(ELEMENTY LOGIKI I TEORII MNOGO„CI)

ELEMENTY LOGIKI I TEORII MNOGO CI
POJ CIA PIERWOTNE I AKSJOMATY
Jedynymi poj ciami, które w niniejszym skrypcie nie b d
(poprzez inne poj cia) s : zbiór, zdanie, warto
definiowane
logiczna zdania (prawda b d
fałsz), zdanie x∈
∈X (x jest elementem zbioru X).
S
to tak zwane poj cia pierwotne. Odwołujemy si
do ich intuicyjnego
rozumienia. Zapewne intuicja tworzy u ka dego z nas nieco inne obrazy wy ej
wymienionych poj
. Opisuj c np. zbiór powiadamy najcz
ciej, e jest to pewna
„mnogo ” zło ona z „elementów”. Zwró my uwag , e dokonuj c opisu takiego czy
innego ogólnego poj cia szukamy zazwyczaj jakiego odniesienia do otaczaj cej nas
rzeczywisto ci. I tak, je li przyjdzie nam opisa
co rozumiemy np. przez
„bohaterstwo” wywołujemy z pami ci kilka, czy kilkana cie czynów, które w
powszechnym odczuciu uwa ane s za bohaterskie i wybieramy ł cz ce je cechy. W
ten sposób powstaje bardziej czy mniej precyzyjny opis danego poj cia - opis a nie
definicja w rozumieniu niniejszego skryptu. Definicja bowiem rozumiana tu b dzie
jako całkowicie jednoznaczny i precyzyjny opis poj cia.
Wracaj c do poj cia zbioru - opisuj c je widzimy oczami wyobra ni np. jabłka
w koszu, li cie na drzewie (kosz mo e by pusty, drzewo całkowicie pozbawione
li ci) i st d zapewne powtarzaj ca si
w opisach zbioru u osób od wieku
przedszkolnego do pó nej staro ci: „mnogo ” zło ona z „elementów”.
Gdyby my przyj li tak
rozumiemy mnogo
wła nie definicj
zbioru, to znaczy przez zbiór
zło on z elementów, to powstaje pytanie co to jest mnogo ,
co to jest element i co oznacza termin „zło ona” ? Je eli wymienione poj cia
posiadaj swe definicje, to bazuj one na innych, „wcze niejszych” poj ciach, te z
kolei na jeszcze wcze niejszych itd. Gdzie musi by jednak pocz tek tego ła cucha
poj
. Ten pocz tek stanowi
musi poj cie, b d
poj cia, nie odwołuj ce si
do
wcze niejszych, czyli tak zwane poj cie pierwotne. Okazało si , e w matematyce
wygodnie jest przyj
wła nie zbiór jako poj cie pierwotne.
Podobnie rzecz si
ma ze zdaniem, dokładnie zdaniem w sensie logiki.
Wprawdzie w szkole redniej formułowana jest definicja zdania w sensie logiki, jako
takiej wypowiedzi, której mo na przyporz dkowa jedn (i tylko jedn ) z dwóch ocen:
prawdy b d fałszu, ale traktowa j trzeba jako udany opis poj cia zdania, a nie
jego
definicj .
Co
to
bowiem
oznacza
np.
„przyporz dkowa ”?
przyporz dkowaniem kojarzy si jedno z podstawowych poj
Z
matematyki, jakim jest
funkcja. Nie jest to poj cie pierwotne. Poznamy definicj funkcji, która odwoływa si
b dzie mi dzy innymi do takich poj
jak zbiór i wła nie zdanie, nie mo na wi c
definiowa zdania poprzez poj cia w których wyst puje „zdanie”. Okazuje si , e
wygodnie przyj
zdanie za poj cie pierwotne.
Przyjmujemy wi c (odwołuj c si
zbiór, co to jest zdanie i jego warto
wył cznie do intuicji), e wiemy co to jest
logiczna (prawda i fałsz) i co oznacza zdanie
x∈X (element x nale y do zbioru X). W przypadku tego ostatniego nie ma potrzeby
osobnego precyzowania, co rozumie si przez element i co to znaczy „nale y”. Jako
poj cie pierwotne przyjmuje si
tu cało
zdania x∈X, które mo e by
zdaniem
prawdziwym lub nie.
Przyjmujemy nast puj ce umowy.
Je eli p jest zdaniem prawdziwym, to piszemy w(p) = 1
Je eli p jest zdaniem fałszywym, to piszemy w(p) = 0.
Dla zdania p zachodzi dokładnie jedna z wykluczaj cych si mo liwo ci: albo
w(p) = 1, albo w(p) = 0.
Je eli w(x∈X) = 0, to piszemy x∉X i czytamy: „x nie jest elementem zbioru X”.
w(x∈X) = 1 czytamy: „x jest elementem zbioru X”.
Okazuje si ,
e zupełnie swobodne operowanie poj ciami pierwotnymi prowadzi
mo e do powstania tak zwanych paradoksów, czyli zda p dla których nie zachodzi
aden z warunków: w(p) = 1, w(p) = 0.
Jednym z bardziej znanych paradoksów jest poni szy.
Przyjmijmy, e istnieje zbiór X, którego elementami s
zbiory, które nie s
swymi
elementami.
Skoro X jest zbiorem, to X∈X jest zdaniem. Rozwa my przypadki:
( i ) w(X∈X) = 1
Wówczas X jest elementem zbioru X, wi c nie jest jego elementem W my l
powy szego okre lenia. Warunek (i) prowadzi, wi c do sprzeczno ci. Spodziewa
si nale y tego, e w(X∈X) = 0. Tymczasem w przypadku
( ii ) w(X∈X) = 0
X nie jest elementem zbioru X, wi c w my l jego okre lenia jest jego elementem. I tu
mamy wi c sprzeczno .
Skonstruowanie powy szego paradoksu było mo liwe dzi ki temu, e przyj li my i
zbiór X o którym wy ej, istnieje. Nie mo na wi c zupełnie swobodnie operowa
poj ciem zbioru. O istnieniu b d nieistnieniu zbiorów i o ich własno ciach wnioskuje
si na podstawie tak zwanej aksjomatyki Logiki i Teorii mnogo ci. S to własno ci
jakie narzucamy (jakich oczekujemy) od poj
pierwotnych. Poni ej podamy cz
wspomnianej Aksjomatyki Logiki i Teorii mnogo ci, wystarczaj c
do zrozumienia
tre ci niniejszego skryptu.
A1. Istnieje pewien zbiór.
A2. Istnieje pewne zdanie.
A3. Dla dowolnych zda p i q istniej
warto
zdania p ∧ q; p ∨ q; p
q; p ⇔ q; ~ q , których
logiczna zale y jedynie od warto ci logicznych zda
p i q w sposób
przedstawiony w poni szej tabelce:
Definicje →
p
1
1
0
0
alternatywa
koniunkcja
implikacja
1
1
1
0
1
0
0
0
1
0
1
1
q
1
0
1
0
p∨q
p∧q
p
q
równowa no
p⇔q
1
0
0
1
negacja
~q
0
1
A4. Zbiory X i Y uznajemy za równe (identyczne, X i Y to ten sam zbiór) je eli
w(x∈X⇔x∈Y) = 1.
A5. Dla dowolnych zbiorów A,B istnieje zbiór A∪B dla którego w(x∈A∨ x∈B) = 1.
Zbiór ten nazywamy sum zbiorów A i B.
Umawiamy si pisa A∪B≡{x: x∈A∨ x∈B}
A6. Dla dowolnych zbiorów A,B istnieje zbiór A∩B dla którego w(x∈A∧ x∈B) = 1.
Zbiór ten nazywamy iloczynem zbiorów A i B.
Umawiamy si pisa A∩B≡{x: x∈A∧ x∈B}.
A7. Dla dowolnych zbiorów A,B istnieje zbiór A\B dla którego w(x∈A ∧ x∉B) = 1.
Zbiór ten nazywamy ró nic zbiorów A i B.
Umawiamy si pisa A\B≡{x:x∈A∨ x∈B}
Podamy jeszcze dwa aksjomaty, ale w tym miejscu dobrze jest zauwa y , e
niektóre z wy ej wymienionych aksjomatów s
mo emy zdefiniowa
zb dne. Np. równowa no
zda
przy pomocy implikacji i koniunkcji. Nie ma wi c potrzeby
postulowania w aksjomacie A3 istnienia zdania p⇔q, bo jego istnienie wynika z
wcze niej przyj tych własno ci. Symbole: ∨, ∧,
, ⇔, ~ nazywamy funktorami
zdaniotwórczymi odpowiednio: alternatywy, koniunkcji, implikacji, równowa no ci i
negacji. Okazuje si , e w aksjomacie A3 wystarczy postulowa istnienie zdania p q
zale nego jedynie od warto ci logicznych zda p i q w nast puj cy sposób:
p
1
1
0
0
q
1
0
1
0
pq
0
0
0
1
Zdanie p q nazywamy dyzjunkcj zda p i q, za " " funktorem dyzjunkcji. Przy jego
pomocy
zdefiniowa
mo na
wcze niej
podane
funktory
(pozostawiam
to
czytelnikowi).
Zb dnym okazuje si te aksjomat postuluj cy istnienie iloczynu zbiorów Zbiór
ten mo na zdefiniowa przy pomocy aksjomatów A5 i A7 w nast puj cy sposób A∩B
≡ A\(A\B).
Powy sze
uwagi
maj
na
celu
zasygnalizowanie,
e
podawana
tu
aksjomatyka ma charakter jedynie informacyjny. W celu dokładnego zapoznania si z
zasygnalizowan problematyk odsyłam czytelników do podr czników specjalnie jej
po wi conej.
Zajmiemy si teraz konsekwencjami podanej aksjomatyki. Zauwa my, e dla
zdania p, którego istnienie jest konsekwencj A2 i o którym nie wiemy nawet czy jest
prawdziwe, czy nie istniej na podstawie tabelki z A3 zdania p∧~p oraz p∨~p, przy
czym:
p
1
0
p∧~p
0
0
p∨~p
1
1
Istnieje wi c zdanie prawdziwe p∨~p i zdanie fałszywe p∧~p.
Ze zda
"elementarnych" przy pomocy funktorów zdaniotwórczych i
ewentualnie nawiasów budowa mo emy bardzo zło one zdania. Np. dla zda p, q, r
istniej zdania:
[(p q)∨(r∧p)] {[p∧(q⇔r)]∨(~q)}
~(p∨q)⇔[(~p)∧(~q)]
(p∨q) [p∧(~q)]
Poni ej zbadamy warto ci logiczne dwóch ostatnich zda w zale no ci od warto ci
logicznych zda p i q. W tym celu budujemy tabelki:
Dla zdania (b) mamy:
p
q
1
1
0
0
1
0
1
0
p∨q ~(p∨q)
1
1
1
0
Wida , e warto
~p
~q
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
(~p)∧(~q) ~(p∨q)⇔[(~p)∧(~q)]
0
0
0
1
1
1
1
1
logiczna zdania: ~(p∨q)⇔[(~p)∧(~q)] jest niezale na od warto ci
logicznych tworz cych je zda p i q i e jest to zdanie prawdziwe.
Dla zdania (c) mamy:
p
1
1
0
0
Wida ,
e warto
q
1
0
1
0
p∨q
1
1
1
0
~q
0
1
0
1
p∧(~q)
0
1
0
0
(p∨q) [p∧(~q)
0
1
0
1
logiczna zdania: (p∨q) [p∧(~q)] zale y do warto ci logicznej
tworz cych je zda p i q. Jest to zdanie fałszywe np. gdy w(p) = 1 = w(q) i zdanie
prawdziwe np. gdy w(p) = 0 = w(q).
W dalszym ci gu litery symbolizuj ce zdania nazywa b dziemy zmiennymi
zdaniowymi a utworzone z nich przy pomocy funktorów zdaniotwórczych i
ewentualnie
nawiasów
zdania,
nazywa
b dziemy
schematami
zda .
Wyszczególnione wy ej zdania (a), (b) i (c) traktowa mo emy jako schematy zda w
których p,q,r s zmiennymi zdaniowymi (cho w (b) i (c) r nie wyst puje efektywnie).
