Belka (metoda sił) - zadanie z ćwiczeń nr 4

Narysować wykresy momentów i sił tnących w belce jak na rysunku.
3ql
q
2l
2l
l
Określamy stopień statycznej niewyznaczalności:
ns = r - 3 - p = 5 - 3 - 0 = 2
Przyjmujemy schemat podstawowy:
X2
X1
Zakładamy do obliczeń, że niewiadome są równe 1. Rysujemy wykresy momentów zginających od
obciążeń jednostkowych:
M1
X1 = 1
2l
X2 = 1
M2
1
1
Następnie rysujemy wykres od obciążenia zewnętrznego (oddzielnie od siły skupionej i oddzielnie od
obciążenia ciągłego):
3ql 2
3ql
q
MP
1/8q(2l) 2= 1/2ql 2
Dla układu z dwiema niewiadomymi układ równań kanonicznych przyjmuje postać:
Wykorzystując wzór Maxwella-Mohra, a dokładnie jego część uwzględniającą zginanie
spowodowane oddziaływaniami od obciążeń statycznych, obliczamy wartości przemieszczeń:
Zamiast całkowania analitycznego z wykorzystaniem równań opisujących momenty wykorzystane
zostanie całkowanie graficzne polegające na przemnażaniu pola wykresu z momentu Mj przez rzędną
z wykresu momentu Mi odczytaną w punkcie, gdzie znajduje się środek ciężkości figury z wykresu Mj.
Obliczenie przemieszczenia 11 - przemnażamy pole z wykresu M1 przez rzędne z tego samego
wykresu:
M1
2l
M1
2/3*2l
2l
2/3*2l
Ponieważ oba pola są identyczne, a co za tym idzie obie rzędne także, wystarczy przemnożyć jedno
pole przez rzędną a następnie wszystko pomnożyć razy dwa. Każdy trójkąt traktowany jest jako
oddzielne pole, ze względu na to, że momenty opisane są różnymi funkcjami na obu prętach.
Obliczenie przemieszczenia 21 - przemnażamy pole z wykresu M1 przez rzędne z wykresu M2:
M1
2l
M2
1
1
1
2/3*1
Obliczenie przemieszczenia 12 - przemnażamy pole z wykresu M2 przez rzędne z wykresu M1:
M2
1
1
M1
1/2*2l
2l
2/3*2l
Obliczenie przemieszczenia 22 - przemnażamy pole z wykresu M2 przez rzędne z tego samego
wykresu:
M2
1
1
M2
1
1
1
2/3*1
Obliczenie przemieszczenia 1P - przemnażamy pole z wykresu MP przez rzędne z wykresu M1 (w
obliczeniach pomijamy pole trójkątne na przewieszeniu, ze względu na zerowe rzędne momentu na
wykresie M1):
3ql
MP
1/2ql 2
M1
2l
1/2*2l 1/3*2l
Obliczenie przemieszczenia 2P - przemnażamy pole z wykresu MP przez rzędne z wykresu M2 (w
obliczeniach pomijamy pole trójkątne na przewieszeniu, ze względu na zerowe rzędne momentu na
wykresie M2):
3ql
MP
1/2ql 2
M2
1
1
1/2*1 1/3*1
Rozwiązanie układu równań pozwala na obliczenie wartości X1 i X2:
rozwiązaniem jest:
Przemnażamy wykres M1 przez obliczoną wartość X1 otrzymując:
M1 X1
X1 = 3/7ql
6/7ql 2
Przemnażamy wykres M2 przez obliczoną wartość X2 otrzymując:
2/7ql 2
M2 X2
X2 = -2/7ql
Dodajemy wykres od obciążeń zewnętrznych MP:
3ql 2
MP
Sumując wartości momentów z każdego z trzech wykresów w węzłach podporowych otrzymujemy:
- pierwszy węzeł M = 2/7ql2 (na górze)
- drugi węzeł M = 4/7ql2 (na dole)
- trzeci węzeł M = 3ql2 (na górze)
- czwarty węzeł M = 0
Na lewym i na prawym węźle brak jest obciążenia ciągłego, więc wykres momentów rysujemy linią
prostą łącząc wartości w 1 i 2 węźle (pręt lewy) oraz wartości w 3 i 4 węźle (pręt prawy).
Na pręcie środkowym jest obciążenie ciągłe, zatem musimy najpierw narysować wykres sił tnących,
aby określić kształt wykresu momentów.
3ql 2
2/7ql 2
M
4/7ql 2
3/7ql
2/7ql 2+4/7ql 2
2l
3/7ql
3ql
3ql 2
l
3ql
Wartości sił tnących w węzłach określa się sumując momenty (jeżeli leżą po przeciwnej stronie), lub
odejmując momenty (jeżeli leżą po tej samej stronie wykresu), a następnie dzieląc przez długość
pręta na którym wyliczamy wartości sił tnących.
Jeżeli na pręcie występuje obciążenie ciągłe (tak jak na pręcie środkowym), to dodatkowo należy w
obliczeniach uwzględnić siły jakie pojawią się od obciążenia ciągłego:
3ql 2
W = 2ql
2/7ql 2
M
4/7ql 2
25/14ql
ql
11/14ql
4/7ql 2+3ql 2
2l
2ql
2
25/14ql
ql
39/14ql
gdzie pierwsza para sił powstaje od momentów obciążających węzły pręta środkowego, zaś druga
para sił powstaje od wypadkowej z obciążenia ciągłego.
Suma obu sił w węźle daje wartość siły tnącej, zaś wykres będzie wyglądać następująco:
3ql 2
3ql
3/7ql
T
11/14ql
39/14ql
Zaś ostateczny wykres momentów przyjmie postać jak poniżej. Ponieważ na pręcie środkowym siła
tnąca nie przechodzi przez zero, oznacza to że na tym pręcie nie występuje ekstremum lokalne
momentu.
3ql 2
2/7ql 2
M
4/7ql 2