Seria 3. - zasady zachowania, praca

Seria 3. - zasady zachowania, praca
1. Na łodzi o masie M stoi człowiek o masie m. Człowiek idzie wzdłuż łódki i przechodzi
odległość l. O ile przesunie się łódka w przeciwną stronę? Siły oporu zaniedbać.
Odp.
ml
M +m
2. Wyznaczyć pracę wciągnięcia ciężaru po równi pochyłej, jeśli masa tego ciężaru wynosi m,
długość równi - s, kąt nachylenia do poziomu - α, współczynnik tarcia - f .
Odp. W = mgs(sin α + f cos α)
3. Mały wózek stacza się bez tarcia po pochyłym torze zakończonym kołową pętlą o promieniu
R. Z jakiej wysokości H, mierzonej od najwyższego punktu pętli, musi staczać się wózek,
aby nie oderwać się od pętli na całej jej długości.
Odp.: H = R/2
4. Kulka o masie m ześlizguje się bez tarcia po powierzchni kuli o promieniu R. W którym
miejscu i z jaką prędkością oderwie się od kuli?
Odp. cos α =
2
3
5. Na jaką wysokość liczoną od położenia równowagi wzniesie się wahadło o masie M , gdy
utkwi w nim pocisk o masie m lecący z prędkością v.
Odp. h =
m
m+M
2
v2
2g
6. Piłeczka pingpongowa po uderzeniu o podłogę traci 1/k części swojej energii kinetycznej.
Znaleźć całkowitą drogę, jaką przebędzie piłeczka zrzucona z wysokości h, aż do chwili
zatrzymania się. Współczynnik k > 1.
Odp. s = h(2k − 1)
7. Piłka spada z wysokości h na podłogę i odbija się od niej wielokrotnie. Jaką prędkość
początkową v0 należy nadać piłce, aby po n odbiciach wzniosła się na pierwotną wysokość,
jeżeli wiadomo, że przy każdym odbiciu piłka traci k-tą część swojej energii.
Odp. v0 =
p
2gh[(1 − 1/k)−n − 1]
8. Deska o masie m i długości l leży na granicy zetknięcia dwóch stołów, na stole pierwszym.
Jaką minimalną pracę należy wykonać, aby przesunąć ją ze stołu pierwszego na drugi, jeśli
współczynniki tarcia pomiędzy deską a stołem wynoszą f1 i f2 , odpowiednio dla pierwszego
i drugiego stołu.
Odp. Wmin =
mgl
2 (f1
+ f2 )
9. Na podłodze leży łańcuch o masie m i długości l. Jeden z jego końców podnosimy do
góry dopóki nie oderwie się od podłogi. Wyznaczyć minimalną wartość pracy jaką należy
wykonać, aby podnieść łańcuch z podłogi w polu grawitacyjnym Ziemi w przypadku gdy:
a) łańcuch jest jednorodny b) łańcuch jest niejednorodny
i jego masa m zależy od odległości
2
x od jednego z końców według wzoru m(x) = m0 xl
Odp. Wa =
mgl
2 ,
Wb =
m0 gl
3
10. Ciało zsuwa się po powierzchni nachylonej pod kątem α do poziomu. Współczynnik tarcia f
zależy od przebytej drogi przez ciało s i f (s) = bs, gdzie b jest dodatnim współczynnikiem.
Wyznaczyć drogę s1 przebytą przez ciało do momentu zatrzymania się oraz maksymalną
prędkość ciała na drodze s1 .
Odp. s1 =
2 tg α
b ,
vmax = sin α
q
g
b cos α
1
11. Łódź podwodna o masie m jest napędzana w taki sposób, że woda jest pobierana na dziobie
i wyrzucana przez rufę ze stałą prędkością u względem łodzi. Wydajność pompy jest stała
i wynosi µ = dmw /dt. W chwili t = 0 zostaje włączony napęd łodzi. Znaleźć zależność
prędkości łodzi od czasu: a) pomijamy opór wody b) opór wody wynosi −kv.
µt
Odp. a) v = u(1 − e− m ), b) v =
µu
µ+k (1
− e−
(µ+k)t
m
)
12. Ciało o masie M , na które działa siła F = a − bx (gdzie a i b to dodatnie stałe, a x
to położenie ciała), leży na doskonale gładkiej powierzchni w punkcie x0 = ab . W chwili
początkowej t = 0 w ciało uderza lecący równolegle do podłoża pocisk o masie m. Pocisk
przeszywa ciało na wylot, zmniejszając przy tym swoją prędkość o połowę. Jaka musi
być początkowa prędkość pocisku v0 , aby ciało uderzyło w murek położony w punkcie
xmur = 3 ab ?
q
Odp. v0 = 4
a2 M
bm2
13. Pocisk o masie m, lecący równolegle do podłoża, trafił w leżące na murku o wysokości h
ciało o masie M i utkwił w nim. Jaka była prędkość początkowa pocisku, jeżeli po zderzeniu
ciało wraz z pociskiem spadło w odległości d od murku? O ile zmieniła się energia układu
na skutek zderzenia?
