Bardzo łatwa lista powtórkowa

Analiza numeryczna, II rok inf., WPPT - 12 stycznia 2008
Terminy egzaminów
Przypominam, że egzaminy odbędą się w następujących terminach:
• egzamin podstawowy: 30 stycznia, godz. 13–15, C-13/1.31
• egzamin poprawkowy: 7 lutego, godz. 17–19, C-13/1.31
Bardzo łatwa lista powtórkowa
1. Zapisz następujące liczby dziesiętne w systemie dwójkowym zmiennopozycyjnym z mantysą czterocyfrową z pierwszą cyfrą znaczącą po przecinku (na cechę nie wprowadza się
ograniczeń): 7, 8, 9, 0.5, 1.5, 0.25, 48.
2. Czemu w standardzie IEEE, typ single, równa się najmniejsza liczba dodatnia zmiennopozycyjna znormalizowana η? Czemu równa się w komputerze 1 + η?
3. Czemu w standardzie IEEE, typ single, równa się najmniejsza liczba dodatnia zmiennopozycyjna znormalizowana ǫ taka, że 1 + ǫ > 1?
4. Co to jest NAN?
5. Podaj przykład liczby mniejszej od 1, która nie ma dokładnej reprezentacji w standardzie IEEE, typ single.
√
√
6. Zaproponuj algorytm obliczania wartości funkcji f (x) = x + 2− x dla bardzo dużych
wartości x. Podaj uzasadnienie swojego wyboru i przeprowadź analizę błędów zaokrągleń
zaproponowanego algorytmu.
7. Jaki algorytm nazywamy algorytmem numerycznie poprawnym?
8. Udowodnij, że dodawanie liczb w arytmetyce zmiennopozycyjnej w komputerze nie jest
działaniem łącznym.
9. Niech w(x) = x2 −105 x+1. Jakie kłopoty mogą się pojawić przy obliczaniu pierwiastków
tego wielomianu w zmiennopozycyjnej arytmetyce dziesiętnej z mantysą 8-mio cyfrową
i jaki je ominąć?
10. Co ilustruje “perfidny wielomian” Wilkinsona?
11. Omów algorytm obliczania w komputerze pierwiastków wielomianu ax2 + bx + x, a 6= 0.
Kiedy zadanie obliczania piewiastków tego wielomianu jest źle uwarunkowane?
12. Co jest wskaźnik uwarunkowania zadania? Jaką wielkość (i dlaczego?) przyjmuje się
jako wskaźnik uwarunkowania zadania obliczania wartości funkcji: y = f (x)?
13. Podaj definicję wielomianu interpolacyjnego Lagrange’a. Jak udowodnić, że ten wielomian jest określony jednoznacznie?
14. Podaj wzór na resztę interpolacji.
15. Podaj definicję ilorazu różnicowego. Jak udowodnić, że iloraz różnicowy nie zależy od
kolejności węzłów?
16. Udowodnij, że iloraz różnicowy funkcji f (x) = xn oparty na n + 2 węzłach jest równy
zero.
1
17. Omów algorytm wyznaczania ilorazów różnicowych, które występując we wzorze Newtona na wielomian interpolacyjny.
18. Wyznacz wielomian interpolacyjny w(x) taki, że
w(0) = 1,
w(2) = 3,
w(3) = 2,
w(4) = 5,
w(6) = 7
dwoma sposobami. Zastosuj wzór Lagrange’a i wzór Newtona.
19. Niech funkcja f w węzłach x0 = 2, x1 = 0 i x2 = 3 przyjmuje odpowiednio wartości 11,
7 i 28.
(a) Korzystając z wzoru Newtona, wyznacz wielomian w(x) interpolujący funkcję f .
(b) Bez jawnego wyznaczania ilorazów różnicowych, uzasadnij, dlaczego
f [x2 , x1 , x0 ] = f [x1 , x0 , x2 ].
(c) Niech wielomian u(x) interpoluje funkcję f w powyższych węzłach oraz w dodatkowym węźle x3 = 4, przy czym f (4) = 0. Czemu równa się u(x) − w(x)? Odpowiedź
uzasadnij bez jawnego wyznaczania wielomianu u(x).
20. Dla funkcji f (x) = sin πx
2 wyznacz wielomian interpolacyjny oparty na węzłach −1, 0, 1.
Zbadaj, z jakim błędem w(0.5) przybliża wartość funkcji f (0.5). Oszacuj resztę interpolacji.