Schematy zda , które staj si zdaniami prawdziwymi niezale nie od warto ci
logicznych jakie przyjmowa
mog
wyst puj ce w nich zmienne nazywamy
tautologiami (albo prawami rachunku zda ). Np. ~(p∨q)⇔[(~p)∧(~q)] jest tautologi .
Tautologie maj
w matematyce bardzo du e znaczenie. Pozwalaj
bowiem na
formułowanie bardzo ogólnych praw.
Aby sprawdzi
czy dany schemat jest tautologi
pierwszych kolumn stanowi
tworzymy tabelk
w n -
wyst puj ce w schemacie zmienne zdaniowe.
Wypisujemy w nich wszystkie mo liwe układy zer i jedynek symbolizuj ce warto ci
logiczne zmiennych zdaniowych. Tabelka ma tyle wierszy ile jest mo liwych
wszystkich takich układów. Z kombinatoryki wiadomo, e jest ich 2 n . Kolejne kolumny
tabelki stanowi "proste" schematy zda składaj cych si na dany schemat. Ostatni
kolumn
stanowi badany schemat. Tabelk
wypełniamy zgodnie z definicjami
funktorów zdaniotwórczych w oparciu o przyj te warto ci logiczne zmiennych
zdaniowych z pierwszych n - kolumn. Je eli w ostatniej kolumnie wyst pi
i nie jest ni
jedynki, to dany schemat jest tautologi
same
w przeciwnym wypadku Np.
definiujemy schemat zda zmiennych zadaniowych x, y, z jako:
S(x,y,z) ≡ [x (y z)] [(x y) (x z)]
x
y
z
y z
x (y z)
x y
x z
(x y) (x z)
S(x,y,z)
1
1
1
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Wida wi c, e sprawdzanie, czy dany schemat jest tautologi jest bardzo prost ,
wr cz mechaniczn czynno ci . W niniejszym skrypcie bardzo cz sto wykorzystywali
b dziemy poni sze tautologie:
1) ~(p∨q)⇔[(~p)∧(~q)]
← zaprzeczenie alternatywy
2) ~(p∧q)⇔[(~p)∨(~q)]
← zaprzeczenie koniunkcji
3) ~(p q) ⇔ [p∧(~q)]
← zaprzeczenie implikacji
4) [(p q)∧(q r)] (p r) ← przechodnio
5) p q ⇔ (~q)
(~p)
implikacji
← transpozycja (cz
Prawa algebry zbiorów
Niech A,B,C b d zbiorami. Wówczas:
(1) A∩(B∪C) = (A∩B) ∪ (A∩C)
sto wykorzystywana przy dowodzeniu twierdze
)
(2) A∪(B∩C) = (A∪B) ∩ (A∪C)
(3) A∩B ⊂ A ; A∩B ⊂ B
(4) A ⊂ A∪B ; B ⊂ A∪B
(5) Je eli A ⊂ X i B ⊂ X wówczas A ∩ B = X ⇔ A = X ∧ B = X.
(6) A = B ⇔ A⊂B ∧ B⊂A
Dowód
Ad. 1)
Zauwa my,
e zgodnie z definicj
sumy i iloczynu zbiorów zdanie x∈A∩(B∪C)
oznacza x∈A ∧ x∈ (B∪C) , to za x∈A ∧ (x∈B ∨ x∈C).
Natomiast zdanie x∈ (A∩B) ∪ (A∩C) oznacza (x∈A ∧x∈B) ∨ (x∈A ∧x∈C).
Niech p,q,r oznaczaj
odpowiednio zdania x∈A , x∈B , x∈C. We my pod uwag
schemat zda :
p∧(q∨r)⇔(p∧q)∨(p∧r). Łatwo sprawdzi , e jest on tautologi . Z faktu tego wynika
równo
1).
Analogicznie ( buduj c stosowne schematy zda
i sprawdzaj c, czy s
one
tautologiami) udowodni mo na pozostałe wymienione prawa.
Przyst pimy teraz do konstruowania w oparciu o poj cia pierwotne i dot d
sformułowan aksjomatyk logiki i teorii mnogo ci nowych zbiorów,
Dla zbioru X o którym mowa w A1 istnieje na podstawie A7 zbiór X\X.
Zauwa my, e w(x∈X\X) = 0, bo w(x∈X∧x∉X) = 0. Je eli dla pewnego zbioru A
mamy w(x∈A) =0, to na podstawie tabelki z A3 mamy w(x∈X\X⇔x∈A) = 1, wi c
zbiory X\X i A s wobec A4 identyczne.
Zbiór A dla którego w(x∈A) = 0 nazywamy zbiorem pustym i oznaczamy
symbolem ∅. Wobec powy szych rozwa a zbiór taki jest tylko jeden.
Definicja
Niech A i B b d zbiorami. Powiemy, e A jest podzbiorem zbioru B (A
zawarty jest w B) je eli prawdziwe jest zdanie x∈A x∈B. Piszemy wtedy A⊂B.
Mamy wi c A⊂B ≡ w(x∈A x∈B) = 1.
Twierdzenie 0.1
Dla dowolnego zbioru A mamy:
1) A⊂A
2) ∅⊂A.
Dowód
Zauwa my, e schemat S(x)≡ x x jest tautologi , bo
x
1
0
x x
1
1
Zatem w(x∈A x∈A) = 1, a to oznacza, e A⊂A.
Zauwa my dalej,
e skoro jak wiemy w(x∈∅)=0, to wobec definicji implikacji
w(x∈∅ x∈A)=1, co daje ∅⊂A.
Przyst pujemy teraz do sformułowania kolejnych aksjomatów logiki i teorii mnogo ci.
A8. Dla dowolnego zbioru X istnieje zbiór wszystkich jego podzbiorów.
Zbiór ten nazywamy zbiorem pot gowym zbioru X i oznaczamy symbolem 2X.
Zauwa my, e W my l twierdzenia 0.1 w(∅∈2∅)=1, czyli zbiór 2∅ nie jest pusty. O
takim mówimy,
e jest niepusty. Ogólnie, je eli dla pewnego zbioru A mamy
w(x∈A)=1, to mówimy, e zbiór A jest niepusty. Piszemy wtedy A≠∅ i mówimy, e x
jest elementem zbioru A.
W my l powy szej umowy stwierdzamy, e zbiór pusty jest elementem zbioru
2∅.
Zauwa my dalej, e
(1) w(2∅∈2∅)=0. [innymi słowy 2∅ nie jest podzbiorem zbioru ∅]
Istotnie, poniewa w(∅∈2∅)=1 oraz w(∅∈∅)=0, to w(∅∈2∅ ∅∈∅)=0.
∅
W my l A8 istnieje zbiór pot gowy zbioru 2∅ czyli zbiór 2 2 . Zauwa my,
∅
∅
∅
e
2∅∈ 2 2 , wi c wobec (1) 2∅≠ 2 2 , ale 2∅⊂ 2 2 . W ten sposób powstaje "ła cuch"
zbiorów o poni szych własno ciach:
∅
(2) ∅ ⊂ 2 ∅ ⊂ 2 2 ⊂ 2 2
∅
(2') ∅ ≠ 2 ∅ ≠ 2 2 ≠ 2 2
2∅
2∅
⊂ ...
≠ ...
Przypomnijmy, e na tym etapie budowania matematyki od podstaw nie wiemy
jeszcze co to jest np. zbiór liczb rzeczywistych, funkcja itd. Ła cuch zbiorów opisany
własno ciami (2) i (2') jest jak dot d jedynym "tworem" jaki udało si
nam
skonstruowa w oparciu o poj cia pierwotne i dot d podane aksjomaty. Zauwa my,
e wspomniany "ła cuch" ustawia wyst puj ce w nim zbiory w "naturalnym"
porz dku ("mniejszy" poprzedza "wi kszy"). Rzec by mo na, e ka dy ze zbiorów
"ła cucha" (z wyj tkiem ∅) posiada swój poprzednik (zbiór bezpo rednio
wyst puj cy przed nim) i ka dy posiada swój nast pnik (zbiór bezpo rednio
wyst puj cy po nim). S
to najistotniejsze cechy zbioru liczb naturalnych [ka da
liczba naturalna (z wyj tkiem 1) posiada swój poprzednik, czyli liczb
naturaln
bezpo rednio j poprzedzaj c i ka da (bez wyj tku) posiada swój nast pnik, czyli
liczb naturaln bezpo rednio po niej wyst puj c . Liczby naturalne nie został dot d
skonstruowane (nie podali my ich definicji). Wida jednak w jaki sposób mo emy to
uczyni .
Mianowicie
nazywaj c
elementy
ła cucha
∅
2 ∅ ,2 2 ,2 2
2∅
,...
liczbami
naturalnymi.
Celem wst pu do niniejszego skryptu nie jest budowanie matematyki od
podstaw
(odsyłam
czytelników
do
specjalnie
temu
celowi
po wi conemu
podr czników posiadaj cych w tytule "Podstawy Matematyki"), lecz jedynie
zasygnalizowanie problemu. Przyjmijmy wi c,
e skonstruowali my ju
nie tylko
same liczby naturalne, ale i ich zbiór. Przyjmujemy wi c, e wiemy co to jest zbiór
liczb naturalnych i przyjmujemy jego oznaczenie: N ≡ {1,2,3,4, ... }. Maj c do
dyspozycji zbiór N stosunkowo łatwo zdefiniowa zbiór liczb całkowitych Z i zbiór
liczb wymiernych W. Znacznie wi cej kłopotów napotykamy przy konstrukcji zbioru
liczb rzeczywistych R. Przyjmijmy jednak, e i tymi zbiorami dysponujemy.
Przed sformułowaniem kolejnego aksjomatu podamy definicj .
Definicja
Niech X b dzie dowolnym zbiorem. Wyra enie @(x) zawieraj ce zmienn x,
które staja si
zdaniem (prawdziwym lub fałszywym) gdy w miejsce zmiennej x
wstawimy dowolny element ze zbioru X, nazywamy funkcj
zdaniow , której
zakresem zmienno ci jest zbiór X. Piszemy @(x), x∈X.
Do
zawiła to definicja, dlatego zilustrujemy w czym rzecz na kilku przykładach.
Przykład 0.1
Niech @(x) ≡ 7x-13>5, x∈R.
@(x) jest funkcj
zdaniow , której zakresem zmienno ci jest zbiór R, bowiem
dowolne dwie liczby rzeczywiste mo emy z sob
porówna . Dla dowolnego
ustalonego a∈R jest albo w(7a-13>5)=1, albo w(7a-13>5)=0. Np. w(7.4-13>5)=1 oraz
w(7.1-13>5)=0. Tak wi c dla dowolnego a∈R , 7a-13>5 jest zdaniem.
Przykład 0.2
Niech @(x) ≡
x + 12
= x , x∈R.
x−3
@(x) nie jest funkcj
zdaniow , której zakresem zmienno ci jest zbiór R, bo dla
a=3∈R, @(3) nie jest zdaniem (z oczywistych powodów). Zauwa my jednak, e
@(x) ≡
x + 12
= x , x∈R\{3}.
x−3
jest funkcj zdaniow , której zakresem zmienno ci jest zbiór R\{3}.
Przykład 0.3
Niech A - b dzie zbiorem liter alfabetu łaci skiego oraz
@(x) ≡ x - jest samogłosk , x∈A.
@(x) jest funkcj
zdaniow , której zakresem zmienno ci jest zbiór A, bo dowolna
litera alfabetu jest albo samogłosk , albo ni nie jest (czyli jest spółgłosk ).
Przykład 0.4
Niech @(x) ≡ x2+7<0, x∈R.
@(x) jest funkcj zdaniow , której zakresem zmienno ci jest zbiór R, na tej samej
zasadzie jak w przykładzie 0.1. Dla ustalonego a∈R a2+7<0 jest zdaniem. Jest ono
niezale nie od a∈R fałszywe [w(a2+7<0)=0].
Przykład 0.5
Niech @(x) ≡ x2+7>0, x∈R.
@(x) jest funkcj zdaniow , której zakresem zmienno ci jest zbiór R, na tej samej
zasadzie jak w przykładzie 0.1. Dla ustalonego a∈R a2+7>0 jest zdaniem. Jest ono
niezale nie od a∈R prawdziwe [w(a2+7>0)=1].
