Statystyka stosowana Lista zadań 1. W celu sprawdzenia pracy

Statystyka stosowana
Lista zadań
1. W celu sprawdzenia pracy automatycznej obrabiarki pobiera się próbę 4elementową z bieżącej produkcji. Element próby jest kwalifikowany jako brak,
jeżeli jego wymiary nie mieszczą się w granicach tolerancji. Jak wygląda
przestrzeń zdarzeń elementarnych? Opisać zdarzenia: a) w próbie nie będzie
braków, b) w próbie będą co najmniej dwa braki.
2. Rzucamy monetą tak długo, aż upadnie dwa razy pod rząd na tę samą stronę.
Jak wygląda przestrzeń zdarzeń elementarnych? Opisać zdarzenia: a) gra
skończy się przed piątym rzutem, b) będzie potrzebna parzysta liczba rzutów,
c) moneta nigdy nie upadnie dwa razy pod rząd na tę samą stronę.
3. Na karcie egzaminacyjnej jest 5 pytań i 3 możliwe odpowiedzi na każde z nich.
Należy wybrać jedną poprawną odpowiedź na każde pytanie. Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania 4 poprawnych odpowiedzi, jeżeli egzaminowany
odpowiedzi zgaduje?
4. Z partii N sztuk towaru, wśród których jest M sztuk zgodnych z normą losujemy n sztuk a) bez zwrotu, b) ze zwrotem. Obliczyć prawdopodobieństwo,
że wśród nich znajdzie się dokładnie k sztuk zgodnych z normą.
5. Na odcinku [0, 1] umieszczamy losowo punkty L i M . Jakie jest prawdopodobieństwo, że środek odcinka LM należy do odcinka [0, 1/3]?
6. Na odcinku [0, 1] umieszczamy losowo i niezależnie punkty x i y. Niech A
będzie zdarzeniem polegającym na tym, że x > y + 0.5, a B zdarzeniem
polegającym na tym, że x < 0.5. Czy A i B są niezależne?
7. Partię 100 wyprodukowanych przedmiotów poddaje się wyrywkowej kontroli.
Warunkiem odrzucenia całej partii jest znalezienie choćby jednego wadliwego przedmiotu wśród pięciu sprawdzanych. Jakie jest prawdopodobieństwo
odrzucenia danej partii, jeśli zawiera ona 5% przedmiotów wadliwych?
8. Prawdopodobieństwo trafienia w ”dziesiątkę” przy jednym strzale wynosi
0.2. Ile należy oddać niezależnych strzałów aby z prawdopodobieństwem co
najmniej 0.9 trafić w ”dziesiątkę” co najmniej raz?
9. Rzucamy dwiema kostkami do gry. Obliczyć prawdopodobieństwo wyrzucenia
więcej niż trzech oczek na pierwszej kostce, jeżeli wiadomo, że suma liczby
oczek na obu kostkach jest mniejsza od sześciu.
10. W urnie pierwszej są dwie białe kule i jedna czarna, w drugiej jedna biała i
dwie czarne. Z pierwszej urny losujemy jedną kulę i przekładamy do drugiej.
Następnie z drugiej urny losujemy dwie kule. Jakie jest prawdopodobieństwo,
że będą to dwie białe kule?
11. Pewna choroba występuje w 0.2% ogółu ludzkości. Przygotowano test do jej
wykrycia. Test daje wynik pozytywny u 97% chorych i 1% zdrowych. Obliczyć
prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrana osoba jest chora, jeśli test tej
osoby dał wynik pozytywny.
12. Z badań genealogicznych wynika, że kobieta jest nośnikiem hemofilii z prawdopodobieństwem p. Jeżeli kobieta jest nośnikiem hemofilii, to każdy jej syn
dziedziczy tę chorobę z prawdopodobieństwem 0.5. Kobieta, która nie jest
nośnikiem hemofilii rodzi zdrowych synów. Obliczyć prawdopodobieństwo,
że a) pierwszy syn będzie zdrowy, b) drugi syn będzie zdrowy, jeśli pierwszy
syn jest zdrowy, c) kobieta nie jest nośnikiem hemofilii, jeśli dwaj pierwsi
synowie są zdrowi.
13. Wyznaczyć stałą a tak, by funkcja





F (x) = 



0
2 1−
1
1
x
dla x ¬ 1,
dla 1 < x ¬ a,
dla x > a.
była dystrybuantą zmiennej losowej X typu ciągłego. Obliczyć P (−1 ¬ X ¬
1, 5).
14. Zmienna losowa X ma rozkład o gęstości


f (x) = 
a(1 − x2 ) dla |x| ¬ 1,
0
dla |x| > 1.
Wyznaczyć wartość parametru a, naszkicować wykres gęstości i obliczyć wartość oczekiwaną, medianę i trzeci moment centralny zmiennej X.
15. Niezależne zmienne losowe X1 i X2 mają dystrybuantę





F (x) = 



0
dla x ¬ −1,
x + 1 dla −1 < x ¬ 0,
1
dla x > 0.
Niech X = −2X1 − 5X2 + 10. Obliczyć EX oraz D2 X.
16. Niech Ω = {0, 1, 2, 3} oraz P ({ω}) = 1/4 dla każdego ω ∈ Ω. Znaleźć rozkład
i dystrybuantę zmiennej losowej Y (ω) = cos(0.5πω).
17. Niech P (X = 2n ) = α5−n dla n = 1, 2, ... Obliczyć α. Dla jakich k istnieją, a
dla jakich k nie istnieją momenty rzędu k? Obliczyć EX i D2 X.
18. Prawdopodobieństwo wygrania nagrody na loterii wynosi 0.1. W loterii uczestniczy 20 grających. Obliczyć a) prawdopodobieństwo, że żaden nie wygra, b)
prawdopodobieństwo, że wygra co najmniej jeden, c) oczekiwaną liczbę wygranych.
19. Podręcznik wydano w nakładzie 5000 egzemplarzy. Prawdopodobieństwo tego, że podręcznik zostanie źle oprawiony jest równe 0.001. Znaleźć prawdopodobieństwo tego, że w nakładzie pojawią się co najmniej dwie źle oprawione
książki.
20. Prawdopodobieństwo zdania egzaminu przez studenta pewnej niepublicznej
szkoły wyższej wynosi 0.98. Zakładając, że studenci zdają egzaminy niezależnie od siebie, obliczyć przwdopodobieństwo, że ze 100 studentów egzaminy
zda co najmniej 97 studentów.
21. Niech X oznacza czas oczekiwania na wyrzcenie szóstki przy rzucie kostką.
Znaleźć rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej X. Obliczyć prawdopodobieństwo, że szóstkę wyrzucimy po raz pierwszy a) dokładnie w dziesiątym rzucie, b) najpóźniej w dziesiatym rzucie, c) nie wcześniej, niż w
jedenastym rzucie.
Zadania pochodzą z książek:
H. Jasiulewicz, W. Kordecki, Rachunek przwdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Przykłady i zadania.
W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski, Rachunek
prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach
Paweł Sztonyk
(www.im.pwr.wroc.pl/~sztonyk)