Ćw. 5 Zadania - E-SGH

Ćwiczenia nr 5
mgr Sylwia Timoszuk
Twierdzenia graniczne. Rozkłady statystyk z próby
Zad. 1. Zmienna losowa ma rozkład normalny N ( m, σ ) . Dane są dwa estymatory parametru σ 2 :
L.p.
Tn
I.
S2 =
II.
1
Sˆ 2 =
∑ ( x i − x) 2
n −1
D 2 (Tn )
E (Tn )
1
( x i − x) 2
∑
n
E(S 2 ) =
n −1 2
σ
n
E (S 2 ) = σ 2
2σ 4 n − 1
⋅
n
n
4
2σ
D 2 (S 2 ) =
n −1
D 2 (S 2 ) =
Biorąc pod uwagę trzy podstawowe własności estymatora: nieobciążoność, efektywność i zgodność,
określić własności proponowanych wyżej estymatorów. Który z estymatorów należy wybrać do
wnioskowania o wartości wariancji w populacji generalnej?
Zad. 2. Rozkład rocznych wydatków na alkohol w populacji generalnej jest rozkładem normalnym
o parametrach X: N(m,50).
1) Oszacować punktowo i przedziałowo nieznane średnie miesięczne wydatki na alkohol w populacji
wiedząc, że w losowo wybranej grupie 49 rodzin średnie wydatki wyniosły 400 zł. Przyjąć współczynnik
ufności = 0,95.
2) Podać średni i maksymalny błąd szacunku oraz względną precyzję oszacowania.
3) Jak zmieni się precyzja szacunku przy wzroście współczynnika ufności do 0,99?
4) Jak liczna powinna być próba, aby przy 1- α =0,95 maksymalny błąd szacunku wyniósł 5 zł.
Zad. 3. Wybraną w sposób losowy grupę 17 rodzin 3-osobowych zbadano pod względem przeciętnych
wydatków na żywność na osobę. Otrzymano następujące wyniki: x =450 i S(x)=50.
Zakładając, że wydatki na żywność mają rozkład normalny:
1) oszacuj punktowo i przedziałowo nieznany poziom miesięcznych wydatków na żywność na osobę
przy współczynniku ufności 1- α =0,9.
2) Podaj średni i maksymalny błąd oszacowania oraz względną precyzję szacunku.
Zad. 4. W badaniach gospodarstw domowych w 2000 r. w pewnym mieście w próbie losowej
100 gospodarstw domowych pracowników ustalono, że średnie miesięczne wydatki (na osobę) na
usługi wyniosły 172 zł. z odchyleniem standardowym 25 zł. Wyznaczyć:
a) ocenę punktową średnich wydatków w populacji gospodarstw domowych pracowników.
b) przedział ufności dla średniej wydatków w populacji gospodarstw domowych pracowników.
Odp.: 172 zł, D(Tn)=2,5 zl V(Tn)=0,0145, dla 1-α=0,95 <167,1 zł ; 176,9 zł>
Zad. 5. Firma telefoniczna chce oszacować przeciętną długość rozmów międzymiastowych w czasie
weekendu. Z losowej próby 30 rozmów otrzymano średnią równą 14,5 minuty przy odchyleniu
standardowym równym 5,6 minuty. Wyznacz przedział ufności dla średniej długości rozmów
międzymiastowych w czasie weekendu dla współczynnik ufności równego 0,99. Odp. 11,68 < m < 17,32
Zad. 6. Menadżer pewnej popularnej restauracji zbadał wysokość 25 losowo wybranych rachunków
i stwierdził, iż średnio jeden klient wydał 35 zł z odchyleniem standardowym 6 zł.
1) Zbuduj przedział ufności dla nieznanej średniej wysokości rachunku w tej restauracji. Przyjmij
poziom ufności 0,9. 2) Jak zmieni się precyzja oszacowania, jeśli współczynnik ufności zwiększymy do
0,99? Odp. 1) 32,95 < < 37,05; 2) precyzja zmaleje o 63%.
Zad. 7. Roczne wydatki pewnej firmy na utrzymanie hali produkcyjnej mają rozkład normalny. Asystent
Głównego Analityka firmy dokonał estymacji przedziałowej średniej tych wydatków na podstawie
16 losowy wybranych wydatków poniesionych przez firmę w ostatnim roku. Odchylenie standardowe
z pobranej próby wyniosło 23,405 tys. PLN. Jaki współczynnik istotności przyjął Asystent, jeżeli uzyskał
przedział długości 30,450 tys. PLN? Odp. 0,98
Zadania 1-16 opracowane z wykorzystaniem materiałów dr Anity Abramowskiej-Kmon
Ćwiczenia nr 5
mgr Sylwia Timoszuk
Twierdzenia graniczne. Rozkłady statystyk z próby
Zad. 8. Na podstawie losowej próby 400 konsumentów odwiedzających pewien sklep AGD otrzymano
następujący przedział ufności dla średnich wydatków: <460; 500> zł, oszacowany z ufnością 0,98. Jak
liczna powinna być próba, aby maksymalny błąd szacunku nie przekroczył 15 zł? Odp. 711
Zad. 9. Waga paczki chrupek ma rozkład N(m, 2)g. W próbie 16 paczek łączna ich waga wyniosła 480 g.
a) Proszę oszacować przedziałowo średnią wagę paczki chrupek w populacji generalnej, przyjmując
współczynnik ufności 0,95. b) Ile paczek należy dolosować do próby, aby zwiększyć precyzję
oszacowania dwukrotnie? c) Proszę oszacować przedziałowo średnią wagę paczki chrupek, zakładając,
że nie znamy odchylenia standardowego w populacji generalnej zaś odchylenie standardowe z próby
wynosi 2,2 (współczynnik ufności 0,95).