21. Co to są węzły Czebyszewa? Omów własności wielomianów Czebyszewa, które są powodem stosowania węzłów Czebyszewa w interpolacji - sformułuj twierdzenie dotyczące
tych własności.
22. Wyznacz wielomian interpolacyjny Lagrange’a w(x) z trzema węzłami Czebyszewa, interpolujący funkcję 1/(x + 2) na przedziale [−1, 1]. Oszacuj resztę interpolacji na przedziale [−1, 1].
23. Wyznacz współczynnki a0 , a1 , a2 wielomianu w(x) = a0 x2 + a1 x + a2 spełniającego
następujące warunki interpolacji: w(−2) = 1, w(0) = 0, w(2) = 1, rozwiązując odpowiedni układ równań liniowych. Wyznacz wielomian interpolacyjny z wzoru Newtona.
Jak obliczyć wartość wielomianu w(x) dla x = 0.5 w obu przypadkach? Napisz schemat
algorytmu obliczania wartości tego wielomianu w postaci Newtona dla x = t. Wzoruj
się na schemacie Hornera.
24. Napisz schemat algorytmu dzielenia wielomianu w(x) = an xn +an−1 xn−1 +. . .+a1 x+a0
przez jednomian x − r. Uwaga. Zakładmy, że r jest pierwiastkiem wielmianu w(x). To
gwarantuje, że wielomian dzieli sie przez jednomian.
25. Wielomian w(x) = x3 − x − 5 = 0 ma dodatni pierwiastek α ≈ 1.9. Czy wielomian w(x)
ma jeszcze inny pierwiastek dodatni? W jakim przedziale leżą wszystkie pierwiastki
rzeczywiste wielomianu w(x)? Skorzystaj z twierdzenia Maclaurina.
√
26. Niech f (x) = x.
(a) Naszkicuj wykres funkcji f .
(b) Czy (i dlaczego) metoda Newtona jest zbieżna do zera funkcji f ? Podaj uzasadnienie geometryczne.
27. Jaki jest wykładnik (rząd) metody xk+1 = xk −
√
zera funkcji f (x) = 1 − x2 ?
2
f (xk )
2f ′ (xk )
zastosowanej do wyznaczenia
28. Niech f (x) = x − 2 sin x. Pokaż, że ciąg xk+1 = 2 sin xk jest zbieżny do zera funkcji f w
przedziale (π/2, 2) dla dowolnego x0 z tego przedziału.
29. Wyznacz metodą Newtona kilka kolejnych przybliżeń dodatnego pierwiastka wielomianu
(a) x2 − 4,
(b) x2 − 2x + 4,
(c) (x − 2)(x2 + x + 1).
Jaka jest krotność tych pierwiastków? Dla którego wielomianu metoda Newtona jest
szybciej zbieżna?
30. Wyznacz kilka przybliżeń zera funkcji f (x) = x3 − 1 trzema metodami:
• metodą bisekcji,
• metodą Newtona,
• metodą siecznych.
Napisz schemat tych algorytmów razem z odpowiednim kryterium kończenia procesu
iteracyjnego.
31. Zlokalizuj graficznie zero funkcji f (x) = cos (x) − x + 1. Następnie zastosuj metodę
Newtona do jego wyznaczenia. Jak wybrać przybliżenie początkowe?
32. Zlokalizuj graficznie rozwiązanie równania ex −3x = 0. Czy (i dlaczego?) do rozwiązania
tego równania można zastosować następującą metodę: xk+1 = 13 exk ?
33. Jaka jest interpretacja geometryczna metod siecznych i Newtona obliczania zer funkcji?
Jakie są wykładniki zbieżności tych metod?
34. Dwa spośród czterech pierwiastków wielomianu w(x) = x4 + 2x3 − 7x2 + 3 są dodatnie. Do ich wyznaczenia chcemy zastosować metodę Newtona. Jak wybrać przybliżenia
początkowe?
35. Co zdarzy się, jeśli metoda Newtona będzie zastosowana do wielomianu w(x) = 2x3 −
9x2 + 12x + 15 z następującymi przybliżeniami początkowymi:
(a) x0 = 3,
(b) x0 < 3,
(c) x0 > 3?
36. Co to znaczy, że zbieżność jakiejś metody iteracyjnej jest kwadratowa? Omów wady i
zalety jakichś dwóch kryteriów kończenia procesu iteracyjnego.
