Fale Rodzaje fal Rodzaje fal Własności fali

Fale
Rodzaje fal
t
t + ∆t
Rodzaje fal
• Poprzeczne: Kierunek drgań prostopadły do kierunku
rozchodzenia się fali.
– Fale na wodzie
– Drgania struny
– Fale elektromagnetyczne w próŜni
Własności fali
Długość: Odległość λ pomiędzy punktami o identycznych własnościach.
●
●
Amplituda: Maksymalne odchylenie A od punktu równowagi .
●
Liczba falowa: k = 2π/λ
Długość fali
y
• PodłuŜne: Kierunek drgań równoległy do kierunku
rozchodzenia się fali.
- Fale dźwiękowe
λ
Amplituda A
x
A
Własności fali
●
Okres: Okres czasu w jakim punkt fali wykonuje jedno pełne drganie.
●
Częstotliwość: Ilość drgań w ciągu jednej sekundy,
f = 1/T.
●
Prędkość fazowa: Prędkość z jaką przemieszcza się czoło fali
v = λ / T = ( 2π / k ) / T = ( 2π / T ) / k = ω / k
•
Prędkość fazowa zaleŜy jedynie od własności ośrodka w
którym rozchodzi się fala, a nie zaleŜy od jej amplitudy
y
t=0
Równanie fali
λ
v
A
W punkcie x=0 znajduje się źródło fali
powodujące zaburzenia ośrodka wg równania
x
y
λ
v
t = T/4
λ
v
x
λ
v
t = 3T/4
y
λ
v
x
x
y
x k
= x
v ω
Zmiany w punkcie x=b są opóźnione o τ
względem zmian w punkcie x=0
0
y ( x , t ) = A cos(ω t − kx + φ )
x=b
x
y
y ( x , t ) = A cos(ω (t − τ ) + φ )
x
t=T
Zaburzenie to dociera do punktu x=b
po czasie
τ=
t = T/2
y
y (0 , t ) = A cos(ω t + φ )
0
x
y
y
v
0
x=vτ
x
Energia fali poprzecznej
s( x, t) = smax cos(ωt − kx)
y ( x , t ) = A cos(ω t − kx + φ )
Energia kinetyczna :
y ( x , t ) = A cos( Φ )
∆K =
Φ = ω t − kx + φ
v=
dΦ
dx
=ω −k
=0
dt
dt
∆K =
Prędkość fazowa fali
1 T ∆K
1
 ∆K 
2
=
dt = ρAvdzwięz ω 2 smax


∫
4
 ∆t  średnia T 0 ∆t
∂s
= −ωsmax sin(ωt − kx )
∂t
1
( ρ A ∆ x )( − ω s max ) 2 sin 2 (ω t − kx )
2
∆m = ρV
dx ω
v=
=
dt k
Energia fali poprzecznej
1 2
v ∆m
2
∆K
1
∆x
= ( ρA
)( − ω s max ) 2 sin 2 ( kx − ω t )
∆t
∆t
2
Energia fali
Ilość energii przepływająca w jednostce czasu przez
jednostkę powierzchni – gęstość strumienia energii
Taka sama jest szybkość zmian energii potencjalnej
T
 ∆E p 
1 ∆E p
1
2
dt = ρ Avdzwięk ω 2 smax
=


∫
∆
∆
4
t
T
t

 średnia
0
Razem:
 ∆E 
=


 ∆t  średnia
1
2
ρAvdzwięz ω 2 smax
2
j=
1  ∆E 
=


A  ∆t  średnia
1
2
ρvdzwięz ω 2 smax
2
Superpozycja fali
• Co się stanie gdy „zderzą” się dwie fale
Podstawowe własności fali
•Interferencja
•Dyfrakcja
Interferencja fali
Interferencja fali
ξ ( r, t ) = A cos(ωt − kr )
ξ w = A cos(ωt − kr1 ) + A cos(ωt − kr2 )
= 2 A cos(
k ( r2 − r1 )
k (r + r )
) cos(ωt − 1 2 )
2
2
amplituda
Maksimum amplitudy:
k ( r2 - r1 )
2π
= mπ ⇒
d sin θ = 2mπ
λ
2
Maksima dla:
Minima dla:
d sin θ = m λ
d sin θ = (m + ½) λ
PołoŜenie prąŜków na ekranie
Dudnienia
- interferencja fal o zbliŜonych częstościach
y = R tan θ
mλ
maksima są dla sin θ =
d
Dla małych θ, sin θ ≅ tan θ , więc
y=
mλ
R
d
ω1 ≈ ω 2
A cos( ω1 t ) + A cos( ω 2 t ) = 2 A cos (ω L t ) cos (ω H t )
1
1
gdzie
ω L = (ω1 − ω 2 ) oraz
ωH = (ω1 + ω2 )
2
2
Odległość pomiędzy najbliŜszymi prąŜkami
mλ
( m + 1) λ
R
R−
d
d
R
∆y = λ
d
∆y =
Dudnienia
cos(ωLt)
Fale stojące
• Rozpatrzmy interferencję dwu fal o jednakowych
częstotliwościach a rozchodzący się w przeciwnych kierunkach:
yR(x,t) = A cos(ω t--kx)
yL(x,t) = A cos(kx + ω t)
PoniewaŜ
α − β  α + β 
cos(α) + cos(β ) = 2cos
cos

 2   2 
ySUM(x,t) = 2Acos(kx) cos(ω t)
amplituda
maksima gdy kx = 0 +nπ
Zero gdy kx = π +nπ
Część oscylacyjna
xmax =
∆xmax =
λ
2
π
k
n = n⋅
λ
2
( n + 1) − n ⋅
λ
2
=
λ
2
Fale stojące
∆xmax =
∆x zero =
strzałka
λ
2
λ
2
( n + 1) − n ⋅
( n + 1) − n ⋅
węzeł
λ
2
λ
2
=
=
λ
Fale stojące -struna
2
λ
2
fn =
v
λn
=n
v
,
2L
n = 1, 2, 3, . . .
Dyfrakcja
Dyfrakcja