Odp. v =
d(M +m)
m
q
g
2h ,
2g
+m)d
∆E = − M (M4hm
14. Na sznurku o długości l zawieszono ciało o masie m. Jaką minimalną prędkość początkową
należy nadać ciału, aby zatoczyło w powietrzu pełne koło?
√
Odp. v = 5gl
15. Pocisk uderza w klocek zawieszony na nierozciągliwej lince o długości l i przechodzi przez
niego na wylot, zmniejszając przy tym swoją prędkość o połowę. Jaka musi być początkowa
prędkość pocisku, aby klocek na lince zatoczył w powietrzu pełne koło? Stosunek masy
klocka do masy pocisku wynosi α.
√
Odp. v = 2α 5gl
16. Dwie kule zderzają się, po czym poruszają się wzdłuż jednej prostej. Jedna z kul przed
zderzeniem była w spoczynku, a druga poruszała się z prędkością v0 . Kula poruszająca
się ma masę trzykrotnie mniejszą od kuli spoczywającej. Wyznacz: a) prędkość kul po
zderzeniu idealnie sprężystym, b) prędkość kul po zderzeniu idealnie niesprężystym, c)
ubytek energii podczas zderzenia idealnie niesprężystego.
Odp. ua =
v0
2 ,
ub =
v0
4 ,
∆E = 43 E0
17. Cząstka o masie m1 i prędkości v1 zderza się doskonale sprężyście z inną cząstką o masie
m2 = 3m1 , znajdującą się w spoczynku (v2 = 0). Po zderzeniu cząstka o masie m2 porusza
się pod kątem Θ2 = 45o względem pierwotnego kierunku cząstki o masie m1 . Znajdź kąt
odchylenia Θ1 masy m1 oraz końcowe prędkości cząstek u1 i u2 .
√
1
v
Odp. u1 = 41 10v1 , u2 = 2√
2 1
18. Ciało o masie M spada z wysokości H. W połowie wysokości zostaje trafione poziomo
lecącym pociskiem, który wbija się w nie niesprężyście. Masa pocisku wynosi m, a jego
prędkość wynosi v. Obliczyć prędkość układu w momencie upadku na Ziemię.
Odp. vk =
r
m
m+M
2
v2 +
M
m+M
2
gH + gH
2
Zasada zachowania momentu pędu
19. Największa odległość planety od Słońca wynosi R1 a najmniejsza R2 . Ile wynosi moment
pędu planety? Masa Słońca M , masa planety m.
20. Największa odległość komety Halleya od Słońca h = 35, 4Rzs (Rzs - odległość pomiędzy
Ziemią i Słońcem ), a najmniejsza l = 0, 59Rzs . Ile wynosi prędkość komety, gdy jest
najbliżej Słońca, a ile gdy znajduje się w punkcie najbardziej odległym od Słońca?
21. Pręt o długości l i masie M leży na gładkiej powierzchni. W koniec pręta uderza prostopadle
do niego z prędkością v punkt o masie m. Pręt jest umocowany tak, że może się obracać
wokół osi prostopadłej do niego przechodzącej przez jego drugi koniec. a) zderzenie jest
doskonale sprężyste. Znaleźć prędkość punktu i prędkość kątową pręta po zderzeniu. b)
zderzenie jest niesprężyste. Znaleźć prędkość kątową układu po zderzeniu.
22. Na brzegu talerza o masie M i promieniu R obracającego się wokół osi prostopadłej i
przechodzącej przez jego środek, porusza się żuczek o masie m w kierunku ruchu wskazówek
zegara. Prędkość żuczka względem ziemi v. Talerz obraca się w kierunku przeciwnym do
ruchu wskazówek zegara z prędkością kątową ω. Jak zmieni się prędkość kątowa talerza,
jeśli żuczek w pewnej chwili zbliży się do środka talerza na odległość R/5, zmieni kierunek
swojej prędkości i zacznie poruszać się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara
z prędkością 3 razy większą?
23. Jaką pracę musi wykonać miotacz młotem, jeżeli po nabraniu prędkości kątowej ω, pragnie
ściągnąć do siebie młot z odległości r1 na odległość r2 od osi obrotu? Zakładamy, że cała
masa młota m skupiona jest w kuli znajdującej się na jego końcu.
r4
Odp. W = 21 mω 2 ( r12 − r12 )
2
3