ZAJĘCIA 48. Równanie okręgu. - TECH.EDU.GORZOW.PL :: Strona

ZAJĘCIA 48.
Równanie okręgu.
Okręgiem o środku w punkcie S i promieniu długości r (r>0) nazywamy zbiór wszystkich
punktów płaszczyzny, których odległość od punktu S jest równa długości promienia r.
Rysunek przedstawia 10 okręgów o środku w początku układu współrzędnych i promieniach:
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
Okrąg o środku (0, 0) i promieniu r jest zbiorem punktów P = (x, y), spełniających warunek:
x2 + y2 = r2. Warunek ten nazywamy równaniem okręgu środku w punkcie (0;0) i promieniu r> 0.
PRZYKŁAD:
Napisz równanie i narysuj okrąg o środku (0, 0) i promieniu:
a) 6;
ROZWIĄZANIE: x2 + y2 = 36;
b) 3,5;
ROZWIĄZANIE: x2 + y2 =
c) 3
;
49
;
9
ROZWIĄZANIE: x2 + y2 = 45 - okrąg przechodzi przez punkt (6, 3);
d) 4
, gdzie
to złota liczba równa
ROZWIĄZANIE: x2 + y2 = 24 + 8
e) 4
;
- zbudować 4
w oparciu o kwadrat o boku 4;
;
ROZWIĄZANIE: x2 + y2 = 48
f)
;
ROZWIĄZANIE: x2 + y2 =
g)
484
;
49
.
ROZWIĄZANIE: x2 + y2 =
529
.
9
PRZYKŁAD:
Wyznacz długość promienia okręgu o równaniu:
a) x2 + y2 = 49; Jaka liczba podniesiona do drugiej potęgi da 49? r = 7;
b) x2 + y2 = 50; r = 2 5 - okrąg przechodzi przez punkt (7, 1)
c) x2 + y2 = 75; r = 5 3
2
8,7;
2
d) x + y = 85; r = 85 - okrąg przechodzi przez punkt (9, 2);
e) x2 + y2 = 6,25; r = 2,5;
f) x2 + y2 =
2
2
g) x + y =
; r = 5;
; r = 8,5.
PRZYKŁAD:
Skonstruuj odcinki długości: 4
ROZWIĄZANIE:
,4
,4
,4
,4
.
Korzystamy ze ślimaka Pitagorasa:
PRZYKŁAD:
Narysuj okrąg o środku (3, 2) i promieniu 5. Czy potrafisz napisać jego równanie?
ROZWIĄZANIE:
Korzystamy ze wzoru na odległość dwóch punktów d =
. Przyjmujemy,
Ŝe punkt (x1, y1) jest środkiem okręgu (3, 2), zaś punkt (x2, y2) jest dowolnym punktem okręgu
P = (x, y). Otrzymujemy równanie okręgu: (x-3)2 + (y-2)2 = 25. Sprawdź, Ŝe punkt (7, 5) leŜy na
tym okręgu i spełnia to równanie. Sprawdź inne punkty tego okręgu o współrzędnych
całkowitych.
Zatem:
Równaniem okręgu o środku S = (a, b) i promieniu r > 0 jest: (x - a)2 + (y - b)2 = r2.
PRZYKŁAD:
Napisz równanie okrągu o podanym środku S i promieniu r:
a) S = (-4, 1), r = 6;
ROZWIĄZANIE:
a = - 4, b = 1, r2 = 36, zatem
( x - a)2 + (y - b)2 = r2
(x + 4)2 + (y - 1)2 = 36;
b) S = (2, -1), r = 3 5 ;
ROZWIĄZANIE: (x - 2)2 + (y + 1)2 = 45;
c) S = (3, -4), r = 6 ;
ROZWIĄZANIE: (x - 3)2 + (y + 4)2 = 54 + 18 5 ;
d) S = (-2, -3), r = 4 3 ;
ROZWIĄZANIE: (x + 2)2 + (y + 3)2 = 48.
PRZYKŁAD:
Wyznacz długość promienia okręgu o równaniu:
a) (x + 3)2 + (y - 4)2 = 25;
b) (x - 1)2 + (y + 3)2 = 18;
c) (x - 2)2 + (y + 1)2 = 1 +
d) (x + 4)2 + (y + 2)2 = 27.
;
ROZWIĄZANIE:
a) r = 5; b) r = 3
; c) r =
; d) r = 3
.
Równanie okręgu o środku S = (a, b) i promieniu r w postaci (x - a)2 + (y - b)2 = r2 moŜna
rozwinąć do postaci: x2 - 2ax + a2 + y2 - 2by + b2 = r2. Po uporządkowaniu i podstawieniu
a2 + b2 - r2 = c otrzymujemy postać ogólną równania okręgu:
x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0.
Reasumując:
(x-a)2+(y-b)2=r2 (postać kanoniczna). Okrąg o środku w punkcie (a,b) i promieniu
długości r > 0.
x2+y2+Ax+By+C=0 (postać ogólna)
przy czym: a = −
A
B
1
, b = − , r = ⋅ A 2 + B 2 − 4C .
2
2
2
PRZYKŁAD:
Wyznacz postać kierunkową okręgów:
a) x2 + y2 + 4x - 6y - 3 = 0;
b) x2 + y2 - 6x - 41 = 0;
c) x2 + y2 - 8y + 15 = 0;
2
2
d) x + y - 8x + 2y = 0;
ROZWIĄZANIE:
a) (x + 2)2 + (y - 3)2 = 16;
b) (x - 3)2 + y2 = 50;
;
c) x2 + (y - 4)2 = 1 +
d) (x - 4)2 + (y + 1)2 = 17.
PRZYKŁAD:
Ile okręgów widzisz na rysunku, jakie są współrzędne ich środków i jakie promienie?
(Rysunek wykonano za pomocą programu "Okręgi" a kolorowanie programem Foto Magic).
ROZWIĄZANIE:
Na rysunku jest 7 okręgów, wszystkie o promieniu 4.
Środek centralnego okręgu jest początkiem układu współrzędnych, zaś środki pozostałych są
wierzchołkami sześciokąta foremnego wpisanego w centralny okrąg.