MATERIAŁY POMOCNICZE DO MATURY Z MATEMATYKI

MATERIAŁY POMOCNICZE
DO MATURY
Z MATEMATYKI
1. Zbiory. Działania na zbiorach.
Zbiór, element zbioru – pojęcia pierwotne.
Jeśli x należy do ( jest elementem ) zbioru A, to piszemy x∈A, jeśli y nie należy do zbioru A,
piszemy y∉A.
Każdy zbiór jest wyznaczony przez swoje elementy.
Zbiór skończony – zbiór o skończonej liczbie elementów.
Zbiór pusty ( symbol ∅ ) – zbiór, do którego nie należy żaden element.
Zbiór nieskończony – zbiór, który nie jest ani skończony, ani pusty.
Równość zbiorów:
A = B ⇔ (dla każdego x : x∈A ⇔ x∈B )
Zawieranie się zbiorów, podzbiory:
A ⊂ B ⇔ ( dla każdego x: x∈A ⇒ x∈B )
Zbiory rozłączne - zbiory nie mające żadnego elementu wspólnego.
Suma zbiorów A ∪ B:
Iloczyn zbiorów A ∩ B:
Różnica zbiorów A \ B:
x∈A ∪ B ⇔ ( x∈A lub x∈B )
x∈A ∩ B ⇔ ( x∈A i x∈B )
x∈A \ B ⇔ ( x∈A i x∉B )
Dopełnienie zbioru A ( symbol A’ ):
Jeśli wszystkie rozpatrywane przez nas zbiory są podzbiorami ustalonego zbioru X, to zbiór X
nazywamy przestrzenią.
Jeśli X jest przestrzenią i A ⊂ X, to A’ = X \ A
Iloczyn kartezjański ( produkt ) zbiorów A × B:
Parę elementów (x,y), w której wyróżniono element x jako pierwszy nazywamy parą
uporządkowaną.
( x, y )∈A×B ⇔ ( x∈A i y∈B )
Zestawienie niektórych praw rachunku zbiorów:
nazwa prawa
przemienność dodawania
przemienność iloczynu
łączność dodawania
łączność iloczynu
rozdzielność mnożenia względem dodawania
rozdzielność dodawania względem mnożenia
prawa
de’Morgana
2
treść prawa
A∪B=B∪A
A∩B=B∩A
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
(A ∪ B) ∩ C =(A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
(A ∩ B) ∪ C =(A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
(A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
(A ∪ B)’ = A’ ∩ B’
2. Układy równań i nierówności.
Wartość bezwzględna liczby rzeczywistej
 a gdy a ≥ 0
a =
 − a gdy a < 0
Nierówności z wartością bezwzględną
x > a , to x∈( -∞, -a ) ∪ ( a, ∞ )
x < a , to x∈( -a, a )
x ≥ a , to x∈( -∞, -a ] ∪ [ a, ∞ )
x ≤ a , to x∈[ -a, a ]
Rozwiązywanie układów równań liniowych
Rozwiązaniem układu równań liniowych ( stopnia pierwszego ) z dwiema niewiadomymi
nazywamy każdą uporządkowaną parę liczb spełniających oba równania układu.
 a x + b1 y = c1
Dany jest układ równań  1
a 2 x + b 2 y = c 2
Wyznacznikami układu nazywamy liczby:
a
W= 1
a2
Wx =
Wy =
b1
b2
(*)
= a1 ⋅ b2 - a2 ⋅ b1;
c1
c2
b1
= c1 ⋅ b2 - c2 ⋅ b1;
b2
a1
c1
a2
c2
= a1 ⋅ c2 - a2 ⋅ c1;
Układ równań (*) nazywamy układem równań:
a) niezależnych ⇔ W ≠ 0, to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorami:
Wy
W
x= x , y=
,
W
W
geometryczną interpretacją układu są dwie proste przecinające się,
b) zależnych ⇔ W = 0 i Wx = 0 i Wy = 0, to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań ( x, y )
takich, że x∈R, a y = − ab11 x + bc11 ;
geometryczną interpretacją układu są dwie proste pokrywające się;
c) sprzecznych ⇔ W = 0 i Wx ≠ 0 lub Wy ≠ 0, zbiór rozwiązań układu jest zbiorem pustym,
geometryczną interpretacją układu są dwie różne proste równoległe.
3
3. Funkcja kwadratowa.
Funkcją kwadratową ( trójmianem kwadratowym ) nazywamy funkcję f określoną wzorem
postaci
f(x) =ax2+bx+c,
gdzie a, b, c ∈ R i a ≠ 0.
Kanoniczną postacią trójmianu kwadratowego nazywamy postać
b 
∆

f (x) = a x +  −
,
2a 
4a

gdzie ∆ =b2-4ac. Liczbę ∆ nazywamy wyróżnikiem trójmianu.
Miejsca zerowe funkcji kwadratowej:
• funkcja kwadratowa ma dwa różne miejsca zerowe x1, x2 wtedy i tylko wtedy, gdy ∆>0, wtedy
−b− ∆
−b+ ∆
,
,
x1 =
x2 =
2a
2a
• funkcja kwadratowa ma dokładnie jedno miejsce zerowe x1 wtedy i tylko wtedy, gdy ∆=0,
b
x1 = − ,
2a
• funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych wtedy i tylko wtedy, gdy ∆<0.