Przyst pujemy do sformułowania kolejnego aksjomatu.
A9. Dla dowolnego zbioru X i funkcji zdaniowej @(x), której zakresem zmienno ci
jest zbiór X istnieje zbiór tych x elementów zbioru X, dla których @(x) jest zdaniem
prawdziwym.
Zbiór ten zapisujemy symbolicznie {x∈X: w(@(x))=1}.
Aksjomat A9 nazywamy aksjomatem podzbiorów.
Uwagi:
Niewykluczone, e zbiór o którym mowa w A9 jest pusty.
Do tej pory stwierdzenie, e zdanie a∈A jest prawdziwe notowali my jako w(a∈A)= 1
i
e jest ono fałszywe jako w(a∈A)=0. Było bardzo wygodne gdy operowali my
schematami zda . Od tej pory jednak, w celu uproszczenia zapisów pisz c:
a∈A - rozumie b dziemy, e w(a∈A)=1
a∉A - rozumie b dziemy, e w(a∈A)=0.
W zwi zku z t umow zbiór wyst puj cy w A9 zapisywa b dziemy w postaci
{x∈X: @(x) } - czyta : jest to zbiór tych elementów zbioru X, dla których spełniony
jest warunek @(x).
Na przykład odwołuj c si do przykładów od 0.1 do 0.5 na mocy A9 istniej poni sze
zbiory:
{x∈R:7x-13>5 } = (
{x∈R\3:
18
,∞)
7
x + 12
= x }= {-2, 6}
x−3
{x∈A: x- jest samogłosk } = {a, e, i, o, u, y}
{x∈R: x2+7<0 } = ∅
{x∈R: x2+7>0 } = R.
Twierdzenie 0.1 [ o sumie i iloczynie zbiorów]
Niech @(x), &(x) b d funkcjami zdaniowymi, których zakresem zmienno ci
jest zbiór X. Wówczas:
I) {x∈X: @(x)∨&(x) } = {x∈X: @(x) } ∪ {x∈X: &(x) }
II) {x∈X: @(x)∧&(x) } = {x∈X: @(x) } ∩ {x∈X: &(x) }
Dowód
Uwaga: w dalszej cz
zbiorów. Najcz
ci skryptu bardzo cz sto b dziemy dowodzili równo ci dwóch
ciej wykazywali b dziemy, e pierwszy z nich zawarty jest w drugim
i odwrotnie ( co wobec punktu 6 praw algebry zbiorów równowa ne jest ich
równo ci). Dowód poni szego twierdzenia stanowi mo e bardzo ogólny schemat
tego typu dowodów.
Ad (I).
Niech A ≡ {x∈X: @(x)∨&(x) } oraz B ≡ {x∈X: @(x) } i C ≡ {x∈X: &(x) }.
Niech y∈A. Oznacza to,
e w(@(y)∨&(y)) = 1, wi c wobec definicji alternatywy
mamy:
(1) w(@(y)) = 1∨ w(&(y)) = 1.
przyjmijmy, e np.
(2) w(@(y)) = 1.
mamy wi c y∈B i wykorzystuj c prawa algebry zbiorów mamy B ⊂ B∪C i w
konsekwencji
(3) y∈B∪C.
Pisz c na pocz tku dowodu "niech y∈A" przyj li my,
e w(y∈A) = 1. W (3)
uzyskali my w(y∈B∪C)=1. Poniewa implikacja p q nie jest zdaniem prawdziwym
jedynie w przypadku gdy w(p) = 1 i w(q) = 0 stwierdzamy, e wobec
w(y∈A) = 1 oraz w(y∈B∪C)=1 mamy
(4) w[(y∈A) (y∈B∪C)]=1
udowodnili my tym samym, e
(5) A ⊂ B∪C
Do analogicznego winisku dochodzimy przyjmuj c w (2) w(&(y)) = 1.
Uwaga: przeprowadzone wy ej rozumowanie skłania ku nast puj cej konkluzji. Aby
wykaza , e zbiór X zawarty jest w zbiorze Y wystarczy wykaza , e ka dy element
zbioru X jest elementem zbioru Y. Je eli zbiór X jest pusty, to nie ma
adnego
elementu, ale jak wiemy ∅⊂Y. Pisz c na pocz tku dowodu "niech y∈X rozumiemy,
e bierzemy oto pod uwag dowolny, lecz ustalony na czas rozumowania element
zbioru X ( to znaczy poza faktem, e y∈X o elemencie y niczego nie zakładamy). Nie
przejmujemy si
przy tym mo liwo ci
X = ∅ z wy ej wspomnianych powodów.
Wypisujemy nast pnie logiczne konsekwencje przynale no ci elementu y do zbioru
X. Je eli jedn z nich b dzie (a do tego zmierzamy) przynale no
elementu y do
zbioru Y, to mo emy stwierdzi , e X ⊂ Y.
W duchu powy szej uwagi przyst pujemy do dalszej cz
ci dowodu.
Niech teraz y∈B∪C. Oznacza to, e
(6) y∈B ∨ y∈C
Przyjmijmy, e np.
(7) y∈B
czyli
(8) w(@(y))=1
Wnioskujemy st d, e
(9) w(@(y)∨&(y)) = 1
a to oznacza, e
(10) y∈A
Udowodnili my wi c, e
(11) B∪C⊂A,
co razem z (5) daje tez .
Przyjmuj c w (7) y∈C dochodzimy do tego samego wniosku w zupełnie analogiczny
sposób.
Zupełnie analogicznie (nawet łatwiej, bo nie zachodzi potrzeba rozwa ania
pewnych przypadków) wykaza mo na (II) cz
tezy.
KWANTYFIKATORY
Definicja
Niech @(x) b dzie funkcj zdaniow , której zakresem zmienno ci jest
zbiór X. Na mocy aksjomatu A9 istnieje zbiór {x∈X: @(x) }.
Je eli {x∈X: @(x) } = X, to mówimy, e dla ka dego x nale
cego do X jest
∀
@(x) i piszemy x∈X @(x).
Je eli {x∈X: @(x) } ≠ ∅, to mówimy, e istnieje x nale
cy do X dla którego
∃
@(x) i piszemy x∈X @(x).
Mamy wi c
∀
x∈X
@(x) ≡ {x∈X: @(x) } = X
oraz
∃
x∈X
@(x) ≡ {x∈X: @(x) } ≠ ∅.
Symbole ∀, ∃ nazywamy kwantyfikatorami. Pierwszy z nich kwantyfikatorem
ogólnym, drugi kwantyfikatorem szczegółowym.
Przykłady zastosowania kwantyfikatorów.
Zdanie: istnieje liczba rzeczywista spełniaj ca równanie x2 - 1 = 0 zapisa mo emy
∃
nast puj co x∈R x2 - 1 = 0.
Zdanie: dla ka dej liczby rzeczywistej istnieje liczba naturalna od niej wi ksza
∀
∃
zapisa mo emy nast puj co: x∈R n∈N n>x.
Zauwa my,
e zdanie :
∃
∀
n∈N x∈R n>x ró ni ce si
od poprzedniego jedynie
kolejno ci kwantyfikatorów oznacza zupełnie co innego. Mianowicie powiada ono,
e istnieje taka liczba naturalna, która jest wi ksza od wszystkich liczb rzeczywistych.
Zdanie to w przeciwie stwie do poprzedniego jest oczywi cie fałszywe.
Wida wi c, e kolejno
wyst powania w zdaniu kwantyfikatorów ma istotne
znaczenie.
Prze led my jeszcze jeden przykład zastosowania kwantyfikatorów. We my pod
uwag zdania:
istnieje liczba rzeczywista b d ca jednocze nie mniejsza ni
9 i wi ksza ni
7.
∃
Mo emy zapisa je jako: x∈R (7<x ∧ x<9)
istnieje liczba rzeczywista b d ca mniejsza ni 9 i istnieje liczba rzeczywista wi ksza
∃
∃
ni 7. Mo emy zapisa je jako: x∈R 7<x ∧ x∈R x<9.
Zdania (a) i (b) s prawdziwe, wi c i zdanie:
∃
x∈R (7<x ∧ x<9)
∃
∃
x∈R 7<x ∧ x∈R x<9 jest prawdziwe.
We my pod uwag zdania:
istnieje liczba rzeczywista b d ca jednocze nie mniejsza ni
6 i wi ksza ni
7.
∃
Mo emy zapisa je jako: x∈R (7<x ∧ x<6)
istnieje liczba rzeczywista b d ca mniejsza ni 6 i istnieje liczba rzeczywista wi ksza
∃
∃
ni 7. Mo emy zapisa je jako: x∈R 7<x ∧ x∈R x<6.
Zdanie (d) jest prawdziwe a zdanie (c) jest fałszywe, wi c zdanie:
∃
∃
x∈R 7<x ∧ x∈R x<6
Z
powy szych
∃
x∈R (7<x ∧ x<6) jest fałszywe.
przykładów
wynika,
e
"rozdzielno
"
kwantyfikatorów
wzgl dem funktorów zdaniotwórczych nie jest spraw łatw .
Prawa rozdzielno ci kwantyfikatorów wzgl dem funktorów zdaniowórczych.
Niech &(x) i @(x) i $(x) b d funkcjami zdaniowymi, których zakresem zmienno ci
jest zbiór X. Przy czym $(x) nie zale y wówczas od elementów zbioru X. (Zamiast
$(x) piszemy wtedy $). Wówczas:
(1)
∀
∀
∀
x∈X [&(x)∧@(x)] ⇔ [ x∈X &(x) ∧ x∈X @(x)]
∃
∃
(2) x∈X [&(x)∨@(x)] ⇔ [ x∈X &(x) ∨
∀
∀
∀
(3) [ x∈X &(x) ∨ x∈X @(x)]
∃
(4) x∈X [&(x)∧@(x)]
(5)
∀
∀
(6)
∀
(7)
(8)
x∈X [&(x)
∀
∃
x∈X [&(x)
∃
x∈X @(x)]
x∈X [&(x)∨ @(x)]
∃
[ x∈X &(x) ∧
∃
x∈X @(x)]
∀
∀
∃
∃
x∈X @(x)].
@(x)]
[ x∈X (&(x)
@(x)]
[ x∈X (&(x)
x∈X [ $ ∨ @ (x)] ⇔ [ $ ∨
x∈X [ $ ∧ @ (x)] ⇔ [ $ ∧
∀
∀
x∈X @(x) ]
x∈X @(x) ]
∃
(9) x∈X [ $ ∨ @ (x)] ⇔ [ $ ∨ x∈X @(x) ]
(10)
∃
∃
x∈X [ $ ∧ @ (x)] ⇔ [ $ ∧ x∈X @(x) ]
x∈X @(x)]
(11)
(12)
∀
x∈X [ $
@ (x)] ⇔ [ $
∃
x∈X [ $
@ (x)] ⇔ [ $
∀
x∈X @(x) ]
∀
x∈X @(x) ]
Dowód
∀
Ad 1) x∈X [&(x)∧@(x)] ≡ {x∈X: &(x)∧@(x) } =X ≡(1)≡ {x∈X: &(x)} ∩ {x∈X: @(x) } = X
∀
∀
≡(2)≡ [{x∈X: &(x)} = X ∧ {x∈X: @(x)} = X ] ≡ [ x∈X &(x) ∧ x∈X @(x)].
- wynika z twierdzenia o iloczynie zbiorów, (2)- wynika z jednego z praw algebry
zbiorów.
