pobierz

Najlepszy Matematyk Szkoły
ROZWIĄZANIA ZADAŃ Z LISTY IV
Zad. 1. (5 pkt.)
10
Przykładowe rozwiązanie pokazuje rysunek:
2
13
7
4
14
9
3
1
11
12
5
Zad. 2. (5 pkt.)
8
6
Istnieje aż 6 możliwości:
Adam
Bolesław
Czesław
I
II
III
IV
V
VI
Kraków
Kraków
Kraków
Kraków
Toruń
Toruń
biologia
matematyka
biologia
matematyka
biologia
matematyka
Warszawa
Warszawa
Toruń
Toruń
Warszawa
Warszawa
chemia
chemia
matematyka
chemia
chemia
chemia
Toruń
Toruń
Warszawa
Warszawa
Kraków
Kraków
matematyka
biologia
chemia
biologia
matematyka
biologia
Zad. 3. (5 pkt.)
Łatwo zauważyć, że w graniastosłupie, który ma n – kąt w podstawie liczba ścian wynosi
n + 2 , a liczba krawędzi - 3n . Stąd mamy:
Wielokąt w podstawie
Liczba krawędzi
Liczba ścian
graniastosłup I
n – kąt
3n
n+2
graniastosłup II
m – kąt
3m
m+2
Z warunków zadania otrzymujemy następujący układ równań:
n + 2 = 2(m + 2 )
, który rozwiązujemy, otrzymując

3n = 3m + 21
n − 2 m = 2
i dalej

n − m = 7
n = 12
.

m = 5
Odp.: Graniastosłup pierwszy ma dwunastokąt w podstawie, a drugi pięciokąt.
Zad. 4. (5 pkt.)
Niech x będzie długością szukanego boku trójkąta. Z odcinków o długościach 1m, 3m i x m
można zbudować trójkąt, jeżeli spełnione są nierówności: x + 1 > 3 i x − 1 < 3 , skąd x > 2 i
x < 4 . Ponieważ długości boków trójkąta wyrażają się liczbami całkowitymi otrzymujemy
x = 3 m, i obwód wynosi 7m.
Zad. 5. (5 pkt.)
5
= 0, (384615) Chcąc wyznaczyć 253-cią cyfrę po przecinku rozwinięcia dziesiętnego liczby
13
5
, należy wyznaczyć resztę z dzielenia liczby 253 przez 6 (długość okresu) 253 : 6 = 42 r 1 ,
13
5
czyli 253-cią cyfrą po przecinku rozwinięcia dziesiętnego liczby
będzie pierwsza cyfra
13
okresu tj. 3. Odp.: Szukaną cyfrą jest 3.