Kiedy po raz kolejny próbował dowiedzieć się podstępnie,
jaka jest dokładna data, żona odpowiedziała: „Dam Ci wskazówkę: iloczyn dnia miesiąca i numeru
miesiąca wynosi 136, zaś różnica kwadratu dnia miesiąca i podwojonego kwadratu numeru miesiąca
jest równa 161.” Zrozpaczony mąż zadumał się: „To było koło 15 lipca chyba... Co tu zrobić? Wiem!
Nareszcie przydadzą mi się na coś te metody numeryczne z drugiego roku! Zaatakuję problem
naukowo: metodą Newtona rozwiązywania układów równań nieliniowych! Pierwsze przybliżenie
powinno być wystarczające.” Korzystając z pierwszego przybliżenia wspomnianej powyżej metody
odpowiedzieć na pytanie: jaka jest data rocznicy ich ślubu?
4. (400 punktów) Za pomocą metody ⎡potęgowej oszacować
dominującą wartość własną i odpowiada⎤
2 −1 1
2 ⎦. Wykonać 4 iteracje metody startując od
jący jej wektor własny dla macierzy ⎣−1 3
1
2 −2
𝑇
wektora [−1, 1, 0] . Obliczyć błąd bezwzględny i błąd względny otrzymanego przybliżenia wartości
własnej, zakładając, że dokładna wartość dominującej własności własnej wynosi 3, 9245.
5. (400 punktów) a) Podać przynajmniej po jednej zalecie i wadzie (w porównaniu z pozostałymi)
trzech poznanych metod rozwiązywania równań nieliniowych.
b) W jakiej sytuacji, dla tego samego zestawu danych, wielomian interpolacyjny Lagrange’a będzie
różny od wielomianu interpolacyjnego Newtona? Jaką przewagę ma interpolacja wielomianowa Newtona nad interpolacją Lagrange’a? Uzasadnić odpowiedź.
Wybrane wzory:
Δ𝑥𝑖 =
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 − 𝑓 (𝑥𝑛 ) ⋅
Δ𝑓
Δ𝑓
Δ𝑓 ∣𝑥𝑖 ∣
, Δ𝑥𝑖 = ∑ ′ , Δ𝑥𝑖 = ∑ ′
,
′
𝑛 ⋅ ∣𝑓𝑥𝑖 ∣
∣𝑓𝑥𝑖 ∣
∣𝑓𝑥𝑖 ∣ ⋅ ∣𝑥𝑖 ∣
𝑥𝑛 −𝑎
𝑓 (𝑥𝑛 )−𝑓 (𝑎)
albo 𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 − 𝑓 (𝑥𝑛 ) ⋅
𝑥𝑛 −𝑏
;
𝑓 (𝑥𝑛 )−𝑓 (𝑏)
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 −
𝑓 (𝑥𝑛 )
.
𝑓 ′ (𝑥𝑛 )