∃
Ad. 4) [ x∈X [&(x)∧@(x)] ≡ {x∈X: &(x)∧@(x)} ≠ ∅ ≡ {x∈X: &(x)} ∩ {x∈X: @(x)} ≠∅
∅ ≠ {x∈X: &(x)}∩{x∈X: @(x)} ⊂ {x X: &(x)} ∧ ∅ ≠ {x∈X: &(x)}∩{x∈X: @(x)}
@(x)}
∃
{x∈X: &(x)} ≠∅ ∧ {x∈X: @(x)} ≠ ∅
Zauwa my przy tym,
[ x∈X &(x) ∧
{x∈X:
∃
x∈X @(x)].
e nie jest prawdziwa przeciwna implikacja. Niech
bowiem &(x)≡x>7 i @(x)≡x<7, dla x∈N. & i @ s oczywi cie funkcjami zdaniowymi,
których zakresem zmienno ci jest zbiór N. Poniewa
∃
3∈{x∈N: x<7} oraz
∃
8∈{x∈N:x>7}, wi c {x∈N:x>7}≠∅∧{x∈N:x<7}≠∅, czyli [ x∈N &(x)∧ x∈N @(x)].
∃
Zauwa my dalej, e {x∈N: x>7}∩{x∈N: x<7} = ∅, zatem ~[ x∈X [&(x)∧@(x)]].
Ad. 7) Rozwa my przypadki:
(i) $ jest zdaniem prawdziwym. Wówczas: zdanie $ ∨
∀
x∈X @(x) jest prawdziwe i
{x∈X:$} = X.
Zauwa my, e
{x∈X:$∨@(x)} = {x∈X: $ ∨ @(x)} = {x∈X: $ }∪{ x∈X:@(x)} =X∪{x∈X:@(x)} = X, czyli
zdanie
∃
x∈X [ $ ∨ @ (x)] te jest prawdziwe. W tym przypadku warto ci logiczne zda
s jednakowe.
(ii) $ jest zdaniem fałszywym. Wówczas {x∈X:$} = ∅ a warto
∀
∀
logiczna zda
[$ ∨ x∈X @ (x)] jest taka sama jak zdania x∈X @(x). Zauwa my, e
w (7)
(*)
{x∈X:$∨@(x)} = {x∈X: $ }∪{ x∈X:@(x)} =∅∪{x∈X:@(x)} = {x∈X:@(x)}
Zdanie
∀
x∈X
[ $ ∨ @ (x)] jest prawdziwe wtedy i tylko wtedy, gdy {x∈X:$∨@(x)} = X,
∀
co na mocy (*) równowa ne jest prawdziwo ci zdania x∈X @ (x). W efekcie i w tym
przypadku warto ci logiczne zda w (7) s jednakowe.
Podobnie udowodni mo na pozostałe z wymienionych praw.
RELACJE I FUNKCJE
Definicja
Niech A i B b d zbiorami niepustymi i niech a∈A i b∈B. Zbiór {{a},{a,b}} nazywamy
par uporz dkowan o poprzedniku a i nast pniku b i oznaczamy symbolem (a,b).
Tak wi c (a,b) ≡ {{a},{a,b}}.
Okazuje si ,
e dla dowolnych, niepustych zbiorów A i B istnieje zbiór
wszystkich par uporz dkowanych o poprzednikach ze zbioru A i nast pnikach ze
zbioru B. Zbiór ten nazywamy iloczynem kartezja skim zbiorów A i B i oznaczamy
symbolem A×B. Piszemy A×B = {(a,b): a∈A ∧ b∈B}. Je eli A = B to piszemy zamiast
AxA piszemy A2.
Iloczyn kartezja ski trzech zbiorów niepustych A,B,C definiujemy jako zbiór
Ax(BxC). Analogicznie definiujemy iloczyn kartezja ski dowolnej sko czonej ilo ci
zbiorów. Zamiast pisa Ax...xA piszemy An.
n −razy
Znanym nam ze Szkoły redniej przykładem iloczynu kartezja skiego jest zbiór RxR
czyli płaszczyzna.
Podamy
poni ej
twierdzenie
rozstrzygaj ce
problem
sygnalizowanej
wcze niej
kolejno ci
kwantyfikatorów. Mo emy to uczyni dopiero w tym miejscu, gdy niezb dnym do tego jest poj cie
iloczynu kartezja skiego zbiorów.
Twierdzenie (Prawa przestawiania kwantyfikatorów)
Niech @(x,y) b dzie funkcj
jest zbiór X×Y. Wówczas:
1)
∀
x∈X
∀
∀
∀
y∈Y @((x,y) ⇔ y∈Y x∈X @((x,y)
zdaniow , której zakresem zmienno ci
2)
∃
∃
∃
∃
x∈X y∈Y @(x,y) ⇔ y∈Y x∈X @(x,y)
3)
∀
∃
y∈Y @(x,y)
x∈X
∃
∀
x∈X
y∈Y @(x,y).
Dowód
Ad. 1)
∀
x∈X
∀
y∈Y @((x,y) ≡
∀
x∈X { y∈Y: @((x,y)} = Y ≡ {x∈X: { y∈Y: @((x,y)} = Y} = X.
Załó my, e zdanie
(1) {x∈X: { y∈Y: @((x,y)} = Y} = X - jest prawdziwe. (czyli ma miejsce ta równo
zbiorów).
Przypu
my, e
(2) {y∈Y: {x∈X: @(x,y)} = X} ≠ Y.
Oznacza to, e
∃
(3) z∈Y z∉{y∈Y: {x∈X: @(x,y)} = X},
czyli
∃
(4) t∈X t∉{x∈X: @(x,z)} , wi c
zdanie @(t,z) jest fałszywe.
Wobec (1) t∈{x∈X: { y∈Y: @(x,y)} = Y}, zatem { y∈Y: @((t,y)} = Y, ale wobec (3)
z∈Y\{ y∈Y: @((t,y)}. Uzyskana sprzeczno
jest konsekwencj przypuszczenia (2) i
dowodzi prawdziwo ci zdania {y∈Y: {x∈X: @(x,y)} = X} ≠ Y, czyli
∀
∀
(5) y∈Y x∈X @(x,y).
Je eli zdanie (1) jest fałszywe za
przypu cimy, e zdanie
(6) {y∈Y: {x∈X: @(x,y)} = X} = Y
jest prawdziwe, to w zupełnie analogiczny sposób uzyskamy sprzeczno
warto ci logiczne obu zda
w punkcie 1) twierdzenia s
jednakowe, co ko czy
dowód.
Ad. 3)
∃
∀
x∈X
y∈Y @(x,y) ≡ {x∈X:{y∈Y:@(x,y)} = Y} ≠∅.
Załó my, e zdanie {x∈X:{y∈Y:@(x,y)} = Y} ≠∅ jest prawdziwe. Niech
(1) t∈ {x∈X:{y∈Y:@(x,y)} = Y}.
Wówczas
(2) {y∈Y:@(t,y)} = Y.
. Zatem
Niech z∈Y. Wówczas wobec (1) @(t,z) jest zdaniem prawdziwym. W konsekwencji
t∈{x∈X:@(x,z)},
czyli
{x∈X:@(x,z)}≠∅
a
wi c
z∈{y∈Y:
{x∈X:@(x,y)}
≠∅}.
Udowodnili my, e Y ⊂ {y∈Y: {x∈X:@(x,y)} ≠∅}. Poniewa przeciwna inkluzja jest
oczywista mamy równo
Y = {y∈Y: {x∈X:@(x,y)} ≠∅}, czyli prawdziwo
zdania
∃
∀
x∈X
y∈Y @(x,y), co ko czy dowód implikacji 3).
Uwaga
Funktora implikacji w (3) nie mo emy zast pi
funktorem równowa no ci.
Niech bowiem @(x,y)≡ x+y=1 dla (x,y)∈RxR. Niech z∈R, wówczas
{x∈R: x+z = 1} ≠ ∅ , bo (1-z)∈ {x∈R: x+z = 1}.
Zatem {y∈R: {x∈X: x+y = 1}≠∅} = R, czyli prawdziwe jest zdanie
∀
∃
y∈R x∈R x+y = 1.
my, e równie zdanie
Przypu
∃
∀
x∈R y∈R x+y = 1≡ {x∈R:{y∈R: x+y = 1} = R}≠∅.
jest prawdziwe. Niech t∈{x∈R:{y∈R: x+y = 1} = R}. Wówczas {y∈R: t+y = 1} = R.
Poniewa
-t∈R wi c zdanie 0 = 1 jest prawdziwe. Uzyskane sprzeczno
jest
konsekwencj przypuszczenia, e zdanie (8) jest prawdziwe.
Definicja
Ka dy podzbiór @ iloczynu kartezja skiego A×B nazywamy relacj w tym
iloczynie.
Zamiast pisa
mówimy te
(a,b)∈@ piszemy a@b. W przypadku gdy @ jest relacj
w A× A
e @ jest relacj okre lon w zbiorze A.
Przykłady.
Zbiór @ ≡ { (x,y)∈RxR: x<y} jest relacj w zbiorze R. Geometrycznie jest to
zbiór punktów płaszczyzny le
cy ponad wykresem prostej o równaniu y=x.
Zbiór @ ≡ { (x,y)∈RxR: x2 + y2 = -7} jest relacj w zbiorze R przy czym @ = ∅.
Definicja
Relacj
je eli:
@ okre lon
w zbiorze A nazywamy relacj
równowa no ci
1)
2)
3)
∀
∀
∀
x ∈A
x@x (zwrotno
x,y∈A
x@y
)
y@x (symetria)
x,y,z∈A x@y ∧ y@z
x@z (przechodnio
).
Trywialnym wr cz przykładem relacji równowa no ci jest równo
elementów w
dowolnym zbiorze niepustym.
Definicja
Niech @ b dzie relacj równowa no ci w zbiorze X i niech a∈X. Zbiór [a]
≡ {x∈X: x@a} nazywamy klas
abstrakcji elementu a w relacji @. Element a∈X
nazywamy reprezentantem klasy abstrakcji [a].
Zauwa my, e wobec zwrotno ci relacji @ zawsze reprezentant danej klasy
abstrakcji jest jej elementem, czyli
∀
a∈X a∈[a].
Przykład
Niech H b dzie zbiorem liczb całkowitych podzielnych przez 3, czyli H ≡ {x∈Z:
∃
k∈Z x = 3k }. W zbiorze Z definiujemy relacj „@” nast puj co:
∀
x,y∈Z x@y ≡ x-y∈H.
Wyka emy, e „@” jest relacj równowa no ci w Z.
Niech x,y,z∈Z. Mamy:
1) x-x = 0 = 3.0 ∈ H, bo 0∈Z. Zatem x@x.
∃
∃
2) Je eli x@y, to x-y∈H, wi c k∈Z x-y = 3.k. Zatem k∈Z -x+y = 3.(-k), czyli y-x∈H,
bo -k∈Z. Tak wi c y@x.
∃
3) Je eli x@y ∧ y@z, to x-y∈H ∧ y-z∈H, wi c k,r∈Z x-y = 3.k ∧ y-z = 3.r. Mamy wi c
x-z = x-y+y-z = 3(k+r). St d x-z∈H, bo k+r∈Z. Tak wi c x@z.
Zajmiemy si teraz wyznaczeniem klas abstrakcji relacji @.
[0] = {x∈Z: x@0} = {x∈Z: x-0∈H} = {x∈Z: x∈H} = H
∃
∃
[1] = {x∈Z: x@1} = {x∈Z: x-1∈H} = {x∈Z: k∈Z x-1 = 3.k} = {x∈Z: k∈Z x = 3.k+1} -jest
to zbiór liczb całkowitych, które przy dzieleniu przez 3 daj reszt 1.
∃
∃
[2] = {x∈Z: x@2} = {x∈Z: x-2∈H} = {x∈Z: k∈Z x-2 = 3.k} = {x∈Z: k∈Z x = 3.k+2} -jest
to zbiór liczb całkowitych, które przy dzieleniu przez 3 daj reszt 2.
∃
∃
[3] = {x∈Z: x@3} = {x∈Z: x-3∈H} = {x∈Z: k∈Z x-3 = 3.k} = {x∈Z: k∈Z x = 3(k+1)} = =
H.
Z poni szego twierdzenia wywnioskujemy,
e znale li my w tym przykładzie
wszystkie ró ne mi dzy sob klasy abstrakcji danej relacji.
Zauwa my w tym miejscu, e [1]∪[2]∪[3] = Z
Twierdzenie (O rozł czno ci klas abstrakcji)
Klasy abstrakcji dowolnej relacji równowa no ci @ okre lonej w zbiorze
X s albo zbiorami rozł cznymi, albo identycznymi.
