Rachunek prawdopodobieństwa: Lista 2

Rachunek prawdopodobieństwa: Lista 2
1. Rzucamy dwiema kostakami do gry i rozpatrujemy zdarzenia: A - suma oczek jest
parzysta, B - suma oczek jest mniejsza niż 4, C - suma oczek jest podzielna przez
3. Czy zdarzenia A, B, C są wzajemnie niezależne? (odp. tylko zdarzenia A i C są
niezależne)
2. Pokazać, że jeśli zdarzenia A, B są niezależne, to Ac , B c też są niezależne.
3. Zdarzenia A, B, C są parami niezależne oraz A ∩ B ∩ C = ∅ i P (Ac ) = P (B) =
P (C) = p. Znaleźć maksymalną wartość p. (p = 1)
4. Joanna ma trójkę dzieci, a urodzenia chłopca i dziewczynki są tak samo prawdopodobne. Definiujemy zdarzenia:
A-wszystkie dzieci są tej samej płci,
B-jest co najwyżej jeden chłopak,
C-wśród dzieci jest dziewczynka i chłopiec.
(a) Pokaż, że zdarzenia A i B oraz B i C są niezależne. Czy zdarzenia A i C są
niezależne? (b) Czy odpowiedzi będą te same, jeśli Joanna miałaby czworo dzieci?
5. Samolot ma 4 silniki po dwa na każdym skrzydle. Prawdopodobieństwo awarii każdego takiego silnika wynosi p = 0.001 i jest niezależne od stanu pozostałych silników.
Oblicz prawdopodobieństwo, że samolot doleci do celu, jeśli może kontynuować lot,
mając (a) co najmniej dwa sprawne silniki, (b) co najmniej jeden sprawny silnik na
każdym skrzydle. (odp. (b) (1 − p2 )2 )
6. Pewna metoda izotopowa wykrywa uszkodzenie w 90% przypadków oraz błędnie
wskazuje uszkodzenie w 1% przypadków. Wiadomo, że 2% produkowanych w fabryce
wyrobów ma uszkodzenia. (a) Określić przestrzeń zdarzeń elementarnych i rozkład
prawdopodobieństwa. (b) Obliczyć prawdopodobieństwo, że wybrany losowo wyrób
jest uszkodzony, gdy metoda izotopowa wskazuje uszkodzenie. (odp. 0.6475)
7. Telegraficzne przekazywanie informacji odbywa się metodą nadawania sygnałów
kropka-kreska. Statystyczne właściwości zakłóceń są takie, że błędy następują przeciętnie w 52 przypadków przy nadawaniu sygnału kropka i w 31 przypadków przy
nadawaniu sygnału kreska. Ogólny stosunek liczby nadawanych sygnałów kropka
do sygnałów kreska jest 5 : 3. Obliczyć prawdopodobieństwo, że przy przyjmowaniu
sygnału (a) kropka, (b) kreska - w rzeczywistości właśnie te sygnały zostały nadane.
(odp. (a) 34 , (b) 12 )
8. Wiadomo, że 50% procesorów produkowanych w fabryce ma wadę. Pewne procesory są kradzione przed kontrolą w fabryce i nielegalnie wprowadzane na rynek.
Przeprowadzona inspekcja pokazuje, że 5% legalnie sprzedawanych procesorów ma
wadę i 1% procesorów będących w sprzedaży na rynku pochodzi z kradzieży. Oblicz
prawdopodobieństwo, że uszkodzony procesor zakupiony na rynku pochodzi z kradzieży. Jak zmieni się to prawdopodobieństwo, jeśli procesory byłyby kradzione po
10
19
kontroli? (odp. (a) 199
, (b) 118
)
9. Wśród 100 monet jest jedna z dwoma orłami. Na wybranej losowo monecie wypadł
orzeł 6 razy pod rząd. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest to moneta z dwoma
64
orłami? (odp. 163
)
AJ