Iloczynowa postać funkcji kwadratowej:
• jeżeli ∆>0, to trójmian kwadratowy y = ax2+bx+c (a≠0) można przedstawić w postaci iloczynu
y = a(x-x1)(x-x2),
gdzie x1, x2 oznaczają miejsca zerowe trójmianu;
• jeżeli ∆=0, to trójmian kwadratowy y= ax2+bx+c (a≠0) można przedstawić w postaci iloczynu
y = a(x-x1)2,
gdzie x1 jest miejscem zerowym trójmianu.
Wzory Viete’a
Jeżeli trójmian kwadratowy y= ax2+bx+c (a≠0) ma miejsce zerowe (dwa lub jedno) x1, x2, to
b
x1 + x 2 = − ,
a
c
x1 ⋅ x 2 = .
a
Wykres funkcji kwadratowej y= ax2+bx+c, gdzie a≠0, jest krzywą zwaną parabolą. Wierzchołek
∆
 b
paraboli ma współrzędne: W =  − ,−  .
 2a 4a 
Dla a < 0 wierzchołek paraboli jest maksimum funkcji kwadratowej, natomiast dla a > 0
wierzchołek paraboli jest minimum funkcji kwadratowej.
2
a>0
∆<0
a >0
∆=0
a>0
∆>0
a<0
∆<0
4
a<0
∆=0
a<0
∆>0
4. Wielomiany
Wielomianem stopnia n jednej zmiennej nazywamy funkcję W:R→R określoną wzorem
postaci:
W(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn,
gdzie a0, a1, a2, ..., an ∈ R i an≠0, n ∈ N.
Liczby a0, a1, a2, ..., an nazywamy współczynnikami wielomianu W.
Dwa wielomiany są równe wtedy i tylko wtedy, gdy są tego samego stopnia i mają równe
współczynniki przy odpowiednich potęgach zmiennej.
Wielomian W jest podzielny przez wielomian W1 jeśli istnieje wielomian Q taki, że
W(x) = W1(x)⋅Q(x) dla każdego x ∈ R.
Dla każdej pary wielomianów W i W1 takich, że stopień wielomianu W1 jest dodatni, istnieje
dokładnie jeden układ wielomianów Q i R, dla których W(x)=W1(x)⋅Q(x)+R(x) ( dla każdego
x ∈ R ) i stopień wielomianu R jest mniejszy od stopnia wielomianu W1 lub wielomian R jest
zerowy. Wielomian R nazywa się resztą z dzielenia wielomianu W przez wielomian W1.
Reszta z dzielenia wielomianu W przez dwumian postaci ( x – r ), gdzie r ∈ R, jest równa liczbie
W(r).
Twierdzenie Bézouta. Liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W wtedy i tylko wtedy, gdy
wielomian W jest podzielny przez dwumian ( x –a ).
Jeżeli liczba wymierna
p
jest miejscem zerowym wielomianu W(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn, gdzie
q
an≠0, to q jest dzielnikiem współczynnika an, zaś p jest dzielnikiem współczynnika a0.
5
5. Funkcja wykładnicza i logarytmiczna
Funkcją wykładniczą jednej zmiennej nazywamy funkcję f: ( R ) → R+ określoną wzorem postaci:
f ( x ) = ax, gdzie a∈R+ .
Własności funkcji wymiernej:
Funkcja f ( x ) = ax przyjmuje tylko wartości dodatnie;
Funkcja f ( x ) = ax jest rosnąca gdy a > 1;
Funkcja f ( x ) = ax jest stała gdy a = 1;
Funkcja f ( x ) = ax jest malejąca gdy 0 < a < 1.
Równania i nierówności wymierne:
Jeżeli a > 0 i a ≠ 1
oraz
ax = a y
to
x = y;
Jeżeli a > 1
oraz
ax > ay ( ax < ay )
x > y ( x < y );
Jeżeli a > 1
oraz
ax ≥ ay ( ax ≤ ay )
to
to
x ≥ y ( x ≤ y );
Jeżeli 0 < a < 1
oraz
ax > ay ( ax < ay )
to
x < y ( x > y );
Jeżeli 0 < a < 1
oraz
ax ≥ ay ( ax ≤ ay )
to
x ≤ y ( x ≥ y ).
Logarytm dodatniej liczby b przy podstawie a ( a > 0 i a ≠ 1 ) jest to wykładnik potęgi, do której
należy podnieść a, żeby otrzymać b:
log a b = z ⇔ az = b.
Z określenia logarytmu wynika, że log a 1 = 0, log a a = 1.
Funkcją logarytmiczną jednej zmiennej nazywamy funkcję f: ( R+ ) → R określoną wzorem
postaci:
gdzie a∈R+\{1}.
f ( x ) = log a x,
Własności funkcji wymiernej:
Funkcja f ( x ) = log a x jest rosnąca gdy a > 1;
Funkcja f ( x ) = log a x jest malejąca gdy 0 < a < 1.
Twierdzenia o logarytmach:
Jeśli a, b, c∈R+ i a ≠ 1, to log a (b⋅c) = log a b + log a c oraz log a b = log a b - log a c;
Jeśli a, b ∈R+ , a ≠ 1 i r∈R, to log a br = r log a b;
Jeśli a, b, x∈R+ , a ≠ 1 i b ≠ 1, to log a b =
log x b
log x a
6
c
( zmiana podstawy logarytmu ).
