znajomość treści matematyki z zakresu szkoły średniej na poziomie

Nazwa przedmiotu:
Analiza matematyczna
Semestr:
1
Liczba
ECTS
godzin
10
135
Prowadzący:
Forma rozliczenia:
egzamin
Wymagania/preferencje wymagane przy przyjmowaniu:
znajomość treści matematyki z zakresu szkoły średniej na poziomie
minimum podstawowym
Ogólny opis przedmiotu:
Kurs analizy matematycznej obejmuje zagadnienia z zakresu rachunku
różniczkowego i całkowego wraz z elementami logiki i teorii mnogości,
które są stosowane w szeroko rozumianych analizach ekonomicznych.
Realizowane w ramach kursu treści programowe są wykorzystywane w
statystyce, ekonometrii, badaniach operacyjnych oraz w ekonomii - głównie
ekonomii matematycznej.
Cel zajęć
Celem kształcenia z zakresu analizy matematycznej jest zapoznanie
studentów z metodami analizy funkcji jednej i wielu zmiennych, głownie w
zakresie rachunku różniczkowego i całkowego. Przekazywane treści
programowe mają na celu zapoznanie studentów z możliwościami
zastosowania odpowiednich narządzi matematycznych w analizach
ekonomicznych.
Zamierzone efekty kształcenia:
Wiedza:
Po zakończeniu kursu student umie:
- interpretować rachunek zdań i kwatyfikatorów oraz indukcję
matematyczną do prowadzenia rozumowań w zakresie szeroko
rozumianych praw ekonomicznych;
- definiować problemy ekonomiczne oraz formalizować je za pomocą
poznanego aparatu matematycznego;
- stosować elementy rachunku różniczkowego i całkowego do badania
własności funkcji jednej i wielu zmiennych (ekstrema funkcji,
monotoniczność funkcji, wypukłość wklęsłość funkcji, etc.);
Umiejętności:
Po zakończeniu kursu student potrafi:
- analizować zagadnienia z zakresu analizy matematycznej funkcji jednej
i wielu zmiennych oraz umieć je wykorzystywać do opisu zależności
ekonomicznych;
- formułować i weryfikować zagadnienia z zakresu analizy funkcji jednej i
wielu zmiennych za pomocą odpowiednich narzędzi matematycznych;
- zastosować metody analizy matematycznej do rozwiązywania
problemów z zakresu ekonomii, statystyki, ekonometrii.
Inne kompetencje (postawy):
Po zakończeniu kursu człowiek potrafi:
- postępować zgodnie z zasadami logiki w celu analizowania złożonych
zagadnień ekonomicznych;
- stosować aparat matematyczny w celu sformalizowania zagadnień
ekonomicznych;
- świadomie stosować narzędzia analizy matematycznej do
rozwiązywania zagadnień z zakresu szeroko rozumianej ekonomii.
Sposób sprawdzenia osiągnięcia efektów zamierzonych:
1. dwa kolokwia w trakcie trwania kursu mające na celu sprawdzenie
umiejętności studenta w zakresie stosowania w praktyce przekazanej
wiedzy;
2. egzamin sprawdzający wiedzę z zakresu realizowanych w ramach kursu
treści programowych.
Treści programowe:
1. Rachunek zdań. Prawa logiki. Funkcja zdaniowa. Kwantyfikatory.
2. Operator sumy i iloczynu i ich własności.
3. Indukcja matematyczna i rekurencja.
4. Elementy teorii mnogości. Algebra zbiorów. Zbiory liczbowe. Iloczyn
kartezjański zbiorów. Relacje. Moc zbioru. Zbiory przeliczalne i
nieprzeliczalne.
5. Podstawowe własności zbioru liczb rzeczywistych. Zbiory
uporządkowane. Ciągłość, ograniczoność i kresy. Przestrzeń arytmetyczna
n-wymiarowa R(n). Pojęcia topologiczne w przestrzeniach R(n). Zbiory
otwarte, domknięte, ograniczone, spójne. Punkt skupienia zbioru.
6. Liczby zespolone. Działania na liczbach zespolonych. Postać kartezjańska
i trygonometryczna liczby zespolonej.
7. Funkcje jednej zmiennej. Funkcje rzeczywiste i zespolone i ich własności.
Funkcja złożona, funkcja odwrotna.
8. Ciągi liczbowe i ich własności. Granice ciągów. Symbole nieoznaczone.
9. Szeregi liczbowe. Kryteria zbieżności szeregów liczbowych. Szeregi
funkcyjne. Szeregi potęgowe.
10. Granica funkcji jednej zmiennej. Ciągłość funkcji. Pochodna funkcji
rzeczywistej i zespolonej. Podstawowe twierdzenia rachunku
różniczkowego. Wzór Taylora i MacLaurina. Rozwinięcie funkcji w szereg
potęgowy. Reguła de l'Hospitala. Ekstrema funkcji. Pochodne wyższych
rzędów. Asymptoty funkcji. Badanie przebiegu zmienności funkcji. Funkcje
elementarne w dziedzinie zespolonej.
11. Funkcje wielu zmiennych. Gradient i hesjan funkcji wielu zmiennych.
Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych. Funkcja uwikłana. Ekstrema
funkcji uwikłanej. Największa i najmniejsza wartość funkcji wielu zmiennych
na zbiorze.
12. Całka nieoznaczona. Podstawowe wzory rachunku całkowego i metody
całkowania funkcji. Całka oznaczona. Interpretacja geometryczna całki
oznaczonej. Całki niewłaściwe. Całki wielokrotne, krzywoliniowe i
powierzchniowe.
13. Szeregi Fouriera. Ciągi i szeregi funkcyjne zmiennej zespolonej.
14. Równania różniczkowe. Rowiązywanie równań różniczkowych o
rozdzielonych zmiennych. Równania jednorodne. Równania różniczkowe
zupełne. Wprowadzenie do równań różniczkowych cząstkowych.
Zalecana literatura:
1. Krysicki W., Włodarski L. Analiza matematyczna w zadaniach, t. 1 i 2.,
Wydawnictwo Naukowe PWN, wszystkie wydania;
2. Fichtencholż G. M., Rachunek różniczkowy i całkowy. Wydawnictwo
Naukowe PWN, wszystkie wydania;
3. Klepacz H., Żółtowska E., Świeczewska I., MAtematyka. POdręcznik dla
uczelni ekonomicznych, Absolwent, Łódź, 2007;
4. Leja F., Rachunek różniczkowy i całkowy, Wydawnictwo Naukowe PWN,
Warszawa, 1979;
5. Rasiowa H., Wprowadzenie do matematyki współczesnej, Wydawnictwo
NAukowe PWN, WArszawa, 2003.