√
37. W metodzie Newtona, zastosowanej do obliczenia r konstruuje się ciąg
xk+1
1
r
=
xk +
.
2
xk
Niech r = 2. Czy x0 = 1 jest dobrym przybliżeniem początkowym?
38. Zastosuj twierdzenie Maclaurina do wyznaczenia przydziałów zawierających pierwiastki
dodatnie i ujemne wielomianu w(x) = (x − 2)2 (x − 3)(x + 1)2 (x2 + 2). Uwaga. Wyznacz
współczynniki tego wielomianu.
3
39. Niech f (x) = (x − 1)2 . Udowodnij, że metoda Newtona zastosowana do funkcji f jest
zbieżna liniowo.
40. Rozpatrzymy następującą modyfikację metody siecznych
xn+1 = xn −
xn − x0
f (xn ).
f (xn ) − f (x0 )
Jest to metoda iteracyjna jednopunktowa. Załóżmy, że ciąg wyznaczony tą metodą jest
zbieżny do zera funkcji f . Pokaż, że szybkość zbieżności jest tylko liniowa.
41. Za pomocą odpowiedniego rysunku sprawdź, czy równanie
x2 − 4 sin x = 0
ma rozwiązanie i zaproponuj jakieś przybliżenie początkowe tego rozwiązania.
42. Napisz schemt algorytmu rozwiązywania metodą Newtona równania z poprzedniego
zadania. Podaj jakieś kryterium kończenia procesu iteracyjnego.
43. Podaj definicje odwzorwania zwężającego i punktu stałego. Czy odwzorowanie g(x) =
1 + 2/x jest zwężające na przedziele [1, 3]?
44. Napisz schemat algorytmu rozwiązania układu równań liniowych z macierzą trójkątną
dolną.
45. Napisz schemat algorytmu eliminacji Gaussa rozwiązywania układu rówanń liniowych
z macierzą trójprzekątniową (niezerowe elementy są tylko na głównej przekątnej oraz
bezpośrednio nad i pod nią).
46. Podaj definicję i przykład normy wektora.
47. Z jaką normą wektora jest zgodna norma Frobeniusa macierzy? Co to są normy zgodne?
48. Oblicz wskaźniki uwarunkowania następujących macierzy (można wybrać dowolną normę macierzy podaną na wykładzie):
"
0.87 0.5
−0.5 0.87
#
"
,
2 0
0 0.5
#
.
49. Rozważmy następujący układ równań liniowych (Ax = b):
"
0.913 0.659
0.457 0.330
#"
x1
x2
#
=
"
0.254
0.127
#
.
Oblicz wskaźnik uwarunkowania macierzy A. Niech
x̂ = [−0.0827, 0.5]T ,
x̃ = [0.999, −1.001]T
oraz
r̂ = Ax̂ − b, r̃ = Ax̃ − b.
Oblicz normy ||r̂||1 , ||r̃||1 , gdzie ||x||1 = |x1 | + |x2 |. Wiadomo, że rozwiązaniem dokładnym układu Ax = b jest x = [1, −1]T . Co ten przykład ilustruje?
W arytmetyce dziesiętnej zmiennopozycyjnej w mantytsą cztery-cyfrową (pierwsza cyfra
różna od zera jest po przecinku) rozwiąż powyższy układ równań liniowych za pomocą
eliminacji Gaussa bez wyboru elementu głównego (Odp. x̌ = [−0.0827, 0.5]T ).
4
50. Jak numerycznie obliczyć macierz odwrotną?
51. Na przykładzie układu równań liniowych Ax = b z macierzą
A=
"
ǫ 1
1 1
#
,
ǫ bardzo małe
objaśnij potrzebę wyboru elementu głównego w eliminacji Gaussa. Na czym polega
częściowy wybór elementu głównego?
52. Dane są następujące wartości funkcji f (x):
f (−2) = 8,
f (−1) =,
f (0) = 0,
f (1) = 1,
f (2) = 8.
Wyznacz wielomian w(x) stopnia ¬ 3, dla którego jest osiągnięte minimum
min
w(x)∈R3 [x]
5
X
k=1
(f (xk ) − w(xk ))2 ,
gdzie x1 = −2, x2 = −1, x3 = 0, x4 = 1, x5 = 2.
53. Podaj definicję macierzy Grama. Wyznacz macierz Grama dla danych z poprzedniego
zadania.