6. Funkcje trygonometryczne
Jeśli α jest miarą kąta skierowanego XOP = α , P jest dowolnym punktem końcowego ramienia
tego kąta ( P ≠ O, x i y są współrzędnymi P, PO = r , to
y
,
r
sin α =
y
cos α = x , tg α = ( gdy x ≠ 0 ), ctg α = x ( gdy y ≠ 0 ).
r
y
x
Związki między funkcjami tego samego kąta x:
sin2x + cos2x = 1,
dla x ≠(2k+1)⋅ Π , k∈C,
sin x
,
cos x
tg x =
ctg x =
dla x∈ R,
2
dla x ≠ kΠ, k∈C,
cos x
,
sin x
tg x ⋅ ctg x = 1,
dla x≠k⋅ Π , k∈C.
2
Funkcje trygonometryczne kąta podwójnego:
sin 2x = 2⋅sin x⋅cos x,
cos 2x = cos2x - sin2x = 1 - 2sin2x = 2 cos2x – 1,
2 tg x
tg 2x =
2
,
1 − tg x
ctg 2x =
ctg 2 x − 1
,
2 ctg x
dla x≠(2k+1)⋅ Π i x≠(2k+1)⋅ Π , k∈C,
4
2
dla x≠k⋅ Π , k∈C.
2
Funkcje trygonometryczne są okresowe. Okresem zasadniczym funkcji sinus i cosinus jest 2Π,
a okresem zasadniczym funkcji tangens i cotangens jest Π.
Równania trygonometryczne są to równania, w których niewiadome występują pod znakami
funkcji trygonometrycznych.
Tabela zawiera rozwiązania najprostszych równań trygonometrycznych:
Równanie
Rozwiązanie
sin x = a, |a|<1
x = kΠ+(-1)kx0, k∈C
cos x = a, |a|<1
x = 2kΠ ± x0,
x = kΠ + x0,
k∈C
ctg x = a, a∈R
x = kΠ + x0,
k∈C
tg x = a, a∈R
k∈C
7
x0 jedyne rozwiązanie równania
należące do przedziału
(− Π2 , Π2 )
( 0, Π )
(− Π2 , Π2 )
(− Π2 ,0)∪ (0, Π2 )
7. Funkcje wymierne. Równania i nierówności wymierne.
Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy funkcję F: ( R \ A ) → R określoną wzorem
postaci:
W(x)
,
F(x ) =
W1 ( x )
gdzie W i W1 są wielomianami, zaś A jest zbiorem wszystkich miejsc zerowych wielomianu W1.
Równaniem wymiernym nazywamy równanie postaci:
W(x)
= 0,
W1 ( x )
gdzie W i W1 są wielomianami.
Rozwiązaniem równania
W(x)
= 0 nazywamy każdą liczbę r, dla której W1(r)≠0 i W(r)=0.
W1 ( x )
Nierównością wymierną nazywamy nierówność postaci
W(x)
W(x)
W(x)
W(x)
> 0 , lub
< 0 , lub
≥ 0 , lub
≤0,
W1 ( x )
W1 ( x )
W1 ( x )
W1 ( x )
gdzie W i W1 są wielomianami.
Nierówności
W(x)
W(x)
> 0,
<0
W1 ( x )
W1 ( x )
są równoważne odpowiednio nierównościom w postaci iloczynu:
W(x)⋅W1(x)>0, W(x)⋅W1(x)<0.
Natomiast nierówności
W(x)
≥0,
W1 ( x )
W(x)
≤0
W1 ( x )
są równoważne odpowiednio układom:
W ( x ) ⋅ W1 ( x ) ≥ 0
,

 W1 ( x ) ≠ 0
W ( x ) ⋅ W1 ( x ) ≤ 0
.

 W1 ( x ) ≠ 0
8
8. Ciągi
Zasada indukcji matematycznej ( zupełnej )
Jeżeli twierdzenie, które dotyczy liczb naturalnych, jest
(1)
prawdziwe dla ustalonej liczby naturalnej n0,
(2)
jeżeli dla każdej liczby naturalnej k ≥ n0 z założenia prawdziwości twierdzenia dla k wynika,
że jest ono prawdziwe dla liczby następnej k + 1,
to twierdzenie jest prawdziwe dla każdej liczby naturalnej n ≥ n0.
Ciągiem nieskończonym nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych dodatnich
( N \ { 0 } ). Wartości tej funkcji nazywamy wyrazami ciągu i oznaczamy f ( n ) = an. Jeżeli wyrazy
ciągu są liczbami rzeczywistymi , to ciąg nazywamy ciągiem liczbowym.
Ciąg o wyrazach a1, a2,..., an, ... oznaczamy ( an ).
Ciąg liczbowy ( an ) nazywamy:
ciągiem rosnącym wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego n∈N\{0} zachodzi an < an+1;
ciągiem malejącym wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego n∈N\{0} zachodzi an > an+1;
ciągiem niemalejącym wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego n∈N\{0} zachodzi an ≤ an+1;
ciągiem nierosnącym wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego n∈N\{0} zachodzi an ≥ an+1.
Ciągi rosnące lub malejące nazywamy monotonicznymi.
