Lista 3

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I STATYSTYKA MATEMATYCZNA
Lista nr 3
Zadanie 1.
Rzucamy dwiema kostkami do gry. Obliczyć prawdopodobieństwo wyrzucenia wiȩcej niż trzech oczek na pierwszej
kostce, jeśli wiadomo, że suma liczby oczek na obu kostkach jest nie wiȩksza od piȩciu.
Zadanie 2.
W rodzinie jest czwórka dzieci. Prawdopodobieństwo, że dziecko jest chłopcem wynosi 0.51. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że w rodzinie jest co najmniej jeden chłopiec. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że wszystkie dzieci sa̧
chłopcami, jeśli wiadomo, że w tej rodzinie jest co najmniej jeden chłopiec.
Zadanie 3. Charakterystyka surowca przygotowanego do produkcji może znajdować siȩ w sześciu przedziałach z prawdopodobieństwami 0.09, 0.16, 0.25, 0.25, 0.16 i 0.09. W zależności od właściwości surowca prawdopodobieństwa otrzymania
produkcji pierwszego gatunku wynosza̧ odpowiednio 0.2, 0.3, 0.4,0.4,0.3 i 0.2.
a) Obliczyć prawdopodobieństwo otrzymania produkcji pierwszego gatunku.
b) Otrzymano produkt pierwszego gatunku. Jake jest prawdopodobieństwo, że użyto surowca z pierwszego przedziału ?
Zadanie 4. Z trzech pracuja̧cych niezależnie elementów urza̧dzenia dwa zawiodły. Znaleźć prawdopodobieństwo tego,
że zawiodły elementy pierwszy i drugi, jeśli prawdopodobieństwa awarii elementów pierwszego, drugiego i trzeciego sa̧
odpowiednio równe: p1 = 0.2; p2 = 0.4; p3 = 0.3.
Zadanie 5. Prawdopodobieństwo pojawienia siȩ zdarzenia A przynajmniej raz przy czterech niezależnych doświadczeniach
jest równe 0.59. Jakie jest prawdopodobieństwo pojawienia siȩ zdarzenia A przy jednym doświadczeniu, jeżeli przy każdym
doświadczeniu prawdopodobieństwo to jest takie samo ?
Zadanie 6. Samochód porusza siȩ po trasie, na której znajduja̧ siȩ 4 sygnały świetlne, działaja̧ce niezależnie od siebie.
Każdy z nich zatrzymuje lub przepuszcza samochód z prawdopodobieństwem p = 1/2. Niech X oznacza liczbȩ sygnałów
miniȩtych przez samochód do momentu pierwszego zatrzymania. Znaleźć rozkład zmiennej losowej X. Narysować jej
dystrybuanta̧ i obliczyć wartość oczekiwana̧ i wariancja̧.
Zadanie 7. Zmienna losowa X ma rozkład prawdopodobieństwa podany w poniższej tabeli. Podać rozkład prawdopodoxi
pi
-3
0.1
-2
0.2
-1
0.2
0
0.3
1
p
2
0.1
bieństwa zmiennej Y = X 2 + 2. Narysować jej dystrybuantȩ i obliczyć jej wartość oczekiwana̧ i wariancjȩ.
Zadanie 8. Zmienne losowe X i Y sa̧ niezależne i EX = 2, V arX = 1, EY = 1, V arY = 4. Znaleźć wartość oczekiwana̧ i
wariancjȩ zmiennej losowej Z = 3X − 5Y .
Zadanie 9. Niech P (X = 2n ) = α5−n dla n = 1, 2, . . .. Obliczyć α. Obliczyć EX i V arX.
Zadanie 10. Obliczyć i narysować dystrybuantȩ zmiennej losowej o rozkładzie wykładniczym o gȩstości f (x) = λe−λx dla
x ­ 0. Obliczyć wartość oczekiwana̧ i wariancjȩ tej zmiennej.
1