Damian Strzelecki se..

POLITECHNIKA ×ÓDZKA
Wydzia÷Fizyki Technicznej, Informatyki i Matematyki Stosowanej
Kierunek:
Specjalność:
Matematyka
Matematyka Finansowa i Ubezpieczeniowa
Damian Strzelecki
Seminarium 1
Praca zaliczeniowa napisana w Instytucie Matematyki
pod kierunkiem profesora Jana Kubarskiego
×ódź Styczeń 2010
1
1
Pojecie
¾
odwzorowań p-liniowych
De…nicja 1 (Odwzorowanie p-liniowe) Niech E1 ; :::; Ep ; G bed
¾ a¾ przestrzeniami liniowymi. Odwzorowanie p-liniowe ' : E1 ::: Ep ! G to odwzorowanie liniowe wzgledem
¾
ka·zdej zmiennej.
Ogó÷odwzorowa´n p-liniowych z E1 ; :::; Ep w G oznaczamy L (E1 ; :::; Ep ; G).
Tworzy on przestrze´n liniowa.
¾
2
Iloczyn tensorowy przestrzeni liniowych
De…nicja 2 (Odwzorowanie identycznościowe) Niech F bedzie
¾
dowolna¾liniowa¾ przestrzenia¾ nad cia÷em . Odwzorowaniem identyczno´sciowym nazywany odwzorowanie idF : F ! F przeprowadzajace
¾ ka·zdy element x 2 F w
ten sam element nale·zacy
¾ do F .
De…nicja 3 (Odwzorowanie zanurzenie) Niech F1 bedzie
¾
dowolna¾podprzestrzenia¾ przestrzeni F . Odwzorowaniem zanurzenie j : F1 ! F nazywamy
odwzorowanie dane wzorem j (x) = x.
De…nicja 4 (Produkt tensorowy) Niech E; F; G bed
¾ a¾ dowolnymi przestrzeniami liniowymi i ' : E F ! G bedzie
¾
odwzorowaniem dwuliniowym. Pare¾
(G; ) nazywamy p produktem tensorowym przestrzeni E i F je´sli spe÷nione sa¾
warunki:
1.
2.
1
: Im ' = G;
: E F ! H jest dwuliniowym odwzorowaniem w dowolna¾
2 : Je´sli
przestrze´n liniowa¾H, to istnieje odwzorowanie liniowe f : G ! H takie,
¾ acy
¾ diagram jest przemienny
·ze = f ', co znaczy, ·ze nastepuj
E
F
'
G
Lemat 5 Warunki
3.
1;
2
.
f
!
&
.
H
sa¾ równowa·zne warunkowi
Je´sli
: E F ! H jest dwuliniowym odwzorowaniem w dowolna¾
przestrze´n liniowa¾ H, to istnieje dok÷adnie jedno odwzorowanie liniowe
f : G ! H takie, ·ze = f '.
Twierdzenie 6 Za÷ó·zmy, ·ze E; F sa¾ dowolnymi przestrzeniami liniowymi i
niech a; a0 2 E oraz b:b0 2 F . Za÷ó·zmy, ·ze a b 6= 0. Równo´s´c a b = a0 b0
zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje 0 6=
2
takie, ·ze a0 = a oraz
1
0
b =
b.
2
1
Dowód. Oczywiście jeśli a0 = a oraz b0 =
b dla
6= 0 to a0 b0 =
1
1
( a)
b =
(a b) = a b.
Za÷
óz·my teraz, z·e a b = a0 b0 . Przypuśćmy nie wprost, z·e a i a0 sa¾ liniowo
zalez·ne, czyli 8 6=0 a0 6= a. Niech : E F ! E F bedzie
¾
odwzorowaniem
dwuliniowym. Niech BE
E bedzie
¾
baza¾ zawierajac
¾ a¾ a i a0 . De…niujemy
odwzorowanie g1 : BE ! dane wzorem
g1 (x) =
0 dla x 6= a
:
1 dla x = a
Odwzorowanie g1 moz·emy przed÷uz·yć jednoznacznie do odwzorowania liniowego
ge1 : E ! . Analogicznie rozwaz·my baze¾ BF
F zawierajac
¾ a¾ element b i
de…niujemy odwzorowanie g2 : BF ! dane wzorem
g2 (y) =
0 dla y =
6 b
1 dla y = b
i analogicznie rozszerzamy je do odwzorowania liniowego g2 : F ! . De…niujemy odwzorowanie dwuliniowe : E F ! wzorem (x; y) = ge1 (x) ge2 (y). Z
w÷
asności faktoryzacji istnieje odwzorowanie liniowe e : E F ! takie, z·e =
e
. Mamy (a; b) = e (a b) = e (a0 b0 ) = (a0 ; b0 ). Poniewaz· (a; b) =
ge1 (a) ge2 (b) oraz (a0 ; b0 ) = ge1 (a0 ) ge2 (b0 ) to ge1 (a) ge2 (b) = ge1 (a0 ) ge2 (b0 ). Lewa
strona jest równa 1 1, czyli 1, zaś prawa równa sie¾ 0 ge2 (b0 ) = 0, wiec
¾ otrzymujemy sprzeczność z za÷
oz·eniem, z·e 8 6=0 a0 6= a. Zatem a i a0 sa¾ liniowo zalez·ne,
czyli istnieje taki, z·e a0 = a.
Analogicznie stwierdzamy, z·e istnieje 1 takie, z·e b0 = 1 b. Pokaz·emy, z·e
1
. Rozwaz·my ciag
¾ nierówności a b = a0 b0 = ( a) ( 1 b) =
1 =
1
( 1 ) (a b). Poniewaz· a b 6= 0, wiec
¾
:
1 = 1, zatem 1 =
Literatura
[WHG] W.H. Greub, Multilinear Algebra, Springer-Verlag New York Inc., 1967.
3