Granice ciągu
Liczba g jest granicą ciągu liczbowego ( an ) wtedy i tylko wtedy, gdy do każdego otoczenia
liczby g należą wszystkie wyrazy tego ciągu z wyjątkiem skończonej ich ilości.
lim a n = g ⇔ ∧ ∨ ∧ a n − g < ε .
n →∞
ε >0 M n >M
Ciąg liczbowy ( an ) jest rozbieżny do +∞
∞ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby A
wszystkie wyrazy tego ciągu oprócz skończonej ich ilości są większe od A..
lim a n = +∞ ⇔ ∧ ∨ ∧ a n > A .
n →∞
A M n>M
Ciąg liczbowy ( an ) jest rozbieżny do -∞
∞ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdej liczby B
wszystkie wyrazy tego ciągu oprócz skończonej ich ilości są mniejsze od B..
lim a n = +∞ ⇔ ∧ ∨ ∧ a n < B .
n →∞
B M n >M
Prawdziwe są następujące twierdzenia:
1. Jeżeli lim a n = a i lim b n = b , to:
n →∞
n →∞
a) lim (a n + b n ) = a + b,
b) lim (a n − b n ) = a – b,
n →∞
n →∞
c) lim (a n ⋅ b n ) = a ⋅ b,
a
d) jeżeli lim b n ≠ 0 , to lim n = a .
b
n →∞
n →∞ b n
n →∞
2. Jeżeli dla każdego n∈N\{0} an > 0 i lim a n = 0 , to lim 1 = +∞ .
n →∞
n →∞ a n
3. Jeżeli dla każdego n∈N\{0} an < 0 i lim a n = 0 , to lim 1 = −∞ .
n →∞
n →∞ a n
4. Jeżeli lim a n = ∞ , to lim 1 = 0 .
n →∞
n →∞ a n
5. Jeżeli lim a n = 0 i ciąg ( bn ) jest ciągiem ograniczonym, to lim (a n ⋅ b n ) = 0 .
n →∞
n →∞
9
9. Ciągi arytmetyczny i geometryczny
Ciąg arytmetyczny
Ciąg ( an ) nazywamy arytmetycznym wtedy i tylko wtedy, gdy różnica między dowolnym
wyrazem ciągu a wyrazem bezpośrednio go poprzedzającym, jest stała dla danego ciągu.
an+1 - an = r
Dla dowolnego ciągu ( an ) przez Sn oznaczamy sumę pierwszych n wyrazów tego ciągu, tzn.
Sn = a1 + a2 + ... + an.
Jeżeli ciąg ( an ) jest ciągiem arytmetycznym o różnicy r, to prawdziwe są wzory:
dla każdego n∈N\{0} an = a1 + ( n – 1 ) r,
a
+ a n +1
dla każdego n∈N\{0} an = n −1
,
2
a + an
2a + (n − 1)r
dla każdego n∈N\{0} Sn = 1
⋅n= 1
⋅n.
2
2
Ciąg geometryczny
Ciąg ( an ) nazywamy geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy a1 ≠ 0 i iloraz dowolnego
wyrazu tego ciągu i wyrazu bezpośrednio go poprzedzającego, jest dla danego ciągu stały.
a n +1
=q
an
Jeżeli ciąg ( an ) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie q ≠ 0, to prawdziwe są wzory:
dla każdego n∈N\{0} an = a1 ⋅qn-1,
dla każdego n∈N\{0} an2 = an-1⋅an+1,
jeżeli q ≠ 1, to Sn = a1
1− qn
,
1− q
jeżeli q = 1, to Sn = n ⋅ a1.
Dla ciągu geometrycznego ( an ) spełniającego warunek q < 1 zachodzi:
lim a n = 0
n →∞
,
 1− qn
 a1
lim S n = nlim
 1− q
→
∞

n →∞

 = a1
 1− q

.
10
10. Granica funkcji. Funkcje ciągłe.
1. Granica funkcji w punkcie
Liczba g jest granicą funkcji f w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu ( xn )
takiego, że xn ∈ Df , xn ≠ x0 i lim x n = x 0 jest lim f ( x n ) = g .
n →∞
n →∞
2. Granice jednostronne funkcji w punkcie
a) Liczbę a nazywamy granicą lewostronną funkcji f w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy
dla każdego ciągu ( xn ) spełniającego warunki xn ∈ Df , xn < x0 i lim x n = x 0 jest lim f ( x n ) = a .
n →∞
n →∞
b) Liczbę b nazywamy granicą prawostronną funkcji f w punkcie x0 wtedy i tylko wtedy, gdy
dla każdego ciągu ( xn ) spełniającego warunki xn ∈ Df , xn > x0 i lim x n = x 0 jest lim f ( x n ) = b .
n →∞
n →∞
c) Istnienie granic jednostronnych funkcji w punkcie x0 i ich równość jest równoważna istnieniu
granicy funkcji w punkcie x0.
3. Granica niewłaściwa funkcji w punkcie
a) Funkcja f ma w punkcie x0 granicę niewłaściwą +∞
∞ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego
ciągu ( xn ) takiego, że lim x n = x 0 , xn ∈ Df i xn ≠ x0 jest lim f ( x n ) = +∞ .
n →∞
n →∞
b) Funkcja f ma w punkcie x0 granicę niewłaściwą -∞
∞ wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego
ciągu ( xn ) takiego, że lim x n = x 0 , xn ∈ Df i xn ≠ x0 jest lim f ( x n ) = −∞ .
n →∞
n →∞
4. Twierdzenia o granicy funkcji w punkcie
Jeżeli lim f ( x ) = a i lim g ( x ) = b , to:
x→x0
x →x 0
a) lim (f ( x ) + g ( x )) = a + b,
b) lim (f ( x ) − g ( x )) = a – b,
x →x 0
x →x 0
c) lim (f ( x ) ⋅ g ( x )) = a ⋅ b,
d) jeżeli b≠0, to lim
f (x) a
= .