Odp. a) 29,02 < < 30,98, b) należy zwiększyć o 48 sztuk, c) 28,88 < < 31,12
Zad. 10. W losowej próbie 600 baterii wykryto 48 wadliwych sztuk. Proszę oszacować procent
wadliwych baterii w populacji generalnej metodą punktową i przedziałową (przy współczynniku
ufności 0,95). Proszę ocenić dokładność estymacji punktowej i przedziałowej.
Zad. 11. W badaniu ankietowym zapytano 200 uczniów z jednego z warszawskich gimnazjów, czy
wykorzystują Internet do nauki. Okazało się, że odsetek wykorzystujących Internet w celach
dydaktycznych wyniósł 55%. Dokonać przedziałowej estymacji (1-α = 0,99) frakcji gimnazjalistów
korzystających z Internetu w celach edukacyjnych. Jaka jest precyzja tego oszacowania?
Odp.: <45,92%; 64,08%>, d = 9,08%
Zad. 12. Jak liczna powinna być próba, by oszacować odsetek pracowników, awansujących trzykrotnie
w karierze zawodowej z maksymalnym błędem 2%? Odp.: dla 0,9 otrzymuje się 1692 jednostek
Zad. 13. Oszacować przedziałowo frakcję konsumentów systematycznie dokonujących zakupów
w soboty jeśli w 1000-elementowej próbie losowej ustalono 30% frakcję tego typu konsumentów.
Ocenić jakość estymacji punktowej frakcji konsumentów systematycznie dokonujących zakupów
w soboty. Odp.: dla 0,95 <27,26% ; 32,74%>, D(Tn)=0,014 V(Tn)= 0,047
Zad. 14. Czuły instrument pomiarowy powinien mieć niewielką wariancję błędów pomiaru. W próbie
25 błędów pomiaru stwierdzono s 2 = 102 . Wyznacz przedział ufności dla wariancji błędów pomiaru.
Odp. 62,19 <
< 197,40(dla 1 − α = 0,95)
Zad. 15. Czas bezawaryjnego działania gofrownicy marki „No name” jest zmienną losową o rozkładzie
normalnym. Zbadano czas działania 12 gofrownic i otrzymano wartość odchylenia standardowego
równą 5 miesięcy. Oszacuj przedziałowo wartość wariancji w tym rozkładzie. Przyjmij poziom
ufności 0,90. Odp. 13,98 <
< 60,11
Zad. 16. Dane są trzy estymatory parametru p w rozkładzie dwumianowym i ich charakterystyki:
p
n
T1
E (T1 ) =
T2
E (T2 ) =
T3
E (T3 ) = p
1
π
p
D 2 (T1 ) =
2
p(1 − p)
n2
D 2 (T2 ) =
p(1 − p)
n
D 2 (T3 ) =
2
p(1 − p)
n
Biorąc pod uwagę trzy podstawowe własności estymatora: nieobciążoność, efektywność i zgodność,
określić własności proponowanych wyżej estymatorów. Który z estymatorów należy wybrać do
wnioskowania o wartości parametru p? Odp. Należy wybrać
Zadania 1-16 opracowane z wykorzystaniem materiałów dr Anity Abramowskiej-Kmon
Ćwiczenia nr 5
mgr Sylwia Timoszuk
Twierdzenia graniczne. Rozkłady statystyk z próby
I. Przedział ufnościa dla średniej
L.p.
Oznaczenia:
– średnia z populacji; – odchylenie standardowe z populacji;
– liczebność próby; ! – odchylenie standardowe z próby
Czy cecha w
populacji ma
rozkład normalny?
Czy znane jest ?
Czy
jest duże?
Przedział ufności dla średniej pokrywający z
prawdopodobieństwem 1 − parametr
̅−
< < ̅+
√
√
Rozkład t-Studenta:
!
!
̅− ,
< < ̅+ ,
√
√
ze stopniami swobody " = − 1
1.
2.
3.
̅−
4.
̅−
5.
II. Przedział ufności dla wariancji
#~%( ; ), gdzie , - znane
()*+),wówczas:
<
./;01/
-
<
()*+),-
.- /
/1 ;01/
-
III. Przedział ufności dla frakcji w rozkładzie dwumianowym
Uwaga: duże (> 100)
5
Z próby 3̂ = )
wówczas:
3̂ −
6
78(+*78)
< 3 < 3̂ +
6
78(+*78)
Zadania 1-16 opracowane z wykorzystaniem materiałów dr Anity Abramowskiej-Kmon
!
√
√
<
< ̅+
<
< ̅+
!
√
√