Dariusz Jakóbczak – „Podstawy analizy matematycznej”

Dariusz Jakóbczak
Podstawy analizy
matematycznej
skrypt Wydziału Elektroniki i Informatyki
Politechniki Koszalińskiej
Wydawnictwo Uczelniane Politechniki Koszalińskiej
Koszalin 2007
1
Spis treści
Literatura……….......................................................................................3
Wstęp.......................................................................................................4
1. Ciągi liczbowe, granica ciągu………....................................................6
1.1.
Rodzaje i własności ciągów liczbowych……................................6
1.2.
Definicja i własności granicy ciągu.............................................20
1.3.
Wyznaczanie granicy ciągu........................................................33
1.4.
Przykładowe zastosowania ciągów............................................37
1.5.
Zadania i odpowiedzi..................................................................43
2. Funkcje jednej zmiennej rzeczywistej................................................48
2.1.
Rodzaje funkcji elementarnych...................................................48
2.2.
Funkcja złożona..........................................................................65
2.3.
Funkcja odwrotna.......................................................................69
2.4.
Przykładowe obliczenia..............................................................82
2.5.
Inżynierskie zastosowania funkcji..............................................88
2.6.
Zadania i odpowiedzi..................................................................92
3. Granica i ciągłość funkcji jednej zmiennej..........................................96
3.1.
Definicja i własności granicy funkcji............................................96
3.2.
Wyznaczanie granicy funkcji....................................................112
3.3.
Pojęcie ciągłości funkcji............................................................120
3.4.
Zadania i odpowiedzi................................................................125
4. Pochodna funkcji jednej zmiennej....................................................128
4.1.
Pojęcie ilorazu różnicowego.....................................................128
4.2.
Definicja i własności pochodnej funkcji.....................................133
2
4.3.
Wyznaczanie pochodnej z definicji...........................................141
4.4.
Obliczanie pochodnej funkcji elementarnych...........................151
4.5.
Zastosowanie pierwszej i drugiej pochodnej............................157
4.6.
Badanie przebiegu zmienności funkcji.....................................166
4.7.
Inżynierskie zastosowania pochodnej......................................183
4.8.
Zadania i odpowiedzi................................................................190
3
Literatura:
1. Kuratowski K.: Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej.
PWN, Warszawa 1979.
2. Krysicki W., Włodarski L.: Analiza matematyczna w zadaniach (cz.1). PWN,
Warszawa 1980.
3. Sidorowicz J.: Matematyka. Wykłady dla studentów wydziałów technicznych
(t.1). Wydawnictwo WSI, Koszalin 1996.
4. Poradnik matematyczny pod red. Dziubińskiego i Świątkowskiego. PWN,
Warszawa 1985.
5. Decewicz G., Żakowski W.: Matematyka – cz.I. WNT, Warszawa 1994.
6. Maurin K.: Analiza- cz.I. Elementy. PWN, Warszawa 1977.
7. Leitner R.: Zarys matematyki wyższej dla studentów. WNT, Warszawa 1995.
8. Minorski W.P.: Zbiór zadań z matematyki wyższej. WNT, Warszawa 1974.
9. Leja F.: Analiza matematyczna. PWN, Warszawa 1972.
10. Fichtenholz G.M.: Rachunek różniczkowy i całkowy. PWN, Warszawa 1994.
11. Zaporożec G.I.: Metody rozwiązywania zadań z analizy matematycznej.
WNT, Warszawa 1976.
12. WWW.WIKIPEDIA.PL, 05.02.2008.
13. WWW.ANALIZA.MATEMATYKA.ORG, 05.02.2008.
14. WWW.PORTALWIEDZY.ONET.PL, 05.02.2008.
15. WWW.MATH.EDU.PL, 05.02.2008.
16. Gdowski B., Pluciński E.:Zbiór zadań z matematyki. WNT, Warszawa 1974.
17. Haggarty R.: Fundamentals of mathematical analysis. Addison-Wesley,
Oxford Brookes University 1993.
