11.1 Graniastosłupy

11. 1. GRANIASTOSŁUPY
. Graniastosłupy
Podstawy graniastosłupa
wielokąty
D
d
- dwa równoległe i przystające
H
·
Ściana boczna - równoległobok
Graniastosłup prosty – graniastosłup, w którym wszystkie krawędzie
boczne są prostopadłe do podstaw. W graniastosłupie prostym wszystkie
ściany boczne są prostokątami.
Graniastosłup, który nie jest prosty nazywamy graniastosłupem pochyłym
H
Przekątna graniastosłupa D – odcinek łączący dwa wierzchołki nie leŜący na Ŝadnej ze ścian.
Wysokość graniastosłupa
H – odcinek łączący podstawy, prostopadły do nich. W graniastosłupie prostym
wysokość jest równa krawędzi bocznej
Graniastosłup prawidłowy – graniastosłup, którego podstawy są wielokątami foremnymi ,
a ściany boczne prostokątami.
Wzory na pole powierzchni całkowitej i objętość graniastosłupa:
Pc = 2 Pp + Pb
V = Pp ⋅ H
Kąty w graniastosłupie
Graniastosłup prawidłowy czworokątny
α – kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do krawędzi podstawy
β – kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do podstawy
γ
γ – kat nachylenia przekątnej graniastosłupa do ściany bocznej
α
β
Graniastosłup prawidłowy trójkątny
α – kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do krawędzi bocznej
β
β – kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany
bocznej
α
Przykład 11.1.1. Podstawą graniastosłupa prostego jest równoległobok o bokach 4 i 6
oraz kacie 30° . Oblicz objętość tego graniastosłupa wiedząc, Ŝe jego pole
powierzchni całkowitej jest równe 72.
Rozwiązanie
Komentarz
Analiza zadania.
Przy obliczaniu objętości graniastosłupa
wykorzystujemy wzór V = Pp ⋅ H .
PoniewaŜ podstawą graniastosłupa jest
równoległobok, to Pp = ab sin α .
Zatem
V = ab sin α ⋅ H
Pisząc wzór na pole powierzchni całkowitej
graniastosłupa wykorzystujemy
wzór Pc = 2 Pp + Pb . PoniewaŜ
Pp = ab sin α oraz powierzchnię boczną
Dane:
a=6
b=4
α = 30°
Pc = 72
Szukane:
Wzory:
tworzą dwa prostokąty o bokach a i H
V =?
V = ab sin α ⋅ H
oraz dwa prostokąty o bokach b i H ,
Pc = 2ab sin α + 2aH + 2bH zatem Pc = 2ab sin α + 2aH + 2bH
Pc = 2ab sin α + 2aH + 2bH
72 = 2 ⋅ 6 ⋅ 4 ⋅ sin 30° + 2 ⋅ 6 H + 2 ⋅ 4 H
1
72 = 48 ⋅ + 12 H + 8 H
2
72 = 24 + 20 H
− 20 H = 24 − 72
− 20 H = −48 / : (− 20 )
H = 2,4
V = ab sin α ⋅ H
V = 6 ⋅ 4 ⋅ sin 30° ⋅ 2,4
1
V = 24 ⋅ ⋅ 2,4
2
V = 28,8
Sześcian
Wykorzystują wzór na pole powierzchni
całkowitej obliczamy H
Obliczamy objętość graniastosłupa.
( graniastosłup foremny) – graniastosłup, którego wszystkie ściany są kwadratami.
a - krawędź sześcianu
D – przekątna sześcianu D = a 3
D
d
a
d – przekątna ściany sześciany d = a 2
a
a
Wzór na pole powierzchni całkowitej sześcianu:
Wzór n objętość sześcianu:
Pc = 6a 2
V = a3
Przykład 11.1.2. Oblicz kosinus kąta jaki tworzy przekątna sześcianu z jego podstawą.
Rozwiązanie
Komentarz
Analiza zadania.
WykaŜemy, Ŝe przekątna sześcianu wyraŜa
się wzorem
D = a 3.
Szukane:
cos α = ?