Dowód
Niech @ b dzie relacj równowa no ci w zbiorze X i niech a,b∈X. Je eli
[a] ∩ [b] ≠∅, to
(1)
∃
k∈X k∈[a] ∧ k∈[b].
St d
(2) k@a ∧ k@b
Wobec symetrii @ mamy te
(3) a@k ∧ b@k.
Niech x∈[a]. Wówczas
x@a
Z (2), (3) i (4) oraz z przechodnio ci relacji @ wnioskujemy, e x@b, czyli x∈[b].
Wykazali my wi c, e [a] ⊂ [b]. Analogicznie wykaza mo na przeciwn inkluzj .
Wniosek
Suma mnogo ciowa klas abstrakcji z poprzedniego przykładu dała cały zbiór
Z. W zwi zku z tym dowolna liczba całkowita a jest elementem dokładnie jednego ze
zbiorów [1], [2] lub [3]. Poniewa a∈[a], to wobec powy szego twierdzenia [a] = [1],
lub [a] = [2], lub [a] = [3].
Definicja
Relacj f okre lon w iloczynie D×P spełniaj c warunek:
∀
∃
∀
x∈D y∈P xfy ∧ z∈P (xfz
nazywamy funkcj
z=y)
(odwzorowaniem). Zbiór D nazywamy dziedzin
a zbiór P
przeciwdziedzin funkcji f.
Zapis: f:D→P, czytamy „ f jest funkcj
okre lon
na zbiorze D i o warto ciach w
zbiorze P”.
Zamiast pisa xfy b dziemy pisali f(x) = y.
Zbiór W≡{(x,y)∈D×P: y = f(x)} nazywamy wykresem funkcji f.
Uwaga
U yli my wy ej znaku "≡", którego u ywali b dziemy w przypadkach
definiowania pewnych obiektów np. zbioru (jak powy ej) b d funkcji.
Niech A⊂D i B⊂P. Zbiór
∃
f(A)≡{y∈P: x∈A y = f(x)}
nazywamy obrazem zbioru A (przy odwzorowaniu f).
W szczególno ci zbiór f(D) nazywamy obrazem funkcji f.
f-1(B)≡{x∈D: f(x)∈B} nazywamy przeciwobrazem zbioru B (przy odwzorowaniu f).
Oczywi cie f-1(P) = D.
Definicja
Funkcj f:D→P nazywamy:
∀
ró nowarto ciow gdy x,y∈D. x≠y
f(x)≠f(y).
schemat (a b)⇔(~b ~a) jest tautologi , to warunek (a) zapisa
Poniewa
mo emy nast puj co:
∀
(a’) ró nowarto ciow gdy x,y∈D. f(x) = f(y)
x = y.
surjekcj (odwzorowaniem „na”) gdy f(D) = P,
∀
∃
czyli gdy y∈P x∈D y = f(x). Piszemy wówczas f : D → P .
na
te
odwzorowaniem
wzajemnie
jednoznacznym
(
w
skrócie:
[wj])
gdy
f
jest
ró nowarto ciow surjekcj .
Piszemy wówczas f : D → P .
wj
Funkcj ró nowarto ciow nazywamy te injekcj za [wj] bijekcj .
Definicja
Niech ∅≠A⊂D i f:D→P. Funkcj g:A→P zdefiniowan jak nast puje
∀
x∈A g(x)≡f(x)
nazywamy funkcj zredukowan (obci t ) do zbioru A i oznaczmy przez f|A.
Definicja
Niech ∅≠D⊂R. Funkcj f:D→R nazywamy:
∀
rosn c (niemalej c ) je eli x,y∈D x<y
∀
malej c (nierosn c ) je eli x,y∈D x<y
Funkcje: rosn c , malej c , nierosn c
f(x)<f(y) ( f(x)≤f(y) )
f(x)>f(y) ( f(x)≥f(y) ).
lub niemalej c
nazywamy monotoniczn .
Funkcje rosn c lub malej c nazywamy ci le monotonicznymi.
Uwaga
Funkcje ci le monotoniczne s oczywi cie ró nowarto ciowe.
Definicja
Funkcje f:D→P i g:D→P nazywamy równymi je eli
∀
x∈D
f(x) = g(x).
Piszemy wtedy f = g.
Przykład 1.2
∀
Definiujemy funkcje f,g:R→R nast puj co: x∈R f(x)≡sin2x+cos2x ; g(x)≡1
x
∀
oraz funkcje h,k:R\{0}→R nast puj co: R\{0} h(x)≡ x ; k(x)≡x. Stwierdzamy, e f = g,
natomiast g ≠ h, bo dziedziny tych funkcji s ró ne oraz
h ≠ k, bo dla x=2∈R\{0} mamy h(2) = 1 ≠ 2 = k(2). Zauwa my jeszcze, e h|{1} = k|{1}.
Definicja
Niech g:D→P’ i f:D’→P i niech P’⊂D’. Funkcj f g:D→P zdefiniowan
nast puj co:
∀
x∈D (f g)(x)≡f(g(x)) nazywamy superpozycj (zło eniem) funkcji f i g.
Przykład 1.3
∀
Definiujemy f,g:R→R nast puj co: x∈R f(x)≡2x+3 i g(x)≡x2. Znale
fg i
g f.
Niech x∈R. Mamy (f g)(x) = f(g(x)) = f(x2) = 2x2+3, (g f)(x) = g(f(x)) = g(2x+3) =
4x2+12x+12.
Zauwa my, e f g ≠ g f, bo dla 1∈R mamy (f g)(1) = 5 ≠ 28 = (g f)(1).
Definicja
Niech f:D→P b dzie funkcj
ró nowarto ciow . Funkcj
f
-1
:f(D)→D
zdefiniowan nast puj co:
∀
-1
y∈f(D) f (y) = x ⇔ f(x) = y nazywamy funkcj odwrotn do funkcji f.
Uwaga
Dla dowolnej funkcji ró nowarto ciowej istnieje funkcja odwrotna, natomiast
funkcje nieró nowarto ciowe nie posiadaj
funkcji odwrotnej poniewa
w ich
∀
przypadku przyporz dkowanie: „ y∈f(D) f -1(y) = x ⇔ f(x) = y” nie jest jednoznaczne.
Definicja
Funkcj
idD:D
D okre lon
wzorem
∀
x∈D idD(x) ≡ x nazywamy
identyczno ciow . Jest ona oczywi cie ró nowarto ciow bijekcj .
Twierdzenie (własno ci funkcji odwrotnej)
Niech f:D→P b dzie funkcj ró nowarto ci . Wówczas:
1) f f -1 = idf-1(D)
czyli
2) f -1 f = idD
czyli
∀
∀
-1
-1
y∈f (D) f(f (y)) = y.
-1
x∈D f (f(x)) = x .
Łatwy dowód pozostawiamy czytelnikowi.
ZBIORY LICZBOWE
W rozdziale tym podamy podstawowe własno ci znanych ze Szkoły
redniej
zbiorów liczbowych uwypuklaj c te z nich, które w szkole z reguły były mało
eksponowane. Umówimy si te co do oznacze tych zbiorów.
ZBIÓR LICZB RZECZYWISTYCH R.
Przyjmujemy,
e znamy własno ci działa
(dodawanie, odejmowanie,
mno enie, dzielenie i pot gowanie) w tym zbiorze. Geometrycznie liczby rzeczywiste
uto samiamy z punktami na prostej.
Wszystkie ni ej podane zbiory b d podzbiorami zbioru R.
ZBIÓR LICZB NATURALNYCH N
Przyjmujemy, e N ≡ {1,2,3,4, ... }
Elementarne własno ci tego zbioru to np. suma i iloczyn dowolnych liczb naturalnych
s liczbami naturalnymi (ró nica i iloraz nie zawsze), dowolne dwie liczby naturalne
porówna
mo na przy pomocy relacji "≤", ka da liczba naturalna posiada swój
nast pnik i ka da z wyj tkiem 1 ma swój poprzednik .
W niniejszym skrypcie cz sto wykorzystywa b dziemy poni sze własno ci zbioru
liczb naturalnych N.
(n1) Ka dy niepusty podzbiór zbioru liczb naturalnych posiada element najmniejszy,
czyli
∀
∃
∀
A ∈ 2N \ {∅} n 0 ∈ A n ∈ N n 0 ≤ n
Element ten oznacza b dziemy symbolem minA i nazywa minimum zbioru A.
(n2) Zasada indukcji matematycznej.
Wykorzystuj c poj cie funkcji zdaniowej okre lonej na zbiorze N zasad
sformułowa mo na nast puj co:
t
Niech @(n) b dzie funkcj zdaniow , której zakresem zmienno ci jest zbiór
liczb naturalnych N.
Je eli:
(I) dla pewnego no∈N jest w(@(no)) = 1
(II)
∀
n∈N [n≥no ∧ w(@(n))=1]
w(@(n+1))=1,
to
∀
n∈N n>no
w(@(n))=1,
czyli { no, no+1, no+2, ... } ⊂ {n∈N: @(n) } .
W szczególno ci dla no = 1 mamy {n∈N: @(n) } = N.
Dowód
Przyjmijmy, e dla pewnego no∈N mamy
(1) w(@(no)) = 1
Niech A ≡ { no, no+1, no+2, ... } oraz B ≡ {n∈N: @(n) }.
Nale y wykaza , e A ⊂ B. Przypu
my, e tak nie jest. Mamy wówczas
∃
(2) m∈A m∉B
Oznacza to, e
∃
(3) m∈N m>no ∧ w(@(m)) = 0
[m>no a nie m ≥no na mocy (1)]
Niech C ≡ {n∈N: n>no ∧ w(@(n)) = 0}. Wobec (3) C ≠ ∅ [ bo m∈C] . Własno
(n1)
gwarantuje wi c istnienie minimum zbioru C. Niech k ≡ minC ∈ C. Wobec definicji
minimum zbioru mamy k - 1 ∉C i k - 1 ≥ no.
(4) k>no ∧ w(@(k)) = 0 ∧ w(@(k-1)) = 1
Wobec zało enia II. i (4) mamy
(5) w(@(k-1+1)) = w(@(k)) = 1
co przeczy (4). Uzyskana sprzeczno
jest konsekwencj przypuszczenia (2). Mamy
wi c A ⊂ B.
Na koniec zauwa my jeszcze, e dla no=1 mamy
A ≡ { no, no+1, no+2, ... } = { 1, 2, 3 ... } = N. Poniewa B ≡ {n∈N: @(n) }⊂N i jak
wykazali my A ⊂ B, zatem {n∈N: @(n) } = N.
Ta ostatnia równo
oznacza,
prawdziwym dla dowolnego n∈N.
∀
e " n∈N @(n) " ,
wi c @(n) jest zdaniem
Zilustrujemy teraz powy sz zasad dwoma przykładami.
Przykład 1
Wykaza , e dla dowolnego n∈N liczba w postaci 6n-1 jest podzielna przez 5.
Aby skorzysta
z zasady indukcji nale y najpierw zdefiniowa
funkcj
zdaniow ,
której zakresem zmienno ci jest zbiór N. Zastanówmy si najpierw co to znaczy, e
liczba całkowita podzielna jest przez 5. Po chwili refleksji odpowiemy z pewno ci , e
to taka liczba, która jest całkowit wielokrotno ci liczby 5, czyli istnieje taka liczba
całkowita k, e 6n-1=5k.
W tym przypadku definiujemy wi c
∃
@(n) ≡ k∈Z 6n-1 = 5k , n∈N.
Sprawdzamy teraz zgodnie z zasad
indukcji prawdziwo
zdania @(no) dla
pewnego no∈N. Oczywi cie sprawdzanie to rozpoczynamy od no=1 [
niepowodzenia, to znaczy gdy @(1) jest zdaniem fałszywym, sprawdzamy prawdziwo
w przypadku
@(n) dla kolejnych liczb
naturalnych. Kiedy poszukiwania staj si zbyt długie zaczynamy zastanawia si , czy w ogóle taka liczba istnieje
]
Mamy
I. 61-1 = 5 = 5.1 ∧ 1∈Z
Zatem w(@(1)) = 1.
