Matematyka Egzamin podstawowy, zestaw A

imi¦ i nazwisko:
Wrocªaw, 3 lutego 2015
numer indeksu:
1
2
3
4
P
Matematyka
Egzamin podstawowy, zestaw A
Zadanie 1.
Niech
C
b¦dzie dodatnio zorientowanym okr¦giem jednostkowym. Oblicz:
Z
z̄ dz.
C
Co mo»na powiedzie¢ o funkcji
Zadanie 2.
Dla
C
f (z) = z̄ na podstawie warto±ci tej caªki i tw. Cauchy'ego?
jak w zadaniu 1, wykorzystuj¡c tw. o residuach, oblicz caªk¦
Z
C
Zadanie 3.
ez
dz.
(2z 2 + 1)(z 2 + 2)
Wyznacz dªugo±¢ krzywej



x(t) = 2t,
(−1 ≤ t ≤ 1)
y(t) = t2 ,



Zadanie 4.
√
z(t) =
2 3
t
3
√
+
2
2
t
Wyznacz potencjaª pola wektorowego
2 −y 2
[2xye−x
, (2y 2 − 1)e−x
2 −y 2
]
i oblicz caªk¦ krzywoliniow¡ zorientowan¡ z tego pola wektorowego wzdªu» dowolnej drogi
ª¡cz¡cej
(0, 0)
oraz
(1, 1).
Uwagi:
•
Zestawy egzaminacyjne nale»y podpisa¢ i odda¢. Mo»esz je wykorzysta¢ na rozwi¡zania.
•
Wszelkie dodatkowe kartki równie» nale»y podpisa¢.
•
Tre±ci zada« b¦d¡ zamieszczone (wraz ze szkicami rozwi¡za«) na stronie www wykªadu zaraz po egzaminie.
•
Wyniki zostan¡ ogªoszone na stronie www wykªadu.
Powodzenia!
imi¦ i nazwisko:
Wrocªaw, 3 lutego 2015
numer indeksu:
1
2
3
4
P
Matematyka
Egzamin podstawowy, zestaw A
Zadanie 1.
Niech
C
b¦dzie dodatnio zorientowanym okr¦giem jednostkowym. Oblicz:
Z
C
Co mo»na powiedzie¢ o funkcji
Zadanie 2.
Dla
C
f (z) =
1
na podstawie warto±ci tej caªki i tw. Cauchy'ego?
z
jak w zadaniu 1, wykorzystuj¡c tw. o residuach, oblicz caªk¦
Z
C
Zadanie 3.
1
dz.
z
e−z
dz.
(2z 2 + 1)(z 2 + 2)
Wyznacz dªugo±¢ krzywej

√

x(t)
=
2
3 t,


√ 2
y(t) = 6 t ,



z(t) = 2t3 + 2t
Zadanie 4.
(−1 ≤ t ≤ 1)
Wyznacz potencjaª pola wektorowego
[−2xy sin(x2 − y 2 ), cos(x2 − y 2 ) + 2y 2 sin(x2 − y 2 )]
i oblicz caªk¦ krzywoliniow¡ zorientowan¡ z tego pola wektorowego wzdªu» dowolnej drogi
ª¡cz¡cej
(0, 0)
oraz
(1, 1).
Uwagi:
•
Zestawy egzaminacyjne nale»y podpisa¢ i odda¢. Mo»esz je wykorzysta¢ na rozwi¡zania.
•
Wszelkie dodatkowe kartki równie» nale»y podpisa¢.
•
Tre±ci zada« b¦d¡ zamieszczone (wraz ze szkicami rozwi¡za«) na stronie www wykªadu zaraz po egzaminie.
•
Wyniki zostan¡ ogªoszone na stronie www wykªadu.
Powodzenia!