Wzory:
D = a 3
d = a 2
Korzystamy z twierdzenia Pitagorasa:
2
2
2
a +d = D
Za d podstawiamy wzór d = a 2
( )2 = D 2
a2 + a 2
a 2 + 2a 2 = D 2
3a 2 = D 2
D=a 3
Obliczmy
cos α =
cos α =
cos α =
cos α .
d
D
a 2
Korzystamy z definicji kosinusa:
a 3
Po podstawieniu wzorów
2
3
cosα =
D = a 3 , d = a 2 , skróceniu a
3
⋅
przyprostokatna_ przy_α
przeciwprostokatna
oraz usunięciu niewymierności z
mianownika otrzymujemy wartość
3
6
cos α =
3
Prostopadłościan – graniastosłup, którego wszystkie ściany są prostokątami.
c
D
a ,b, c – krawędzie prostopadłościanu
D – przekątna prostopadłościanu
b
a
Wzór na pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu:
Pc = 2ab + 2ac + 2bc
Wzór na objętość prostopadłościanu:
V = a ⋅b ⋅c
cos α
Przykład 11.1.3. Długości krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka
prostopadłościanu są liczbami tworzącymi ciąg geometryczny, w którym najmniejszy
wyraz jest równy 2. Przekątna tego prostopadłościanu ma długość 52 .
Oblicz pole powierzchni i objętość prostopadłościanu.
Rozwiązanie
Komentarz
Analiza zadania.
Przy obliczaniu objętości
prostopadłościanu wykorzystujemy
wzór V = Pp ⋅ H . PoniewaŜ
podstawą prostopadłościanu jest
prostokąt, to Pp = ab , a wysokość
prostopadłościanu
zatem V = abc
H = c .,
Ścianami prostopadłościanu są dwa
prostokąty o bokach a i b; dwa
prostokąty o bokach b i c oraz dwa
prostokąty o bokach a i c, zatem
Pc = 2ab + 2ac + 2bc
Dane:
Szukane:
a=2
V =?
D = 52
Pc = ?
a, b, c - ciąg geometryczny
b2 = a ⋅ c
b 2 = 2c
d 2 = a2 + b2
d 2 = 4 + b2
Wzory:
V = a ⋅b ⋅c
Pc = 2ab + 2ac + 2bc
Wykorzystując zaleŜność między
trzema kolejnymi wyrazami a, b, c
ciągu geometrycznego:
b 2 = a ⋅ c , zapisujemy pierwsze
równanie z niewiadomymi b i c
Wykorzystując twierdzenia
Pitagorasa zapisujemy wzór na
przekątną podstawy
prostopadłościanu.
Wykorzystując twierdzenia
Pitagorasa zapisujemy drugie
równanie z niewiadomymi b i c
c2 + d 2 = D2
c 2 + 4 + b 2 = 52
2
c 2 + b 2 = 52 − 4
c 2 + b 2 = 48
b 2 = 2c
 2
c + b 2 = 48
Rozwiązujemy metodą podstawiania
układ równań z niewiadomymi b i c.
c 2 + 2c = 48
c 2 + 2c − 48 = 0
∆ = 2 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (− 48) = 4 + 192 = 196
− 2 − 196 − 2 − 14 − 16
=
=
= −8 ∉ R+
2 ⋅1
2
2
− 2 + 196 − 2 + 14
c2 =
=
=6
2 ⋅1
2
c1 =
Rozwiązując równanie kwadratowe
stosujemy wzory:
2
∆ = b − 4⋅a⋅c
−b− ∆
−b+ ∆
x1 =
; x2 =
2a
2a
PoniewaŜ c = −8 nie spełnia
warunków zadania , zatem c = 6 .
b 2 = 2c
b2 = 2 ⋅ 6
Obliczamy b
b 2 = 12
b=2 3
V = a ⋅ b ⋅ c = 2 ⋅ 2 3 ⋅ 6 = 24 3
Pc = 2ab + 2ac + 2bc = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 3 + 2 ⋅ 2 ⋅ 6 + 2 ⋅ 2 3 ⋅ 6 =
= 8 3 + 24 + 24 3 = 32 3 + 24
Obliczamy V i Pc
Graniastosłup prawidłowy czworokątny – graniastosłup, którego podstawy są kwadratami,
a ściany boczne
prostokątami.