x →x 0 g( x )
b
x→x 0
5. Granica funkcji w +∞ oraz w -∞
a) Mówimy, że granicą funkcji y = f(x) w +∞
∞ jest liczba g wtedy i tylko wtedy, gdy dla
każdego ciągu ( xn ) spełniającego warunki xn ∈ Df i lim x n = +∞ jest lim f ( x n ) = g .
n →∞
n →∞
b) Mówimy, że granicą funkcji y = f(x) w -∞
∞ jest liczba g wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego
ciągu ( xn ) spełniającego warunki xn ∈ Df i lim x n = −∞ jest lim f ( x n ) = g .
n →∞
n →∞
6. Ciągłość funkcji
Funkcja f jest ciągła w punkcie x0 ∈ Df wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica funkcji w
punkcie x0 i lim f ( x ) = f ( x 0 ) .
Funkcja f jest ciągła w zbiorze Z ⊂ Df wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła w każdym punkcie
zbioru Z.
Jeżeli funkcje f i g są ciągłe w punkcie x0, to funkcje f + g, f - g, f ⋅ g też są ciągłe w tym
f
punkcie, i jeżeli g(x0) ≠ 0, to funkcja też jest ciągła w x0.
g
x →x 0
11
11. Pochodna funkcji i jej zastosowania
Ilorazem różnicowym funkcji f odpowiadającym przyrostowi argumentu ∆x = x1 – x0, gdzie
f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 )
.
x0, x1∈ Df i x0 ≠ x1, nazywamy liczbę
∆x
f ( x 0 + ∆x ) − f ( x 0 )
Jeżeli przy powyższym istnieje granica lim
i jest liczba skończoną, to tę
∆x →0
∆x
liczbę nazywamy pochodną funkcji w punkcie x0 i oznaczamy f ’(x0).
Jeżeli funkcja ma pochodną w punkcie x0, to mówimy, że jest w tym punkcie różniczkowalna.
Jeżeli funkcja y = f(x) jest określona w pewnym otoczeniu punktu x0 i ma w tym punkcie
pochodną, to prosta o równaniu:
y = f ’(x) ⋅ ( x – x0 ) + f(x0)
jest prostą styczną do wykresu funkcji f w punkcie P ( x0, f(x0) ). f ’(x0) jest tangensem kąta
nachylenia tej stycznej do osi 0X.
Jeżeli przez X oznaczymy zbiór tych argumentów, dla których istnieje pochodna funkcji f,
wówczas funkcję, która każdemu x ∈ X przyporządkowuje liczbę f ’(x) nazywamy pochodną
funkcji f. Dziedziną funkcji f ’ jest zbiór X.
Jeżeli funkcje f i g są różniczkowalne w zbiorze X, to:
a) ( k⋅ f )’ = k ⋅ f ’, dla k ∈ R
b) ( f + g )’ = f ’ + g’
c) ( f - g )’ = f ’ - g’
d) ( f ⋅ g )’ = f ’⋅ g + g’⋅ f
 f  f '⋅ g − g'⋅ f
e)   =
g2
g
'
Pochodne niektórych funkcji:
a) ( c )’ = 0
b) ( x m )’ = m xm-1, dla m ∈ W \{0}
c) ( sin x )’ = cos x
d) ( cos x )’ = - sin x
1
e) ( tg x )’ =
cos 2 x
f) ( ctg x )’ = -
1
sin 2 x
Jeśli funkcja f jest różniczkowalna w każdym punkcie pewnego zbioru X ⊂ R, a funkcja g w
każdym punkcie y0 = f(x) zbioru wartości funkcji f, to dla x ∈ X pochodna funkcji złożonej
h = g ◦ f równa się iloczynowi pochodnej funkcji zewnętrznej g i pochodnej funkcji wewnętrznej f:
( g ◦ f )’(x) = g’(f(x)) ⋅ f ’(x).
Jeżeli funkcja f jest różniczkowalna w zbiorze Z ⊂ Df i pochodna funkcji f jest różniczkowalna,
to pochodną funkcji f ’ nazywamy drugą pochodną funkcji f i oznaczamy f ’’.
12
12. Badanie funkcji
1. Twierdzenia o monotoniczności funkcji
Niech funkcja f będzie różniczkowalna w przedziale ( a, b ), wtedy dla każdego x ∈ ( a, b )
- jeżeli f ’(x) > 0, to funkcja f jest rosnąca w przedziale ( a, b );
- jeśli f jest rosnąca w przedziale ( a, b ), to f ’(x) ≥ 0;
- jeżeli f ’(x) < 0, to funkcja f jest malejąca w przedziale ( a, b );
- jeśli f jest malejąca w przedziale ( a, b ), to f ’(x) ≤ 0.
2. Ekstremum funkcji
Mówimy, że funkcja ma w punkcie x0 ∈ Df minimum ( maksimum ), jeśli dla każdego x
należącego do pewnego otoczenia punktu x0 zawartego w dziedzinie funkcji zachodzi f(x) > f(x0)
( f(x) < f(x0) ). Maksimum i minimum nazywamy ekstremum funkcji.
Warunek konieczny ekstremum. Jeżeli funkcja f ma ekstremum w punkcie x0 ∈ ( a, b ) i jest w
tym punkcie różniczkowalna, to
f ’(x0) = 0.