II. Niech n∈N. Zakładamy, e
∃
(zał) n≥1 ∧ k∈Z 6n-1 = 5k [czyli n≥no=1 ∧ w(@(n))=1] ← tak zwane zało enie indukcyjne
nale y wykaza , e
∃
(teza) r∈Z 6n+1-1 = 5r [czyli w(@(n+1))=1] ← tak zwana teza indukcyjna.
Przyst pujemy do dowodu tezy indukcyjnej, czyli wskazania takiej całkowitej liczby r
∃
dla której 6n+1-1 = 5r, wiedz c e ≥1 ∧ k∈Z 6n-1 = 5k. Mamy
6n+1-1 = 6. 6n-1 = 6.6n-1-5+5 = 6. (6n-1) + 5 = (zał) = 6.5k + 5 = 5(6k+1) ∧ r ≡ 6k+1∈Z
Udało
si .
Wskazali my
inteligentnych przekształce
(wykorzystuj c
zało enie
rachunkowych) liczb
liczb całkowitych jest liczb całkowit ) tak , e 6
n+1
indukcyjne
r całkowit
-1 = 5r.
i
dokonuj c
(bo iloczyn i suma
Zasada indukcji matematycznej pozwala wnioskowa , e dla dowolnego n∈N
liczba w postaci 6n-1 jest podzielna przez 5.
Przykład 2
Dla jakich liczb naturalnych prawdziwa jest nierówno
: 2n-1 > n2.
Definiujemy funkcj zdaniow
@(n) ≡ 2n-1 > n2
, n∈N.
Autor sprawdził, e dla liczb 1,2,3,4,5,6 w(@(n)) = 0, czyli nierówno
2n-1 > n2 jest
fałszywa. (Sprawd cie Pa stwo autora, czy si nie pomylił). Zauwa my, e dla no =
7∈N mamy
I. 27-1 = 26 = 64 > 49 = 72, czyli w(@(7)) = 1.
II. Niech n∈N i n≥7. Zakładamy, e
(zał) 2n-1 > n2
Twierdzimy, e
(teza) 2n > (n+1)2
Mamy
2n = 2. 2n-1> (zał) >2.n2 = n2+ n2 = n2 + n.n >(n≥7>3)> n2 + 3.n = n2 + 2.n + n>(n≥7>1)>
> n2 + 2.n + 1 = (n+1)2
Tak wi c 2n > (n+1)2. Z zasady indukcji matematycznej wnioskujemy wi c, e
nierówno
2n-1 > n2 jest prawdziwa w zbiorze {7,8,9, ... }. Poniewa sprawdzili my,
e w zbiorze {1,2,3,4,5,6} nie jest ona prawdziwa mo emy zapisa
∀
n∈N 2
n-1
> n2 ⇔ n≥7.
Zbiór liczb przeciwnych do naturalnych NDefiniujemy N- ≡ {-1,-2,-3,-4, ... }.
Jest to zbiór "symetryczny" do zbioru liczb naturalnych, wi c i jego własno ci s
"symetryczne". Np. ka dy niepusty podzbiór zbioru N- ma element najwi kszy itd.
ZBIÓR LICZB CAŁKOWITYCH Z.
Definiujemy Z ≡ N- ∪ {0} ∪ N = { ... -3,-2,-1,0,1,2,3, ... }.
Elementarne własno ci tego zbioru, to np. suma, ró nica i iloczyn dowolnych liczb
całkowitych s liczbami całkowitymi (o ilorazie z racji 0∈Z nie zawsze mo na mówi ).
Zbiór ten nie ma własno ci zwi zanej ani z najwi kszym ani z najmniejszym
elementem niepustego jego podzbioru. W zwi zku z tym w zbiorze Z nie obowi zuje
zasada indukcji matematycznej, której dowód ,jak wiemy bazuje na istnieniu
elementu najmniejszego w ka dym niepustym podzbiorze N. W zbiorze Z ka dy (bez
wyj tku) element posiada zarówno swój poprzednik jak i nast pnik. Podobnie jak we
wcze niej opisanych zbiorach ka de dwie liczby całkowite mo emy z sob porówna
przy pomocy relacji "≤".
W niniejszym skrypcie cz sto wykorzystywali b dziemy znan
własno
dzielenia liczb całkowitych z reszt . Własno
ze Szkoły
redniej
t zapiszemy poni ej rzadko
u ywanej w szkole. Mianowicie:
(DZR)
∀
∀
∃
.
m∈Z n∈Z\{0} c,r∈Z m = c n + r
∧ 0 ≤ r < n.
ZBIÓR LICZB WYMIERNYCH W.
∃
∃
Definiujemy W ≡ {x∈R: g∈Z d∈N x =
Istotn
cech
ró ni c
g
}
d
ten zbiór od wcze niej opisanych jest to, e adna liczba
wymierna nie posiada ani swego nast pnika ani poprzednika. Co wi cej mi dzy
ka dymi dwiema ró nymi liczbami wymiernymi znale
mo na pewn
liczb
wymiern (np. ich redni arytmetyczn ).
ZBIÓR LICZB NIEWYMIERNYCH IW.
Definiujemy IW ≡ R\W.
Wiadomo ze szkoły
redniej,
e np.
2 nie da si
przedstawi
ułamka o liczniku całkowitym i naturalnym mianowniku. Zatem
w postaci
2 ∈IW. Okazuje si ,
e liczb niewymiernych jest w pewnym sensie nawet wi cej ni wymiernych. Tym
jednak w niniejszym skrypcie zajmowa si nie b dziemy.
Zauwa my e: N ⊂ Z ⊂ W ⊂ R.
Skonstruujemy teraz zbiór jeszcze obszerniejszy ni wszystkie dot d podane. Nie
b dziemy odwoływali si
tu do własno ci tego zbioru wyniesionych ze Szkoły
redniej, bo z reguły o zbiorze tym w szkołach rednich nie wspomina si nawet.
Dlatego te omówieniu tego zbioru po wi cimy osobny rozdział.
ZBIÓR LICZB ZESPOLONYCH C.
Iloczyn kartezja ski RxR nazywa
oznacza i liter
b dziemy zbiorem liczb zespolonych
C. Elementy zbioru C, tak zwane liczby zespolone identyfikowa
mo emy wi c z punktami płaszczyzny RxR.
Niech z∈C = RxR. Z definicji iloczynu kartezja skiego zbiorów wynika,
e z jest
uporz dkowan par punktów (x,y), przy czym x,y∈R. Zatem
z = (x,y)
Na oznaczenie powy szej uporz dkowanej pary liczb rzeczywistych u ywa
b dziemy innego symbolu mianowicie x + iy, czyli
(PK)
z= (x,y) ≡ x + iy.
U yte wy ej symbole "+" oraz "i" słu
maj
jedynie do innego zapisu pary (x,y) w i nie
adnego innego znaczenia. W szczególno ci "+" nie oznacza tu
adnego
dodawania, "i" nie jest wielo ci mog c przyjmowa ró ne warto ci, to po prostu
symbole.
Przedstawienie liczby zespolonej z = x + iy nosi nazw postaci kartezja skiej liczby
zespolonej.
Liczb rzeczywist x nazywamy cz
ci rzeczywist liczby zespolonej
z =x+iy i oznaczamy j symbolem re(z).
Liczb
rzeczywist
y nazywamy cz
ci
urojon
liczby zespolonej z =x+iy i
oznaczamy j symbolem im(z).
W zwi zku z tymi umowami i przyj tymi oznaczeniami zapisa mo emy:
z= (x,y) ≡ x + iy = re(z) + i(im(z))
Dwie liczby zespolone jako elementy iloczynu kartezja skiego s (jak wiemy) równe
wtedy i tylko wtedy gdy ich poprzedniki i nast pniki s równe. Wyra aj c t własno
w dopiero co przyj tej terminologii powiedzie mo emy, e dwie liczby zespolone s
równe wtedy i tylko wtedy, gdy maj te same cz
ci rzeczywiste i te same urojone.
Przyjmujemy nast puj ce umowy co do zapisu liczby zespolonej:
x + iy ≡ iy + x ≡ x + yi
cz
urojona liczby zespolonej to ta liczba rzeczywista, która "stoi przy i" w
odró nieniu od jej cz
ci rzeczywistej.
1) x + i(-y) ≡ x - iy ≡ -iy + x
2) 0 + iy ≡ iy
3) x + i1 ≡ x + i
4) x + i0 ≡ x
W zwi zku z t ostatni umow liczby zespolone o cz
ci urojonej równej zeru
identyfikowa mo emy z liczbami rzeczywistymi. W konsekwencji R ⊂ C.
Jeszcze inaczej. Liczby rzeczywiste traktowa mo emy jako liczby zespolone
o cz
ci urojonej równej zeru.
Uwaga: R ⊂ C na mocy poczynionej przez nas umowy, poniewa formalnie rzecz
bior c R nie jest podzbiorem RxR = C.
W zbiorze C wprowadzimy teraz działania arytmetyczne, które oka
si
by
uogólnieniem działa arytmetycznych znanych ze zbioru liczb rzeczywistych R.
Niech z = x +iy ∈C oraz s = a +ib ∈C.
Definiujemy:
[suma] z + s = (x +iy)+(a +ib) ≡ (x + a) + (y + b)i
Tak wi c przez sum
liczb zespolonych rozumiemy liczb
rzeczywista jest sum cz
cz
zespolon
ci rzeczywistych dodawanych liczb i cz
której cz
urojona sum
ci urojonych dodawanych liczb. Takie przyporz dkowanie jest oczywi cie
jednoznaczne, okre lili my wi c funkcj "+":CxC→C.
Operacj znajdowania sumy dwóch liczb zespolonych nazywamy dodawaniem liczb
zespolonych.
Wprost z powy szej definicji wynika poni sza własno
(WS) re(z+s) = re(z) + re(s) ∧ im(z+s) = im(z) + im(s)
Zauwa my,
e dodawanie liczb zespolonych jest przemienne (co wynika
bezpo rednio z przemienno ci dodawania liczb rzeczywistych i definicji [suma].
Zauwa my te , e dodawanie liczb zespolonych, których cz
ci urojone s zerami
sprowadza si (w my l przyj tych umów) do dodawania liczb rzeczywistych.
Uwaga: wzór [suma] jest wprawdzie bardzo czytelny, zwró my jednak uwag , e
wyst puj cy tam symbol "+" oznacza trzy ró ne rzeczy. Mianowicie "+" po lewej
stronie tego wzoru jest symbolem definiowanego wła nie dodawania liczb
zespolonych. Symbole "+" wyst puj ce tam po prawej stronie w nawiasach
oznaczaj
dodawanie liczb rzeczywistych. Symbol "+" umieszczony pomi dzy
nawiasami po prawej stronie omawianego wzoru jest jedynie symbolem postaci
kartezja skiej liczby zespolonej.
Okazuje si , e oznaczanie tym samym symbolem trzech ró nych rzeczy nie
tylko nie prowadzi do nieporozumie , ale jest nawet bardzo wygodne.
[ró nica] z - s = (x +iy)-(a +ib) ≡ (x - a) + (y - b)i
Analogicznie jak zdefiniowan wy ej sum skomentowa mo na zdefiniowan
wła nie ró nic liczb zespolonych. Natychmiast te otrzymujemy:
(WR) re(z-s) = re(z) - re(s) ∧ im(z-s) = im(z) - im(s)
Prosz
sformułowa teraz uwag
analogiczn
do tej jak
umie cili my po definicji
sumy. Zauwa my jeszcze, e "-":CxC→C jest funkcj .
Operacj
znajdowania ró nicy dwóch liczb zespolonych nazywamy odejmowaniem
liczb zespolonych.
Zauwa my, e odejmowanie nie jest ani przemienne ani ł czne.
[iloczyn] z.s = (x +iy).(a +ib) ≡ (ax - by) + (ay + bx)i
Definicja iloczynu liczb zespolonych jest o wiele bardziej zło ona ni
dwie
poprzednie, poniewa jak wida zale no ci opisuj ce cz
rzeczywist
iloczynu s zło one. Nie obowi zuje jak wida łatwa zale no
podobna do (WS) czy
(WR). Zauwa my, e ".":CxC→C jest funkcj .
i urojon
Operacj
znajdowania iloczynu dwóch liczb zespolonych nazywamy mno eniem
liczb zespolonych.