b
D
d
a - krawędź podstawy
b – krawędź boczna ( wysokość graniastosłupa)
d – przekątna podstawy d = a 2
D – przekątna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego
a
a
Wzór na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego:
Wzór na objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego:
Pc = 2a 2 + 4ab
V = a 2 ⋅b
Przykład 11.1.4. Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego
wynosi 2, a przekątna tego graniastosłupa 8. Oblicz objętość, pole powierzchni
całkowitej tego graniastosłupa oraz sinus kąta jaki tworzy przekątna graniastosłupa
z krawędzią podstawy mającą z nią punkt wspólny.
Rozwiązanie
Komentarz
Analiza zadania.
Przy obliczaniu objętości graniastosłupa
wykorzystujemy wzór V = Pp ⋅ H . PoniewaŜ
podstawą graniastosłupa jest kwadrat, to
Pp = a 2 ,a wysokość graniastosłupa
H = b .,
Zatem V
= a 2 ⋅b
Pisząc wzór na pole powierzchni całkowitej
graniastosłupa wykorzystujemy
wzór Pc
= 2 Pp + Pb . PoniewaŜ Pp = a 2
oraz powierzchnię boczną tworzą cztery
prostokąty o bokach a i b ,zatem
Pc = 2a 2 + 4ab .
Dane:
Szukane: Wzory:
V = a 2 ⋅b
a=2
V =?
D=8
Pc = ?
Pc = 2a 2 + 4ab
sin α = ?
d =a 2
W obliczenia wykorzystujemy równieŜ wzór na
przekątną kwadratu
d =a 2
Korzystają z twierdzenia Pitagorasa obliczmy
długość krawędzi bocznej b.
Wykorzystujemy równieŜ wzór na przekątną
kwadratu
d = a 2
b2 + d 2 = D2
( )2 = 82
2
b 2 + (2 2 ) = 64
b2 + a 2
b 2 = 64 − 8
b 2 = 56
b = 56 = 4 ⋅ 14 = 2 14
V = a 2 ⋅ b = 2 2 ⋅ 2 14 = 8 14
Obliczamy V i Pc
Pc = 2a 2 + 4ab = 2 ⋅ 2 2 + 4 ⋅ 2 ⋅ 2 14 = 8 + 16 14
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczmy
długość przekątnej ściany bocznej d1
a 2 + b 2 = d1 2
22 +
( 56 )2 = d12
4 + 56 = d12
d12 = 60
d1 = 60 = 4 ⋅ 15 = 2 15
Korzystając z definicji sinusa
sin α =
przyprostokatna _ naprzeciw _ α
przeciwprostokatna
obliczamy sinus kąta jaki tworzy przekątna
graniastosłupa z krawędzią podstawy.
d
2 15
15
sin α = 1 =
=
D
8
4
Graniastosłup prawidłowy trójkątny – graniastosłup, którego podstawy są trójkątami
równobocznymi,
a ściany boczne są prostokątami.
b
a
a
a - krawędź podstawy
b – krawędź boczna ( wysokość graniastosłupa)
a 3
h – wysokość podstawy h =
2
h
a
Wzór na pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego trójkątnego:
Wzór na objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego:
V=
a2 3
⋅b
4
Pc = 2 ⋅
a2 3
+ 3ab
4
Przykład 11.1.5. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej graniastosłupa
prawidłowego trójkątnego ,w którym długość krawędzi podstawy jest równa 20
oraz kąt nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej
ma miarę 45° .
Rozwiązanie
Komentarz
Analiza zadania.