54. Wyznacz współczynniki a i b, dla których wyrażenie
m
X
k=1
(axk + a − yk )2
ma najmniejsza wartość. Uwaga. Jest to aproksymacja średniokwadratową funkcji f (x)
o znanych wartościach yk = f (xk ) za pomocą wielomianu stopnia ¬ 1.
55. Wyznacz współczynniki a i b wielomianu ax2 + b, który najlepiej aproksymuje w sensie
najmniejszych kwadratów na zbiorze S = {−1, 0, 1} funkcję f o wartościach
f (−1) = 3.1, f (0) = 0.9, f (1) = 2.9.
56. Dane są następujące wartości funkcji f :
f (1), f (2) = 3, f (3) = 5, f (4) = 3. Dwoma sposobami wyznacz wielomiany stopnia zerowego, pierwszego i drugiego, które najlepiej aproksymują funkcję f na zbiorze
{1, 2, 3, 4}. Zastosuj wielomiany ortogonalne i układ z macierzą Grama.
57. Dla funkcji f (x) = 1/x wyznacz na przedziale [1, 2] optymalny wielomian stopnia zerowego
(a) w sensie aproksymacji średniokwadratowej (waga p(x) = 1, przedział całkowania
[1, 2]),
(b) w sensie aproksymacji jednostajnej.
58. Podaj wzór na współczynniki rozwinięcia funkcji |x| w szereg Czebyszewa. Na czym
polega idea algorytmu Clenshawa i do czego on służy?
59. Niech f (x) = an xx + an−1 xn−1 + . . . + a0 . Pokaż, że wielomian
w(x) = f (x) − an 21−n Tn (x)
jest wielomianem optymalnym stopnia n − 1 dla funkcji f (x) w sensie aproksymacji
jednostajnej.
5
60. Czym interpolacja różni się od aproksymacji średniokwadratowej?
61. Podaj dwa twierdzenia charakteryzujące najlepszą aproksymację średniokwadratową.
62. Co to jest alternans?
63. Omów krótko algorytm wyznaczania n−tego wielomianu optymalnego dla funkcji f w
sensie Czebyszewa na zbiorze n + 2 punktów. W jaki spsób oblicza się w nim błąd
aproksymacji?
64. Wyznacz pierwszy wielomian optymalny w sensie aproksymacji jednostajnej na przedziale [0, 1] dla funkcji f (x) = 1/(1 + x). Wskaż alternans.
65. Czy wielomian w(x) = x2 + 81 jest drugim wielomianem optymalny dla funkcji f (x) = |x|
w sensie aproksymacji jednostajnej? Dlaczego?
66. Dla funkcji f (x) = x3 wyznacz drugi (n = 2) wielomian optymalny w sensie aproksymacji jednostajnej na przedziale [−1, 1].
(a) Jak na jego podstawie wyznaczyć wielomian optymalny u(x) dla f na przedziale
[0, 1]?
Wskazówka. Zrób liniową zamianę zmiennych, żeby przejść od przedziału [−1, 1]
do przedziału [0, 1].
(b) Czy (i dlaczego) wielomian v(x) = u(x) − 3x będzie wielomian optymalnym dla
f (x) = x3 − 3x na przedziale [0, 1]?
67. Niech
Z
1
−1
f (t)dt ≈ A1 f (x1 ) + A2 f (x2 ),
√
√
gdzie x1 = −1/ 3, x2 = 1/ 3. Wyznacz współczynniki A1 i A2 tak, by ta kwadratura
była dokładna dla wielmianów możliwie wysokiego stopnia. Zastosuj tę kwadraturę do
obliczenia przybliżonej wartości całki oznaczonej
1
Z
2
e−t dt.
0
Wskazówka. Zastosuj liniową zamianę zmiennych t = (x + 1)/2.
68. Zastosuj znane kwadratury do obliczenia przybliżonej wartości całki oznaczonej
Z
1
x3 dx,
0
porównaj je z dokładną wartością tej całki oraz oszacuj teoretyczny błąd.
69. Co wzór trapezów ma wspólnego z interpolacją? Podaj interpretację geometryczną wzoru trapezów. Jak udowodnić wzór na błąd tej kwadratury? Omów krótko ideę dowodu.
70. Wyznacz wielomian interpolujący funkcję f w węzłach a, b i (a + b)/2. Oblicz całkę
oznaczoną z tego wielomianu na przedziale [a, b]. Czy w ten sposób otrzymałeś wzór
Simpsona?
Krystyna Ziętak
6