1. Zagadnienia teoretyczne. 1.1. Kąty w okręgu.

Zajęcia nr 55 (TM6) – Kąty w okręgu.
Robert Malenkowski
1. Zagadnienia teoretyczne.
1.1.
Kąty w okręgu.
Teoria i zadania dotyczące kątów w okręgu opierają się na kilku twierdzeniach i
definicjach. Opanowanie ich jest niezbędne do rozwiązywania zadań z
planimetrii. Poniżej „pigułka” teoretyczna i kilka przykładów.
Definicja.
Kąt, którego wierzchołek jest środkiem okręgu, nazywamy kątem środkowym.
Kąt  zaznaczony na rysunku obok jest wyznaczony
przez łuk AMB.
Definicja.
Kątem wpisanym w okrąg nazywamy każdy kąt wypukły, którego wierzchołek
leży na okręgu, a każde ramię kąta ma z tym okręgiem jeszcze jeden punkt
wspólny.
Na rysunku zaznaczono kilka kątów wpisanych w
okrąg.
Zajęcia nr 55 (TM6) – Kąty w okręgu.
Robert Malenkowski
1.2.
Ważne twierdzenia.
Twierdzenie
Kąt wpisany równy jest połowie kąta środkowego, opartego na tym samym
łuku.
Między kątami na rysunku obok zachodzi zależność
  2   , ponieważ obydwa kąty są oparte na tym
samym łuku.
Z powyższego twierdzenia wynikają dwa ważne wnioski:
1. Wszystkie kąty wpisane oparte na tym samym łuku są równe, jako równe
połowie tego samego kąta środkowego, (rysunek).
2. Kąt wpisany oparty na półokręgu jest prosty.
Zajęcia nr 55 (TM6) – Kąty w okręgu.
Robert Malenkowski
Twierdzenie (bardzo ważne)
Kąt między styczną a cięciwą okręgu, poprowadzoną z punktu styczności,
równy jest połowie kąta środkowego opartego na łuku zawartym między
ramionami pierwszego kąta.
Zajęcia nr 55 (TM6) – Kąty w okręgu.
Robert Malenkowski
Zadania do samodzielnego rozwiązania:
1. Cięciwa okręgu o promieniu 41 cm ma długość 80 cm. Odległość środka
okręgu od cięciwy jest równa:
a. 5 cm
b. 9 cm
c. 12 cm
d. 15 cm
2. Suma miar kąta środkowego i wpisanego, opartych na tym samym łuku, jest

równa 150 . Kąt środkowy ma miarę:
a. 50
b. 75
c. 90
d. 100
3. Jeżeli miara kąta  (rysunek obok)
jest
równa
połowie
miary
kąta
wpisanego opartego na średnicy, to
suma miar kątów  ,  ,  jest równa
a. 45
b. 90
c. 135
d. 180
4. Kąty wskazane na rysunku mają równe
miary, zatem kąt AOB ma miarę:
a. 100
b. 110
c. 120
d. 130
Zajęcia nr 55 (TM6) – Kąty w okręgu.
Robert Malenkowski
5. Kąt między cięciwą AB a styczną do
okręgu o środku O (rysunek obok) w
punkcie A ma miarę 70. Zatem kąt ma
miarę:
a. 120
b. 140
c. 152
d. 160