Przy obliczaniu objętości graniastosłupa
wykorzystujemy wzór V = Pp ⋅ H . PoniewaŜ
podstawą graniastosłupa jest trójkąt równoboczny,
a2 3
,a wysokość graniastosłupa
to Pp =
4
H = b .,
Zatem
V=
a2 3
⋅b
4
Pisząc wzór na pole powierzchni całkowitej
graniastosłupa wykorzystujemy
wzór Pc = 2 Pp + Pb . PoniewaŜ
Dane:
a = 20
Szukane:
V =?
α = 45° Pc = ?
Wzory:
a2 3
⋅b
4
a2 3
Pc = 2 ⋅
+ 3ab
4
a 3
h=
2
V=
a2 3
oraz powierzchnię boczną tworzą
4
trzy prostokąty o bokach a i b ,
Pp =
zatem Pc
= 2⋅
a2 3
+ 3ab
4
W obliczenia wykorzystamy równieŜ wzór na
wysokość trójkąta równobocznego
a 3 20 3
h=
=
= 10 3
2
2
h=
a 3
2
Obliczamy wysokość podstawy graniastosłupa.
Korzystając z definicji sinusa :
sin α =
przyprostokatna _ naprzeciw _ α
przeciwprostokatna
obliczmy przekątną ściany bocznej .
sin α =
h
d
10 3
d
2 10 3
=
2
d
2d = 20 3 /⋅ 2
sin 45° =
2d = 20 6 / : 2
d = 10 6
Korzystając z twierdzenia Pitagorasa obliczamy
długość krawędzi bocznej b.
a2 + b2 = d 2
(
20 2 + b 2 = 10 6
)2
400 + b 2 = 600
b 2 = 200
b = 10 2
Obliczamy V i Pc
a2 3
20 2 3
400 3
V=
⋅b =
⋅ 10 2 =
⋅ 10 2 = 1000
4
4
4
a2 3
20 2 3
+ 3ab = 2 ⋅
+ 3 ⋅ 20 ⋅ 10 2 =
4
4
400 3
= 2⋅
+ 600 2 = 200 3 + 600 2
4
Pc = 2 ⋅
Graniastosłup prawidłowy sześciokątny – graniastosłup, którego podstawami są
sześciokąty foremne,
a ściany boczne są prostokątami.
b
d
D
a
a - krawędź podstawy
b – krawędź boczna ( wysokość graniastosłupa)
a 3
d – krótsza przekątna podstawy d = 2
2
D – dłuŜsza przekątna podstawy D = 2a
a
Wzór na pole powierzchni graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego:
2
Pc = 2 ⋅ 6
3
a
4
+ 6ab
Wzór na objętość graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego:
2
V = 6
a
3
4
⋅b
Przykład 11.1.6. W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym wszystkie krawędzie
mają długość 4. Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość graniastosłupa oraz
długości przekątnych graniastosłupa.
Rozwiązanie
Komentarz
Analiza zadania.
Podstawą graniastosłupa jest sześciokąt
foremny.
Łącząc wierzchołki sześciokąta
otrzymujemy sześć trójkątów
równobocznych, dlatego
Pp = 6 ⋅
a2 3
.
4
Dane:
Szukane:
a=4
V =?
b = 4 Pc = ?
D1 = ?
D2 = ?
Wzory:
V = 6⋅
a
2
4
3
⋅b
a2 3
+ 6ab
4
a 3
d1 = 2 ⋅
2
d 2 = 2a
Pc = 2 ⋅ 6 ⋅
DłuŜsza przekątna sześciokąta foremnego
jest równa długości dwóch boków trójkąta
równobocznego: d 2 = 2a
Krótsza przekątna sześciokąta foremnego
jest równa długości dwóch wysokości
trójkąta równobocznego:
d1 = 2 ⋅
a 3
2
Przy obliczaniu objętości graniastosłupa
wykorzystujemy wzór V = Pp ⋅ H .
