Lista 02 - wmiRepo
Transkrypt
Lista 02 - wmiRepo
UNIWERSYTET WROCŁAWSKI Prof. Ryszard Szekli Instytut Matematyczny Pl. Grunwaldzki 2/4 50-384 Wrocław RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA A, LISTA ZADAŃ 2/2012. 1. Urna zawiera 1000 losów ponumerowanych od 1 do 1000. Wybieramy losowo 1. Bookmacher oferuje wypłacić 30 zł każdemu, kto mu wpłaci 20 zł, jeśli wylosowany numer jest podzielny przez 2 lub 3 lub 5. Jeśli numer nie jest podzielny przez te liczby, tracimy 20 zł. Czy opłaca się robic taki zakład? (policz szansę na wygraną). 2. (Lotto). Wybieramy 6 liczb ze zbioru {1, ..., 54} 1 nagroda to 6 trafionych, 2 nagroda to 5 trafionych, 3 nagroda 4 trafione. Jakie sa̧ prawdopodobieństwa zdobycia tych nagród? 3. (Kontrola jakości). Wyprodukowano M żarówek, w tym N wadliwych. Testujemy n żarówek. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszystkie testowane żarówki sa̧ dobre? 4. (Wnioskowanie o wielkości populacji). Student biologii złowił w stawie 60 wodnych chrza̧szczy, oznaczył farba̧ i wypuścił. Po pewnym czasie wrócił i złowił 50 chrza̧szczy, w tym znajduja̧c 12 oznaczonych farba̧. Jak można oszacować wielkość populacji chrza̧szczy w tym stawie? 5. Urna zawiera 6 czerwonych i 6 czarnych kul. Wybieramy kule, po kuli aż do chwili natrafienia na kule, czerwona., Niech K oznacza liczbe, kul wybranych, (może przyjać , wartość K = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7). Policz P (K = k) dla k = 1, . . . , 7. Czy znalezienie zwiazku miedzy P (K = k) , , i P (K = k − 1) może uprościć obliczenia? 6. Urna zawiera n kul białych i n czerwonych. Dwie kule są wybrane jednocześnie z urny. a. Opisz przestrzeń zdarzeń elementarnych, b. jakie jest prawdopodobieństwo, że kule są różnych kolorów c. policz pradopodobieństwo, że kule są tego samego koloru i policz granicę tej wartości gdy n dąży do nieskończoności. 7. Przypuśćmy, że A i B są niezależne oraz B i C są niezależne. Czy A i C muszą być niezależne? Czy B jest niezależne od A ∪ C? Czy B jest niezależne od A ∩ C? Uzasadnij. 8. Przypuśćmy, że A i B są niezależne, czy A i B c są niezależne? Uzasadnij. 9. Rzucamy n razy symetryczna, moneta., Dla każdego k < n, niech Ak oznacza zdarzenie: wynik w k-tym rzucie i (k + 1)-ym rzucie jest inny. Pokaż, że Ak dla 1 ¬ k < n sa, niezależne. 10. Niech A1 , . . . , An bed , a, niezależne. Pokaż, że P( [ i Ai ) = 1 − Y (1 − P (Ai )). i 11. Pokaż, że P (A ∩ B ∩ C) = P (A)P (B | A)P (C | A ∩ B). 12. Użyj wzoru Bayesa aby pokazać, że P (A | B) > P (A) wtedy i tylko wtedy, gdy P (B | Ac ) < P (B | A). To znaczy warunkowanie wzgledem , B zwieksza prawdopodobieństwo A wtedy i tylko wtedy, gdy B ma , wieksze prawdopodobieństwo, gdy A zajdzie, niż gdy nie zajdzie. , 13. Robimy test na wykrycie rzadkiej choroby, która występuje 1 raz na 100000 w populacji. Test pokazuje, że jesteś chory w rzeczywistym przypadku choroby z prawdopodobienstwem 0.95. Jeśli nie jesteś chory, test może pokazać, że jesteś chory z prawdopodobieństwem 0.005. Jeśli test pokazuje, że jesteś chory, jakie jest prawdopodobieństwo, że diagnoza jest słuszna? 14. We wsi zamieszkanej przez 50 osób pewna osoba przekazała plotke, drugiej osobie, która nastepnie przekazała ja, losowo jednej z osób z tej , wsi, itd. W każdym kroku osoba wysłuchujaca plotki jest wybierana , losowo. Jakie jest prawdopodobieństwo, że plotka zostanie przekazana 8 razy bez natrafienia na osobe, , która już ja, słyszała?