Algebra abstrakcyjna i kodowanie, I rok inf., WPPT

Algebra abstrakcyjna i kodowanie, I rok inf., WPPT
Lista 11 - 24 kwietnia 2010
Temat: ciało Galoisa, kod BCH
1. Element nazywa się pierwotny, jeśli każdy element ciała jest jego potęgą. Wyznacz
element pierwotny ciała Z5 .
2. Niech a będzie elementem ciała Zp . Dlaczego ap = a?
3. Niech F będzie ciałem skończonym rzędu r. Wówczas każdy jego element jest pierwiastkiem wielomianu xr − x, tzn,
xr − x =
Y
(x − a).
a∈F
Ponadto, mamy
xr−1 − 1 =
Y
(x − a).
a∈F,a6=0
Sprawdź to twierdzenie na przykładzie ciała Z5 .
4. Niech Z będzie pierścieniem liczb całkowitych i niech n ∈ N. Rozpatrzmy ideał główny
I = nZ = {nc : c ∈ Z}
oraz określony przez niego pierścień ilorazowy Z/nZ, czyli zbiór wszystkich warstw
względem ideału I = nZ. Pokaż, że pierścień ilorazowy Z/nZ jest izomorficzny z pierścieniem Zn .
5. Niech n będzie liczbą pierwszą i niech wielomian p(x) ∈ Zn [x], stopnia s, będzie nierozkładalny nad ciałem Zn . Rozpatrzmy ideał główny p(x)Zn [x]
p(x)Zn [x] = {p(x)u(x) : u(x) ∈ Zn [x]}
i pierścień ilorazowy
Zn [x]/p(x)Zn [x].
Wiadomo, że każdy wielomian w(x) ∈ Zn [x] stopnia < s jest liderem dokładnie jednej warstwy (dlaczego?). W zbiorze wszystkich wielomianów stopnia < s określamy
następujace działania modulo wielomian p(x):
w(x) ⊕ u(x) = w(x) + u(x),
natomiast w(x) u(x) jest resztą z dzielenia wielomianu w(x)u(x) przez p(x). Zbiór
wszystkich wielomianów stopnia < s z tak określonymi działaniami oznaczamy przez
Zn [x]/mod p(x). Dlaczego pierścień ilorazowy Zn [x]/p(x)Zn [x] jest izomorficzny z
Zn [x]/mod p(x)?
Czy stąd wynika, że Zn [x]/mod p(x) jest ciałem? Dlaczego?
6. Wielomian nierozkładalny p(x) ∈ Z2 [x] stopnia n nazywa się pierwotny (primitive) jeśli
nie jest dzielnikiem wielomianów 1 + xm dla m < 2n − 1. Sprawdzić, czy wielomiany
1 + x + x2 , 1 + x + x2 + x3 + x4 , 1 + x3 + x4 , 1 + x + x4 są pierwotne i czy są dzielnikami
n
wielomianu x2 −1 + 1.
1
7. Wyznacz najmniejszą wspólną wielokrotność wielomianów
1 + x2 ,
1 + x + x2 + x4 ,
1 + x2 + x4 + x6 .
8. Za pomocą Z2 [x]/mod (x3 + x + 1) określ rozszerzenie algebraiczne GF(23 ) ciała Z2 . Ile
ono ma elementów? Ułóż tabelki dla dodawania i mnożenia w GF(23 ). Czy (i dlaczego?)
α jest zerem wielomianu p(x) = x3 + x + 1? Czy α spełnia zależność: α3 = α + 1?
9. Wyznacz elementy pierwotne w ciele Galoisa GF(33 ) zdefiniowanym za pomocą
Z3 [x]/mod (x2 + 1).
10. Podaj rozszerzenie algebraiczne ciała Z2 za pomocą wielomianu p(x) = 1 + x + x3 i
wyraź wszystkie elementy tego rozszerzenia jako potęgi nowego elementu α.
11. Podaj rozszerzenie algebraiczne ciała Z2 za pomocą wielomianu p(x) = 1 + x + x4
i wyznacz wielomiany minimalne dla kilku elementów tego ciała. Wyznacz wielomian
minimalny m(x) dla elementu α3 .
Odpowiedź. m(x) = 1 + x + x2 + x3 + x4 .
12. Niech α będzie elementem pierwotnym ciała GF(32), gdzie α5 = 1+α2 . Znajdź wielomian
nierozkładalny taki, że α3 jest jego pierwiastkiem.
13. Niech α będzie elementem pierwotnym ciała Galoisa GF(24 ) zdefiniowanego za pomocą
wielomianu p(x) = 1 + x3 + x4 . Określ wielomian generujący kod BCH o długości 15.
14.
• Wyznacz rozszerzenie algebraiczne ciała Z2 za pomocą wielomianu p(x) = 1+x+x4
i wyznacz wielomiany minimalne dla kilku elementów tego ciała.
• Niech α będzie elementem piewotnym tego ciała, czyli 1+α+α4 = 0. Wyznacz wielomian minimalny m.in. dla elementów α3 i α6 . Czy mają one wspólny wielomian
minimalny 1 + x + x2 + x3 + x4 ?
• Wyznacz kod BCH o długości n = 15 za pomocą elementu α, czyli kod opisany
przez warunki
w(α) = w(α3 ) = 0,
gdzie w(x) jest wielomianem.
• Jaki stopień może mieć wielomian w?
• Podaj kilka słów należących do tego kodu.
• Podaj wielomian generujący ten kod. Czy jest nim wielomian g(x) = 1 + x4 + x6 +
x7 + x8 ?
• Napisz kontrolną macierz parzystości tego kodu (jaki ona ma rozmiar?).
• Załóżmy, że otrzymaliśmy słow: w∗ = 110111101011000. Sprawdź (za pomocą algorytmu podanego na wykładzie), czy i jakie bity są błędne.
15. Dla jakiego m w ciele Galoisa GF(2m ) istnieje element rzędu 11?
16. Dlaczego w ciele GF(2m ) nie może istnieć element rzędu parzystego?
Krystyna Ziętak
2