Warunek wystarczający ekstremum. Jeżeli funkcja f ma pochodną w pewnym otoczeniu punktu
x0, przy czym
f ’(x) > 0 gdy x < x0 i f ’(x) < 0 gdy x > x0
to w punkcie x0 funkcja f ma maksimum; jeżeli natomiast
f ’(x) < 0 gdy x < x0 i f ’(x) > 0 gdy x > x0
to w punkcie x0 funkcja f ma minimum.
3. Najmniejsza i największa wartość funkcji w przedziale
Mówimy, że funkcja f określona w przedziale < a, b > osiąga w tym przedziale wartość
największą ( najmniejszą ), jeśli istnieje punkt x0 ∈ < a, b > taki, że dla każdego x ∈ < a, b > i
x ≠ x0 spełniony jest warunek f(x) ≤ f(x0) ( f(x) ≥ f(x0) ).
Aby wyznaczyć największą ( najmniejszą ) wartość funkcji w przedziale < a, b >, należy znaleźć
wszystkie maksima ( minima ) lokalne w tym przedziale oraz obliczyć f(a) i f(b); największa
( najmniejsza ) z tych liczb jest liczbą poszukiwaną.
4. Asymptoty wykresu funkcji
Prostą, której odległość od wykresu danej funkcji f zmierza do zera w nieskończoności nazywamy
asymptotą wykresu funkcji f.
Prostą o równaniu x = a nazywamy asymptotą pionową wykresu funkcji f, jeżeli funkcja f jest
określona przynajmniej z jednej strony punktu a oraz lim+ f ( x ) = ±∞ albo lim− f ( x ) = ±∞ .
x →a
x →a
f (x)
= m oraz lim [f ( x ) − mx] = b , to prostą o równaniu
x → ±∞
x
y = mx+b nazywamy asymptotą ukośną ( albo poziomą przy m = 0 ) wykresu funkcji f.
Jeżeli istnieją skończone granice lim
x → ±∞
13
12. Badanie funkcji cd.
5. Schemat badania funkcji
5.1 Wyznaczamy dziedzinę funkcji
5.2 Obliczamy granice na końcach dziedziny
5.3 Wyznaczamy asymptoty wykresu funkcji
5.4 Wyznaczamy pierwszą pochodną i jej dziedzinę
5.5 Obliczamy miejsca zerowe pierwszej pochodnej
5.6 Określamy znak pierwszej pochodnej, wyznaczamy przedziały monotoniczności i ekstrema
funkcji
5.7 Wyznaczamy punkty przecięcia wykresu funkcji z osiami układu współrzędnych i wartości
funkcji w punktach wyznaczonych w 5.5, 5.6
5.8 Zbieramy wyniki z poprzednich punktów w tabeli
5.9 Szkicujemy wykres funkcji
14
13. Funkcja homograficzna
Funkcją homograficzną nazywamy funkcję postaci
ax + b
f(x) =
cx + d
gdzie c ≠ 0 i a⋅d - b⋅c ≠ 0.
 d
Dziedziną funkcji homograficznej jest zbiór D = R \ −  .
 c
Wykresem funkcji homograficznej jest hiperbola.
d
a
Proste o równaniach x = − oraz y = są asymptotami tej hiperboli.
c
c
hiperbola o równaniu y =
1
x
hiperbola o równaniu y = -
Aby narysować funkcję homograficzną musimy jej postać f(x) =
1
x
ax + b
przekształcić do postaci
cx + d
u
u
, wtedy wykres funkcji y = przesuwamy o wektor [ -w, t ].
x+w
x
a ⋅d − b⋅c
Pochodna funkcji homograficznej jest równa f ’(x) =
, ponieważ z założenia licznik
(cx + d ) 2
jest różny od zera, więc pochodna funkcji nie przyjmuje wartości równej zero, czyli funkcja
homograficzna nie posiada ekstremum. Znak pochodnej zależy od znaku licznika ( czyli wyrażenia
a⋅d - b⋅c ). Wynika z tego, że:
d
d
funkcja homograficzna jest w przedziałach ( -∞, − ) oraz ( − , +∞ ) rosnąca, gdy a⋅d - b⋅c > 0,
c
c
d
d
funkcja homograficzna jest w przedziałach ( -∞, − ) oraz ( − , +∞ ) malejąca, gdy a⋅d - b⋅c < 0.
c
c
f(x) = t +
15
14. Geometria analitycznar – wektory, proste
Współrzędnymi wektora u w prostokątnym układzie współrzędnych XOY nazywamy miary jego
r
składowych. Jeżeli punkt A( xA, yA ) jest początkiem, a punkt B( xB, yB ) jest końcem wektora u , to
r
współrzędnymi wektora u są liczby: a = xB - xA , b = yB - yA .
r
r
Zapisujemy to symbolicznie: u [ a, b ] lub u = [ a, b ].
r
r
r
Jeżeli wektor u = [ a, b ], to długość wektora u wyraża się wzorem: u = a 2 + b 2 .
Jeżeli punkt A( xA, yA ) i punkt B( xB, yB ), to środek S odcinka AB ma współrzędne:
x + xA
y + yA
xS = B
, yS = B
.