4
Wstęp
Skrypt „Podstawy analizy matematycznej” ma w swoich założeniach przybliżyć
studentom
i
kursów
twierdzenia
elementarnych
wyrównawczych
najważniejsze
dotyczące
ciągów
i
wykonywanych
działań
liczbowych,
na
pojęcia,
granicy
funkcjach,
definicje
ciągów,
funkcji
granicy funkcji
i zastosowania pochodnej funkcji. Oprócz podstawowej wiedzy matematycznej,
opisującej dany temat w sposób przystępny i przemawiający do intuicji,
w każdym rozdziale znajdują się przykłady inżynierskiego i technicznego
wykorzystania omawianych zagadnień. Do każdej partii materiału podane są
przykładowe zadania z rozwiązaniami oraz zestaw zadań do samodzielnego
wykonania z podaną odpowiedzią (trudniejsze zadania oznaczone są
symbolem *).
W rozdziale 1 zawarto materiał o rodzajach i własnościach ciągów
liczbowych, o granicy ciągu i sposobach wyznaczania granicy ciągu.
Umieszczono podstawowe definicje i twierdzenia dotyczące ciągów liczbowych.
Podano także kilka przykładów praktycznego zastosowania ciągu i jego granicy.
W
rozdziale
2
opisano
funkcje
jednej
zmiennej
rzeczywistej,
podstawowe definicje i własności funkcji, rodzaje i cechy funkcji elementarnych.
Omówiono operację złożenia funkcji elementarnych oraz poszukiwanie funkcji
odwrotnej do funkcji elementarnej. Zdefiniowano najważniejsze cechy złożenia
funkcji
i
funkcji
odwrotnej,
podano
kilka
przykładów
inżynierskiego
zastosowania funkcji.
W rozdziale 3 znajduje się materiał odnośnie granicy i ciągłości funkcji
jednej zmiennej. Opisano definicje i własności granicy funkcji, podano definicje
Cauchy’ego i Heinego granicy funkcji (obustronnej i jednostronnej). Omówiono
podstawowe twierdzenia o granicach funkcji w punkcie właściwym (będącym
liczbą)
i
niewłaściwym
(czyli
w
nieskończoności),
podano
przykłady
wyznaczania granicy funkcji i jej wykorzystanie np. do badania asymptot funkcji.
Opracowano pojęcie ciągłości funkcji oraz definicje i własności dotyczące
funkcji ciągłych. Podano przykłady sprawdzania ciągłości funkcji w punkcie oraz
rozwiązane zadania dotyczące granicy funkcji oraz ciągłości funkcji.
5
W rozdziale 4 wyjaśniono i zdefiniowano pojęcie ilorazu różnicowego
oraz podano definicję i własności pochodnej funkcji w punkcie. Pokazano, dla
wybranych funkcji elementarnych, wyznaczanie funkcji pochodnej na podstawie
definicji. Udowodniono wzory na pochodną sumy, różnicy, ilorazu oraz iloczynu
funkcji, podano wzór na pochodną funkcji złożonej. Umieszczono przykładowe
obliczenia dotyczące pochodnej funkcji oraz pochodnych wyższych rzędów.
Wyjaśniono zastosowanie pierwszej i drugiej pochodnej do badania takich
własności
funkcji
jak:
przedziały
monotoniczności,
ekstremum
lokalne
(maksimum, minimum), wypukłość funkcji, punkty przegięcia. Omówiono
sposoby wyznaczania asymptot funkcji. Podano przykłady badania przebiegu
zmienności funkcji z wykorzystaniem całej wiedzy na temat sprawdzania
własności funkcji wraz z wykonaniem wykresu funkcji. Opisano kilka przykładów
inżynierskiego zastosowania pochodnej i wykorzystania twierdzenia Taylora
i wzoru Maclaurina.
Podejmując się napisania tego skryptu autor miał na uwadze
umieszczenie jak największej liczby przykładów, mających na celu jak
najprostsze wyjaśnienie studentom kursów wyrównawczych omawianego
materiału i zastosowanie opisanej teorii w obliczeniach inżynierskich.