Zauwa amy (po chwili refleksji), e mno enie liczb zespolonych jest przemienne (co
wynika z przemienno ci mno enia liczb rzeczywistych po uwa nym przyjrzeniu si
definicji iloczynu liczb zespolonych). Nawet bardzo uwa ne obejrzenie zale no ci
[iloczyn] nie skłania nas do stwierdzenia, e jest mno enie liczb zespolonych jest
ł cze. Tak jednak okazuje si by o czym przekonamy si w dalszej cz
ci skryptu.
Zdefiniujemy teraz naturaln pot g liczby zespolonej.
[pot ga] z1 ≡ z
∀
n
. n-1
n∈N\{1} z ≡ z z
Zauwa my, e w my l tej definicji otrzymujemy
z2 = z.z1 = z.z ; z3 = z.z2 = z.z.z; z4 = z.z3 = z.z.z.z i ogólnie z n = z ⋅ ... ⋅ z .
n −razy
Powy sza obserwacja prowadzi do natychmiastowego wniosku:
∀
m,n∈N z
m+n
=z
m
+ zn
Zauwa my teraz, e
(*) i2 = (0+1i).(0+1i) = (0.0 - 1.1) + (0.1 - 1.0)i = -1 + 0i = -1.
Powy sza zale no
pozwala stworzy
bardzo łatwy do spami tania algorytm
mno enia liczb zespolonych. Zauwa my mianowicie, e mno
c ni ej przedstawione
liczby zespolone tak jak wielomiany (to znaczy "ka dy" czynnik przez "ka dy" i
traktuj c "i" jak pewn liczb ) otrzymujemy:
(x +iy).(a +ib) = ax +xbi + ayi + byi2 = (ax - by) + (bx + ay)i.
W praktyce tak wła nie mno ymy liczby zespolone pami taj c jednak o tym, e to
tylko algorytm mno enia liczb zespolonych a nie definicja.
Zdefiniujemy teraz odwrotno
Wówczas liczby x, y nie mog
liczby zespolonej, Niech z = x + iy∈C\{0}.
by jednocze nie zerami, bo zgodnie z umowami
odno nie zapisu liczby zespolonej z = 0 + 0i = 0 ∉ C\{0}. Tak wi c
x2 + y2 > 0.
Definiujemy
[odwrotno
]
1
1
x
y
=
≡ 2
− 2
i
2
z x + iy x + y
x + y2
Zauwa my, e wykorzystuj c zale no
(*) i traktuj c x+iy jak liczb rzeczywist (a
wi c z pewnym przymru eniem oka) mamy
1
1
1
x − iy
x − iy
x
y
=
⋅1 =
⋅
= 2
= 2
− 2
i
2 2
2
z x + iy
x + iy x − iy x − y i
x +y
x + y2
Jest to algorytm znajdowania odwrotno ci liczby zespolonej. Zamiast pami ta
do
zło ony wzór [odwrotno
] post pujemy nieformalnie zapisuj c jak wy ej liczb
1, korzystamy ze wzoru skróconego mno enia udaj c, e nie pami tamy co to jest "i"
działamy dalej jak w przypadku funkcji wymiernych.
Podamy poni ej definicj ilorazu liczb zespolonych. Niech z = x +iy ∈C oraz
s = a +ib ∈C\{0}. Definiujemy
[iloraz]
z
1
≡ z⋅
s
s
Operacj
znajdowania ilorazu liczb zespolonych nazywamy dzieleniem liczb
zespolonych. Łatwo spostrzec, e iloraz jest funkcj
:CxC\{0}→C. Do znajdowania
ilorazu liczb zespolonych stosujemy jednoczenie algorytmy znajdowania iloczynu i
odwrotno ci liczby zespolonej.
Przykłady
Niech z = 2 - 5i oraz s = 4 + 3i. Mamy
z + s = 6 - 2i;
z - s = -2 - 8i;
3z + 2s = 3(2 - 5i) + 2(4 + 3i) = 14 - 9i
z.s = (2 - 5i) .(4 + 3i) = 8 + 6i - 20i - 15i2 = 23 - 14i.
z2 = (2 - 5i)2 = 4 -20i -25 = -21 - 20 i
1
1
1
1 2 + 5i
2 + 5i
2
5
=
=
⋅1 =
⋅
=
=
+
i
2
z 2 − 5i 2 − 5i
2 − 5i 2 + 5i 4 − 25i
29 29
z 2 − 5i 2 − 5i
2 − 5i 4 − 3i 8 − 6i − 20i − 15i 2 23 − 26i 23 26
=
=
=
⋅1 =
⋅
=
=
+
i
s 4 + 3i 4 + 3i
4 + 3i 4 − 3i
25
25 25
16 − 9i 2
Własno ci działa arytmetycznych w zbiorze liczb zespolonych.
Niech z,s,t∈C. Wówczas:
← przemienno
1. z+s = s+z
dodawania
2. z.s = s.z
← przemienno
3. (z+s)+t = z+(s+t)
← ł czno
dodawania
4. (z.s) .t = z. (s.t)
← ł czno
mno enia
5. z.(s+t) = z.s + z.t
← rozdzielno
mno enia
mno enia wzgl dem dodawania
6. 0 + z = 0
← mówimy, e 0∈C jest elementem neutralnym dodawania
7. 1.z = z
← mówimy, e 1∈C jest elementem neutralnym mno enia
Dowody powy szych własno ci (wł cznie z czwart i pi t ) s albo oczywiste i
wynikaj wprost z definicji działa , albo nietrudne (cho do
mudne) w oparciu o
poznane algorytmy. Pozostawiamy je czytelnikowi.
Twierdzenie
A) ∀
z ∈C
B) ∀
z∈C\{0}
-1z + z = 0
z⋅
1
=1
z
Dowód
Niech z = x +iy ∈C.
Zauwa my, e -1z + z = (-x - iy) + (x +iy) = 0 + 0i =0.
Przyjmijmy teraz, e z = x +iy ∈C\{0}. Istnieje wówczas jak wiemy
1
∈C i
z
bezpo rednio z definicji iloczynu i odwrotno ci liczby zespolonej (nie wspomagaj c
si wypracowanymi algorytmami - eby pokaza , e i tak mo na) otrzymujemy:
z⋅
1
1
x
y
= ( x + iy ) ⋅
= ( x + iy ) ⋅ ( 2
− 2
i) =
2
z
x + iy
x +y
x + y2
=(
y2
xy
− xy
x2
+
)+( 2
+ 2
)i = 1 + 0i = 1
2
2
2
2
2
x +y
x +y
x +y
x + y2
∀
Umowa: z∈C -1.z ≡ -z.
Definicja
Niech z∈C. Element -z∈C nazywamy odwrotnym (czasami przeciwnym)
do elementu z wzgl dem dodawania.
Niech z∈C\{0}. Element
1
∈C nazywamy odwrotnym do elementu z
z
wzgl dem mno enia.
Definicja
Niech z = x +iy ∈C.
Liczb
−
z ≡ x - iy ∈C nazywamy liczb
spr
on
do z lub sprz
eniem liczby
zespolonej z.
Liczb rzeczywist |z| ≡
x 2 + y 2 nazywamy modułem liczby zespolonej z.
Podamy teraz szereg bardzo łatwych do sprawdzenia własno ci zwi zanych z
nowopoznanymi poj ciami.
Niech z,s∈C. Wówczas
−
1. z⋅ z =| z |2
2. |z| = 0 ⇔ z = 0
3. Je eli z∈R (czyli im(z) =0), to poj cia modułu liczby rzeczywistej i zespolonej
oznaczaj to samo.
4.
−
z + z = 2re( z ) ;
______
__
−
z − z = −2im( z )
__
5. z + s = z + s
6. |z.s| = |z|.|s|
7. Je eli s∈C\{0}, to
z |z|
=
s
|s|
Interpretacja geometryczna liczb zespolonych
.
y
z=x+iy
Niech z = x + iy = re(z) +
im(z)i∈C.
|z|
C=RxR
Na
liczb
przedstawi
α
płaszczy nie
t
mo emy
jak na rysunku
obok.
x
Przyjmijmy, e z∈C\{0}. Liczb α spełniaj c warunki :
1)
x
= cos
|z|
2)
y
= sin
|z|
nazywamy argumentem liczby zespolonej z.
Oczywi cie ka da liczba zespolona z∈C\{0} posiada argument, ale jak z
trygonometrii wynika, je eli α∈R jest argumentem liczby zespolonej z∈C\{0}, to dla
dowolnego k∈Z jest nim równie liczba α+2kπ. W przedziale [0, 2π) znajduje si tylko
jedna taka liczba (k t jak kto woli). T liczb nazywamy argumentem głównym liczby
zespolonej
z∈C\{0}
i
oznaczamy
symbolem
arg(z).
Jest
on
wyznaczony
jednoznacznie. Dla liczby zespolonej 0 nie definiujemy argumentu.
Zauwa my, e dla liczby z = x + iy = re(z) + im(z)i∈C\{0} warunki 1) i 2)
zapisa w postaci
1') x = |z|cosα
[ lub re(z) = |z|cos(arg(z)) ]
2') y = |z|sinα
[ lub im(z) = |z|sin(arg(z)) ]
W zwi zku z tym mamy
(PT) z = |z|(cosα + isinα)
[ lub z = |z|(cos(arg(z)) + isin(arg(z)) ]
Powy sze przedstawianie liczby zespolonej z∈C\{0} nazywamy jej postaci
trygonometryczn .
Zauwa my, e dwie liczby zespolone (ró ne od zespolonego zera) s równe wtedy i
tylko wtedy, gdy maj ten sam moduł i ten sam argument główny.
Istotnie niech z = x + iy ; s = a + ib ∈C\{0}.
Je eli z = s, to x = a oraz y = b, wi c x2 + y2 = a2 + b2 i w konsekwencji
| z |= x 2 + y 2 = a 2 + b 2 =| s | . Niech α oznacza argument główny liczby z, za
β
argument główny liczby s. Wówczas:
A) cos =
B) sin =
a
x
=
= cos
|s| |z|
b
y
=
= sin
|s| |z|
Z trygonometrii wiadomo,
e układ tych równo ci w przedziale [0,π) jest mo liwy
jedynie gdy α = β.
Załó my teraz, e liczby z = x + iy ; s = a + ib ∈C\{0} maj te same moduły i te same
argumenty.
Mamy wówczas do dyspozycji równo ci A) oraz B) w których |z| = |s|, a st d
natychmiast x = a oraz y = b, czyli z = s.
Udowodnili my wi c twierdzenie
Twierdzenie (o równo ci liczb zespolonych)
Niech z,s∈C\{0}. Na to by liczby z i s były sobie równe, potrzeba i
wystarcza by miały te same moduły i te same argumenty.
Wniosek
Je eli liczby z,s∈C\{0} maj ró ne moduły lub ró ne argumenty, to s ró ne.
Umawiamy si , e w zapisie z = |z|(cosα + isinα), α - oznacza b dzie dowolny
argument liczby z∈C\{0}.
Twierdzenie Moivre'a
Dla dowolnej liczby zespolonej z∈C\{0} mamy
∀
n∈N z = [| z | (cos
+ i sin )]n =| z |n (cos n + i sin n )
n
Zale no
(M) nazywamy wzorem Moivre'a.
Dowód (indukcyjny)
We my pod uwag funkcj zdaniow @(n)≡ z n =| z |n (cos n + i sin n )
Zgodnie z definicj pot gi naturalnej liczby zespolonej (w szczególno ci pierwszej jej
pot gi) mamy:
z1 = z = |z|(cosα + isinα) = |z|1(cos1α + isin1α), czyli @(1) jest zdaniem prawdziwym.