2
2
Jeśli α jest miarą kąta skierowanego uporządkowanej pary niezerowych wektorów ( u , v )
r
r
współrzędnych u = [ a1, a2 ], v = [b1, b2 ], to:
a b +a b
a b −a b
cos α = 1 1r r 2 2 , sin α = 1 r2 r 2 1 .
u⋅v
u⋅v
r
r
Jeżeli wektory u i v mają współrzędne u = [ a1, a2 ], v = [b1, b2 ], to ich iloczyn skalarny wyraża się
r r
wzorem u ⋅ v = a1 ⋅ b1 + a2 ⋅ b2 .
r
r
r
r
r
r
r
r
Wyznacznikiem niezerowej pary wektorów u i v o współrzędnych u = [ a1, a2 ], v = [b1, b2 ]
a a2
r r
= a1 ⋅ b2 - a2 ⋅ b1 .
nazywamy liczbę d( u , v ) = 1
b1 b 2
Jeżeli punkty A( xA, yA ), B( xB, yB ) i C( xC, yC ) są wierzchołkami trójkąta, to pole trójkąta ∆ABC
wyraża się wzorami:
P=
P=
1
2
1
2
d (AB, AC) = 12 d (BA, BC) = 12 d (CA, CB) ,
(x A y B − x B y A ) + (x B y C − x C y B ) + (x C y A − x A y C ) .
Współczynnikiem kierunkowym prostej nieprostopadłej do osi OX nazywamy tangens kąta nachylenia
tej prostej do osi OX.
Równaniem kierunkowym prostej l nieprostopadłej do osi OX nazywamy równanie postaci y = ax+b,
gdzie a oznacza współczynnik kierunkowy prostej l, zaś b rzędną punktu, w którym l przecina oś OY.
Jeżeli punkty A( xA, yA ) i B( xB, yB ) należą do prostej l, to równanie prostej l ma postać:
y − yB
y - yA = A
( x – xA ), gdy xA ≠ xB , lub
xA − xB
( y - yA )⋅( xA – xB ) – ( yA – yB )⋅( x – xA ) = 0.
2
2
r Każde równanie postaci Ax+By+C = 0, gdzie A +B ≠ 0 jest równaniem ogólnym prostej. Wektor
u = [ A, B ] jest wektorem prostopadłym do tej prostej.
Odległość punktu P ( x0, y0 ) od prostej o równaniu Ax+By+C = 0 wyraża się wzorem:
Ax 0 + By 0 + C
d=
.
A 2 + B2
Warunki równoległości prostych
Dwie proste o równaniach y = a1 x +b1 i y = a2 x +b2 są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy a1 = a2.
Dwie proste o równaniach Ax+By+C = 0 i A1 x+B1 y+C1 = 0 są równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy
AB1 – BA1 = 0.
Warunki prostopadłości prostych
Dwie proste o równaniach y = a1 x +b1 i y = a2 x +b2 są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy a1 ⋅ a2 = -1.
Dwie proste o równaniach Ax+By+C = 0 i A1 x+B1 y+C1 = 0 są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy
AA1 + BB1 = 0.
16
15. Geometria analityczna – krzywe stopnia drugiego
Okrąg
Równanie okręgu o środku ( a, b ) i promieniu r ma postać ( x – a )2 + ( y – b )2 = r 2 .
Równanie postaci x2 + y2 -2ax – 2by + c = 0 przedstawia okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy a2 +b2 – c > 0,
promieniem okręgu jest r = a 2 + b 2 − c , zaś środkiem punkt ( a, b ).
Równanie stycznej do okręgu o środku ( a, b ) i promieniu r w punkcie ( x0, y0 ) należącym do okręgu, ma
postać ( x0 – a )( x – a )+( y0 – b )( y – b ) = r 2 .
Elipsa
Niech dane będą dwa punkty F1, F2 oraz liczba dodatnia a taka, że 2a > F1⋅F2 . Elipsą nazywamy zbiór
tych wszystkich punktów P płaszczyzny, dla których PF1 + PF2 = 2a.
Jeśli punkty F1, F2 należą do osi OX, zaś początek układu współrzędnych jest środkiem odcinka F1 F2 , to
x2 y2
+
= 1 , gdzie b2 = a2 – c2 i |c| = OF1 .
a2 b2
Elipsa ta ma środek symetrii w punkcie ( 0, 0 ) i dwie osie symetrii proste OX i OY.
x x y y
Równanie stycznej do elipsy w punkcie ( x0, y0 ) należącym do elipsy, ma postać: 02 + 02 = 1 .
a
b
Punkty F1, F2 nazywamy ogniskami elipsy.
Cięciwą elipsy nazywamy każdy odcinek, którego końce należą do elipsy. Średnicą elipsy nazywamy
każdą cięciwę, do której należy środek symetrii elipsy. Osią wielką nazywamy najdłuższą z jej średnic. Osią
małą nazywamy najkrótszą z jej średnic. Wierzchołkami elipsy nazywamy punkty wspólne elipsy i jej osi
symetrii.
równanie elipsy ma postać
Mimośrodem elipsy nazywamy liczbę e =
c
, zaś kierownicami elipsy proste o równaniach:
a
a2
a2
x=
ix=.
c
c
Hiperbola
Niech dane będą dwa punkty F1, F2 oraz liczba dodatnia a taka, że 2a < F1⋅F2 . Hiperbolą nazywamy zbiór
tych wszystkich punktów P płaszczyzny, dla których PF1 - PF2 = 2a.
Jeśli punkty F1, F2 należą do osi OX, zaś początek układu współrzędnych jest środkiem odcinka F1 F2 , to
równanie hiperboli ma postać
x2 y2
= 1 , gdzie b2 = c2 – a2 i |c| = OF1.