PoniewaŜ podstawą graniastosłupa jest
a2 3
sześciokąt foremny, to Pp = 6 ⋅
,a
wysokość graniastosłupa
a2 3
Zatem V =
⋅b
H = b .,
4
4
Pisząc wzór na pole powierzchni całkowitej
graniastosłupa wykorzystujemy
wzór Pc = 2 Pp + Pb . PoniewaŜ
a2 3
oraz powierzchnię boczną
Pp = 6 ⋅
4
tworzy sześć prostokątów o bokach a i b
a2 3
42 3
16 3
V = 6⋅
⋅b = 6⋅
⋅4 = 6⋅
⋅4 =
4
4
4
= 6 ⋅ 4 3 ⋅ 4 = 96 3
, zatem Pc
= 2⋅6⋅
Obliczamy
V i Pc
a2 3
+ 6ab
4
a2 3
42 3
+ 6ab = 12
+ 6⋅4⋅4 =
4
4
16 3
= 12
+ 96 = 48 3 + 96
4
Pc = 2 ⋅ 6
Wykorzystując twierdzenie Pitagorasa
obliczamy długość krótszej przekątnej
graniastosłupa.
b 2 + d12 = D12
2
 4 3
 = D12
4 +  2 ⋅
2 

2
16 + 48 = D12
64 = D12
D1 = 8
Wykorzystując twierdzeniu Pitagorasa
obliczamy długość dłuŜszej przekątnej
graniastosłupa.
Korzystamy ze wzoru
d 2 = 2a
b 2 + d 2 2 = D2 2
4 2 + (2 ⋅ 4 )2 = D2 2
16 + 64 = D2 2
D2 2 = 80
D2 = 80 = 16 ⋅ 5 = 4 5
ĆWICZENIA
Ćwiczenie 11.1.1. (3pkt.) Oblicz pole powierzchni całkowitej i objętość sześcianu o
przekątnej długości 12cm .
schemat oceniania
Numer
odpowiedzi
Odpowiedź
Liczba punktów
1
Podanie długości krawędzi sześcianu
1
2
Podanie pola powierzchni całkowitej sześcianu.
1
3
Podanie objętości sześcianu.
1
Ćwiczenie 11.1.2. (4pkt.) Podstawą graniastosłupa prostego jest prostokąt o bokach długości
4cm;2cm .Oblicz objętość i pole powierzchni tego graniastosłupa wiedząc, Ŝe jego
przekątna jest nachylona do podstawy pod kątem 60°.
schemat oceniania
Numer
Odpowiedź
Liczba punktów
odpowiedzi
Podanie długości przekątnej podstawy graniastosłupa
1
1
2
Podanie wysokości graniastosłupa.
1
3
Podanie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa
1
4
Podanie objętości sześcianu graniastosłupa.
1
Ćwiczenie 11.1.3. (5pkt.) W graniastosłupie prawidłowym czworokątnym przekątna
podstawy ma długość 3 2cm i tworzy z przekątną ściany bocznej wychodzącą
z tego samego wierzchołka kąt 60° . Oblicz pole powierzchni i objętość tego
graniastosłupa.
schemat oceniania
Numer
Odpowiedź
Liczba punktów
odpowiedzi
Podanie długości krawędzi podstawy.
1
1
2
Podanie długości przekątnej ściany bocznej
1
3
Podanie długości krawędzi bocznej.
1
4
Podanie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa
1
5
Podanie objętości sześcianu graniastosłupa.
1
Ćwiczenie 11.1.4. (3pkt.) W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym przekątna ściany
bocznej jest nachylona do krawędzi podstawy długości 6cm pod kątem 30° .
Oblicz pole powierzchni i objętość graniastosłupa.
schemat oceniania
Numer
Odpowiedź
Liczba punktów
odpowiedzi
Podanie długości krawędzi bocznej
1
1
2
Podanie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa
1
3
Podanie objętości sześcianu graniastosłupa.
1
Ćwiczenie 11.1.5. (3pkt.) Oblicz pole powierzchni i objętość graniastosłupa prawidłowego
sześciokątnego, którego krawędź podstawy ma długość 4 2 i najdłuŜsza
przekątna 12 .
schemat oceniania
Numer
Odpowiedź
Liczba punktów
odpowiedzi
Podanie długości krawędzi bocznej
1
1
2
Podanie pola powierzchni całkowitej graniastosłupa
1
3
Podanie objętości sześcianu graniastosłupa.
1