Niech teraz n∈N. Załó my, e
(zał) z n =| z |n (cos n + i sin n ) [zakładamy, e w(@(n))=1]
twierdzimy, e
(teza) z n+1 =| z |n+1 (cos(n + 1) + i sin(n + 1) ) [twierdzimy, e w(@(n+1))=1]
Dowód tezy indukcyjnej. Mamy:
z n+1 = z ⋅ z n = | z | (cos + i sin )⋅ | z |n (cos n + i sin n ) =
zal
= | z |n+1 (cos cos n + i cos sin n + i sin cos n + i 2 sin sin n ) =
= | z |n+1 (cos cos n − sin sin n + i(cos sin n + sin cos n )) =
= z n+1 =| z |n+1 (cos(n + 1) + i sin(n + 1) ) ,
co ko czy dowód tezy indukcyjnej i całego twierdzenia.
Przykład
Obliczy
niewyobra alnie
(1 - i)77. Bez wzoru Moivre'a przyznacie Pa stwo,
mudne zaj cie. Tymczasem przyjmuj c z ≡ 1 - i zapiszemy t
liczb w postaci trygonometrycznej. W tym celu wyznaczamy kolejno:
|z| = |1 - i| =
cos =
sin =
12 + ( −1) 2 = 2
1
2
−1
e to
=
3
4
← na przykład α równa si tyle wła nie. Jest to argument główny liczby z.
2
, wi c z = 1 - i = 2 (cos
3
4
+ i sin
3
)
4
i według wzoru Moivre'a mamy
(1 − i) 77 = ( 2 ) 77 (cos 77 ⋅
= ( 2 ) 77 (cos(2 ⋅ 28 +
= ( 2 ) 77 (
1
2
−
1
2
3
4
+ i sin
231
3
7
) = ( 2 ) 77 (cos(57 + ) + i sin(56 + ) ) =
4
4
4
7
7
7
) = ( 2 )77 (cos
) + i sin(2 ⋅ 28 +
4
4
4
+ i sin
7
)=
4
i) = ( 2 )76 − i( 2 ) 76 = 2 38 − 2 38 i .
Zdefiniujemy poni ej całkowit
pot g
liczby zespolonej, pami taj c,
e
zdefiniowali my wcze niej jej naturaln pot g .
Definicja
Niech z∈C\{0}. Definiujemy
z0 ≡ 1
z −1 ≡
∀
1
z
n∈N z
−n
= ( z −1 )n
W ten sposób zdefiniowali my ka d
całkowit
pot g
dowolnej liczby zespolonej
z∈C\{0}.
Zajmiemy si
teraz uogólnieniem wzoru Moivre'a na przypadek pot g
ujemnych.
Niech z = x + iy ∈C\{0}. Wówczas jak wiemy
z −1 =
1
1
x
y
x
y
=
≡ 2
− 2
i=
−
i,
2
2
2
z x + iy x + y
x +y
|z|
| z |2
czyli re( z −1 ) =
− im( z )
re( z )
oraz im( z −1 ) =
2
|z|
| z |2
Wiemy te , e
(2) | z −1 |≡
1
1
=
z |z|
W zwi zku z tym oznaczaj c przez β dowolny argument liczny z-1 , za przez α
dowolny argument liczby z mamy:
x
x
| z |2
cos =
=
1
x
|z|
cos( − ) =
= cos
|z|
|z|
zatem
−y
y
sin( − ) =
= sin
2
|z|
−y
|z|
sin =
=
1
|z|
|z|
Wnioskujemy st d, e je eli α jest pewnym argumentem liczby z, to -α jest jednym z
argumentów liczby z-1.
Mamy zatem:
1
1
(cos( − ) + i sin( − )) =
(cos − i sin )
|z|
|z|
(3) z −1 =
W konsekwencji dla dowolnego ustalonego n∈N korzystaj c ze wzoru Moivre'a
mamy:
(4) z
( )
−n
= z
−1 n
1
=
(cos( − ) + i sin( − ))
|z|
n
n
1
=
(cos( −n ) + i sin( −n )) =
|z|
= | z | −n (cos( −n ) + i sin( −n ))
Zauwa my jeszcze, e z 0 = 1 =| 1 | (cos 0 + i sin 0) , udowodnili my zatem twierdzenie
stanowi ce uogólnienie twierdzenia Moivre'a na przypadek pot g całkowitych. Mamy
wi c
Twierdzenie ( uogólnienie Moivre'a )
Dla dowolnej liczby zespolonej z∈C\{0} mamy
∀
n∈Z z = [| z | (cos
n
+ i sin )]n =| z |n (cos n + i sin n )
Definicja
Pierwiastkiem stopnia naturalnego n≥2 z liczby zespolonej z∈C\{0} nazywamy
tak liczb zespolon s∈C, dla której
sn = z.
Twierdzenie (o pierwiastkach zespolonych)
Dla dowolnego z∈C\{0} i liczby naturalnej n≥2 istnieje dokładnie n ró nych
pierwiastków stopnia n-tego z tej liczby. Pierwiastkami tymi s liczby w postaci:
(PZ)
k
= n | z |(cos
2k + arg( z)
2k + arg( z)
+ i sin
) dla k = 0,1,2, ... n-1.
n
n
Dowód
Ka da z opisanych w tezie liczb
k
pot gi n-tej daje jak łatwo zauwa y
∈C podniesiona według wzoru Moivre'a do
liczb
z, wi c ka da z nich jest według
powy szej definicji pierwiastkiem stopnia n-tego z liczby z.
Zauwa my,
e wypisane w (PZ) argumenty liczb
k
s
argumentami, po
pierwsze głównymi, bo dla k ∈ {0,1,2, ... n-1} mamy:
0≤
2k + arg( z) 2(n − 1) + arg( z)
1
1
= 2 − (2 − arg( z )) ≤ 2 − 2 < 2
≤
n
n
n
n
a po drugie ró nymi mi dzy sob , bo
2k + arg( z) 2r + arg( z )
⇔ k = r.
=
n
n
Jak wiemy z wniosku z twierdzenia o równo ci liczb zespolonych, ró nym
argumentom odpowiadaj
ró ne liczby zespolone. Tak wi c liczby
k
s
ró nymi
mi dzy sob pierwiastkami zespolonymi liczby z.
Pozostaje jeszcze wykaza , e poza opisanymi w tezie liczbami
k
, liczba z
nie ma innych pierwiastków zespolonych.
=| | (cos + i sin ) b dzie pierwiastkiem stopnia n-tego z liczby z.
Niech
Przyjmijmy, e α jest jej argumentem głównym (α∈[0,2π). Wówczas
z = |z|(cos(arg(z))+isin(arg(z)) =
n
=| |n (cos n + i sin n )
St d wobec twierdzenia o równo ci liczb zespolonych mamy
| |= n | z |
arg(z) = arg(
n
)
Wobec (1) jednym z argumentów liczby
nα = arg(
n
n
jest nα. Zatem dla pewnego r∈Z mamy
) + 2rπ
arg(z) = nα - 2rπ
Z (5) wnioskujemy, e
(6)
=
2r + arg( z)
n
Poniewa α jest jak przyj li my argumentem głównym, to α∈[0, 2π), wi c powy sza
równo
mo liwa jest jedynie dla
(7) 0 ≤ r < n [ r∈{0,1,2, ... } ]
Tak wi c wobec (2), (6) oraz (7) liczba je eli ε jest pierwiastkiem stopnie n-tego z
liczby z∈C\{0}, to jest jedn z liczb
Uwaga. Cho
k
opisanych w tezie.
definicja pierwiastka z liczby rzeczywistej jest prawie zupełnie
analogiczna jak pierwiastka z liczby zespolonej, to ró nice mi dzy pierwiastkami
rzeczywistymi i zespolonymi s bardzo istotne.
Przypomnijmy, e pierwiastkiem z liczby rzeczywistej nieujemnej a nazwali my tak
nieujemn liczb b, dla której a = b2
[ a = b ⇔ b 2 = a ]. Nie dla wszystkich liczb
okre lali my pierwiastki rzeczywiste cho by stopnia drugiego . Poza tym pierwiastek
rzeczywisty wyznaczony był jednoznacznie (niezale nie od stopnia). W przypadku
pierwiastków zespolonych okre lonych dla ka dej liczby zespolonej ró nej od
zespolonego 0, mamy ich tyle ró nych ile wynosi stopie pierwiastka.
Niech z∈C\{0}. Symbolem
n
z oznacza
b dziemy n- elementowy zbiór
pierwiastków stopnia n- tego z liczby z.
Przykłady
4
Znale
Aby skorzysta
− 1+ i 3 .
z twierdzenia o pierwiastkach zespolonych znajdujemy moduł i
argument liczby z ≡
( −1) 2 + ( 3 ) 2 = 2
|z| = |-1 + i 3 | =
−1
2
3
sin =
2
cos =
3 + 8i
=
2
3
← na przykład α równa si tyle wła nie. Jest to argument główny liczby z.
i mamy
0
1
= 4 2 (cos
= 4 2 (cos
2⋅0 +
4
2
3 + i sin
6
) = 4 2(
3 1
+ i)
2 2
2
3 + i sin 2 ) = 4 2 ( − 1 + 3 i)
4
3
2
2
2 ⋅1 +
2
3
= 4 2 (cos
= 4 2 (cos
4
Tak wi c
2
3 + i sin 7 ) = 4 2 ( − 3 + − 1i)
4
6
2
2
2⋅2 +
2
3 + i sin 5 ) = 4 2 ( − 1 + 3 i)
4
3
2
2
2⋅3 +
− 1+ i 3 = {εo, ε1, ε2, ε3}
Przykład
2
Znale
− 4 [umawiamy si przy okazji, e podobnie jak w przypadku pierwiastków
rzeczywistych stopnia drugiego pisa
z - zamiast
2
z]
Post pujemy podobnie jak w poprzednim przykładzie i mamy przyjmuj c z = -4.
|z| = |-4 +0.i| =
−4
4
0
sin =
4
cos =
( −4 ) 2 + ( 0 ) 2 = 4
=
← na przykład α równa si tyle wła nie. Jest to argument główny liczby z.
i mamy
0
= 4 (cos
2⋅0 +
2
1
= 4 (cos
2 ⋅1 +
2
Tak wi c
+ i sin
+ i sin
2
) = 2(0 + i) = 2i
3
) = 2(0 − i) = −2i
2
− 4 ={-2i,2i}.
Przykład
Znale
Wida , e
4 . Trzeba tu doda , e chodzi o pierwiastek zespolony, czyli zbiór.
4 = {-2,2}, ale podobnie jak w poprzednich przykładach wyznaczymy ten
zbiór w oparciu o twierdzenie o pierwiastkach zespolonych. Przyjmuj c z = 4 mamy
|z| = |4 +0.i| =
4 2 + (0 ) 2 = 4
4
4
0
sin =
4
=0
cos =
i mamy
← na przykład α równa si tyle wła nie. Jest to argument główny liczby z.
0
= 4 (cos
2⋅0 + 0
0
+ i sin ) = 2(1 + 0) = 2
2
2
1
= 4 (cos
2 ⋅1 + 0
2
+ i sin
) = 2( −1 − 0) = −2 .
2
2
Twierdzenie
Niech z,s∈C\{0} i n∈N. Wówczas
n
z ⋅ s = n z ⋅ n s oraz
n
z
=
s
n
z
n
s
Dowód wynika wprost z definicji pierwiastków zespolonych i przemienno ci
mno enia.
Twierdzenie
(DZ)
∀
.
z,s∈C z s = 0 ⇔ z = 0 ∨ s = 0.
Dowód
Niech z,s ∈C.
Załó my, e
(1) z = 0 ∨ s = 0.
Je eli np. z = 0, to z własno ci mno enia wynika,
e z.s = 0. Analogicznie w
przypadku, gdy s = 0.
Załó my teraz, e
(2) z.s = 0
Je eli z = 0, to warunek (DZ) jest oczywi cie spełniony. Przyjmijmy wi c, e
(3) z ≠ 0.
Istnieje wówczas liczba
1
∈C. Mno
z
otrzymujemy
(4) z.s = 0 |.
(5)
1
z
1. .
1
z s = 1.s = s = .0 = 0
z
z
zatem s = 0.
c przez t
liczb
zało on
równo
(2)
Ta niepozorna własno
okazuje si
mie bardzo du e znaczenie. Warunek (DZ)
wypowiadamy nast puj co: "mno enie liczb zespolonych nie posiada dzielników
zera".