Lista 1 - Powtórzenie wiadomo±ci o funkcjach rzeczywistych.

Poni»sza lista stanowi uzupeªnienie listy zada« Analiza matematyczna 1 (2015/2016) autorstwa dra Mariana Gewerta i
doc. Zbigniewa Skoczylasa obowi¡zuj¡cej na ¢wiczeniach i ma pomóc Pa«stwu lepiej opanowa¢ materiaª kursu Analizy
matematycznej 1. Niektóre zadania zostaªy zaczerpni¦te z list publikowanych przez dr Jolant¦ Sulkowsk¡ oraz z listy
zada« Wst¦p do analizy matematycznej opublikowanej na starej stronie Instytutu Matematyki i Informatyki PWr.
Paulina Frej
Lista 1 - Powtórzenie wiadomo±ci o funkcjach rzeczywistych.
1. (uzupeªnienie do zad. 8 i 20 z listy GiS) Wyznaczy¢ dziedziny naturalne podanych funkcji. Zaznaczy¢ otrzymane zbiory na osi wspóªrz¦dnych.
(b)
p
f (x) = x2 − x − 2,
p
p
f (x) = ln(1−x) + x2 +x+1,
(c)
f (x) =
(d)
√
f (x) = ln(x + 1) + arccos 2x,
(a)
(e)
(f )
1
,
|x − 3| − 6
(g)
(h)
f (x) = p√
1
3 − 3 tg x
f (x) = log(cos log x),
1
f (x) = √
,
3
2
x −1
√
4x − 2x+1
f (x) =
,
|x + 4| − 1
,
x+1
,
x−2
(i)
f (x) = arcsin
(j)
f (x) = ln(1 − 2 cos x),
(k)
f (x) =
(l)
|x − 1|
,
x2 − 1
f (x) = ex
2
−1
,
2. (uzupeªnienie do zad. 8 i 20) Wyznaczy¢ dziedziny naturalne oraz zbiory warto±ci podanych funkcji. Odpowied¹
uzasadni¢.
√
(a)
f (x) =
(d)
f (x) = √
3
(g)
f (x) = ln(1 − 2 cos x),
sin x,
1
x2
−1
,
1
,
1 + cos x
(b)
f (x) =
(e)
√
f (x) = − arcsin x,
(h)
f (x) =
1
,
|x − 3| − 6
(c)
f (x) =
p
x2 − x − 2,
(f )
f (x) =
|x − 1|
,
x2 − 1
(i)
f (x) = ex
2
−1
.
3. Wyznaczy¢ dziedziny podanych funkcji. Przedstawi¢ wzory funkcji w najprostszej mo»liwej postaci.
(a)
f (x) =
x2 − 5x + 6
,
x2 − 4x + 3
(b)
f (x) =
x3 − 27
,
x−3
4. (uzupeªnienie do zad. 10) Dla podanych funkcji
(c)
f
i
g
f (x) =
x4 + x2 + 1
,
x3 + 1
wykona¢ zªo»enia
(d)
f ◦ g, g ◦ f , f ◦ f
f (x) =
i
g◦g
x2 − 5x + 6
,
x2 − 4x + 2
oraz okre±li¢ ich
dziedziny naturalne.
(a)
f (x) = x3 , g(x) = 2x + 1,
(b)
f (x) = x2 + 4, g(x) =
5. (uzupeªnienie do zad. 10) Dane s¡ funkcje
Wykona¢ zªo»enia
f, g
i
h
√
2x + 1,
okre±lone wzorami
f (x) = 2x , g(x) = sin x
oraz
h(x) = |x|.
f ◦ g ◦ h, g ◦ f ◦ h, f ◦ h ◦ g , h ◦ g ◦ f , g ◦ f ◦ g , h ◦ g ◦ h, g ◦ g ◦ g ◦ g .
6. Poda¢ funkcje elementarne, z których powstaªy nast¦puj¡ce zªo»enia.
(a)
f (x) = sin2 x,
(b)
f (x) =
√
3
3x + 1 ,
(c)
f (x) =
1
,
ln 2x
(d)
f (x) = √
1
ex
+3
,
7. (uzupeªnienie do zad. 13 i 17) Naszkicowa¢ wykresy podanych funkcji.
(d)
|x|
f (x) = − 4,
2
x−1
f (x) =
,
x−2
f (x) = x2 − 4 |x| + 7,
p
f (x) = 1 − |x| − 2,
(e)
f (x) = 2−x − 2,
(a)
(b)
(c)
(i)
f (x) = ||log2 (x − 2)| − 1|,
x
f (x) = 1 + tg ,
2
π
f (x) = cos(|x| + ),
2
f (x) = 2 sin 2x − |sin 2x|,
(j)
f (x) =
(f )
(g)
(h)
(k)
(l)
(m)
|ctg x|
,
ctg x
(n)
(o)
f (x) = π − arctg x,
π
f (x) = + arcsin x,
2
f (x) = arccos(2x),
π
f (x) = + arctg(2x),
2
1−x
f (x) = arcsin
,
4
8. (uzupeªnienie do zad. 14) Znale¹¢ funkcje odwrotne do podanych funkcji. Wyznaczy¢ dziedziny naturalne i zbiór
warto±ci funkcji oraz funkcji odwrotnych.
(a)
f (x) = log2 (3x + 1),
(d)
f (x) = arcsin (x + 1) −
(b)
f (x) = 1 − 3−x ,
π
+ 2,
f (x) = sin x +
4
(e)
f (x) = log3 (x − 1) + 2,
x−1
1
,
f (x) = 3 + sin
3
x+1
(c)
(f )
π
,
2
p
1 − x2 ,
(g)
f (x) = 4 arcsin
(h)
f (x) = 1 + 2 sin
x−1
x+1
,
9. (uzupeªnienie do zad. 14) Znale¹¢ funkcje odwrotne do podanych funkcji.
(a)
f (x) = x2 + x,
dla
(b)
f (x) = x2 + x,
dla
(c)
f (x) = sin 3x,
x < − 12 ,
(d)
f (x) = log5 (x2 + 5),
dla
x > 0,
(e)
f (x) = log5 (x2 + 5),
dla
x < 0,
(f )
f (x) = cos2 2x,
dla
x ∈ 0, π2
x > − 12 ,
π π
dla x ∈ − 6 , − 6 ,
,
10. Zapami¦ta¢ nast¦puj¡ce to»samo±ci trygonometryczne:
sin2 x + cos2 x = 1,
sin 2x = 2 sin x cos x,
cos 2x = cos2 x − sin2 x,
tg x =
sin x
,
cos x
ctg x =
cos x
.
sin x
11. (uzupeªnienie do zad. 18) Uzasadni¢ to»samo±ci trygonometryczne i poda¢ ich dziedziny.
x
2
x,
2
(c)
cos x(tg x + ctg x) =
x
sin x
=
,
2
1 − cos x
(d)
tg2 x − ctg2 x =
(a)
cos x =
(b)
ctg
1 − tg2
1 + tg2
1
,
sin x
(e)
sin x =
1
1
−
,
cos2 x sin2 x
(f )
sin x =
2 tg x2
,
1 + tg2 x2
tg
x
2
2
+ ctg
x,
2
12. (uzupeªnienie do zad. 19) Poda¢ warto±¢ podanych wyra»e«.
(a)
√ √
√
− arccos 12 + arctg − 33 + arctg 3 − 4 arcsin 22 ,
(b)
√ 3 arccos − 23 + arctg(tg π4 ) − arcsin(sin π2 ),