−
a2 b2
Hiperbola ta ma środek symetrii w punkcie ( 0, 0 ) i dwie osie symetrii proste OX i OY.
Równanie stycznej do hiperboli w punkcie ( x0, y0 ) należącym do hiperboli, ma postać:
Punkty F1, F2 nazywamy ogniskami hiperboli.
Asymptotami hiperboli są elipsy proste o równaniach: y =
x0 x y0 y
− 2 =1.
a2
b
b
b
⋅x i y = - ⋅x.
a
a
Parabola
Jest to krzywa, która w pewnym układzie XOY ma równanie y2 = 2px, gdzie p ≠ 0, 2p jest parametrem
p
b 
paraboli. Punkt F =  ,0  jest ogniskiem paraboli. Prosta o równaniu x = - jest kierownicą paraboli.
2
a 
Punkt ( 0, 0 ) jest wierzchołkiem paraboli.
Parabola jest zbiorem wszystkich punktów płaszczyzny równo odległych od jej ogniska i od jej
kierownicy. Jedyną osią symetrii paraboli jest prosta OX.
Równanie stycznej do paraboli y2 = 2px w punkcie ( x0, y0 ) należącym do paraboli, ma postać:
y ⋅ y0 = p⋅ ( x + x0 ).
17
16. Planimetria - własności podstawowych figur planimetrycznych
Odległość punktu od prostej.
Odległość punktu od figury niepustej – długość promienia największego otoczenia kołowego
tego punktu wewnątrz którego nie ma punktów tej figury. Gdy otoczenie takie nie istnieje,
odległość jest zerem.
Odległość punktu od prostej równa się odległości tego punktu od jego rzutu prostokątnego na tę
prostą.
Położenie prostej m względem okręgu o(A,r).
m jest styczną do o(A,r)
⇔ odl. A od m = r,
m jest sieczną o(A,r)
⇔ odl. A od m < r,
m jest zewnętrzną dla o(A,r) ⇔ odl. A od m > r.
Styczna do okręgu (tzn. prosta mająca z nim dokładnie jeden punkt wspólny) jest prostopadła do
promienia łączącego punkt styczności ze środkiem okręgu.
Dwa okręgi.
Jeśli okręgi o(A,a) i o(B,b) są różne i a ≥ b, to
o(A,a) i o(B,b) są wzajemnie zewnętrzne ⇔
o(A,a) i o(B,b) są zewnętrznie styczne ⇔
⇔
o(A,a) i o(B,b) przecinają się
o(A,a) i o(B,b) są wewnętrznie styczne ⇔
o(B,b) ⊂ k(A,a)
⇔
AB > a + b,
AB = a + b,
a - b < AB < a + b,
a - b = AB,
a - b > AB.
Związki miarowe w trójkącie prostokątnym.
Jeśli AC ⊥ CB i CD ⊥ AB , to a2 = c ⋅ DB , sinα= , cosα= , tgα= , ctgα= , b2 = c ⋅ AD ,
a
c
b
c
a
b
b
a
a= c ⋅ sin α = b ⋅ tg α , h2 = AD ⋅ DB , b= c ⋅ cos α = a ⋅ ctg α , c2 = a2+b2 (tw. Pitagorasa), c=
a
b
=
.
sin α cos α
Związki miarowe w dowolnym trójkącie.
Wzór sinusów:
Wzór cosinusów:
a
b
c
=
=
= 2r , gdzie r – długość promienia okręgu opisanego na ∆ABC.
sin α sin β sin γ
a2 = b2 + c2 - 2bc cosα.
Symetralne wszystkich boków trójkąta przecinają się w jednym punkcie O, który jest środkiem
okręgu przechodzącego przez punkty A, B, C, czyli okręgu opisanego na tym trójkącie.
Długość promienia opisanego na trójkącie
r=
abc
, gdzie S jest polem trójkąta;
4S
Dwusieczne wszystkich kątów wewnętrznych trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który
jest środkiem okręgu stycznego do wszystkich boków trójkąta, czyli okręgu wpisanego w trójkąt.
Długość promienia okręgu wpisanego w trójkąt ρ =
S
, gdzie S – pole, p – połowa obwodu trójkąta.
p
Odcinek łączący środki dwu boków trójkąta jest równoległy do trzeciego boku i równy jego
połowie.
18
16. Planimetria - własności podstawowych figur planimetrycznych cd.
Najważniejsze wiadomości o wielokątach.
Czworokąt – wielokąt o czterech bokach.
Suma miar kątów wewnętrznych dowolnego czworokąta jest równa 360O.
Trapez – czworokąt mający przynajmniej dwa boki równoległe.
Trapez równoramienny – trapez mający dwa boki przeciwległe nierównoległe i równe.
Jeżeli w trapezie dwa przeciwległe boki nie są równoległe, to
suma kątów wewnętrznych leżących przy każdym z tych boków jest kątem
1.
półpełnym,
2.
odcinek łączący środki tych boków jest równoległy do podstaw (tzn. boków
równoległych), a jego długość równa się połowie sumy długości obu podstaw.
W trapezie równoramiennym kąty przy każdej podstawie są przystające.
Trapez równoramienny ma jedną oś symetrii.
Czworokąt wpisany w okrąg i czworokąt opisany w kręgu.
Czworokąt wypukły można wpisać w krąg ⇔ sumy miar kątów przeciwległych w tym czworokącie
są równe(każda z nich jest równa 180o).
Czworokąt wypukły można opisać na kręgu ⇔ sumy długości boków przeciwległych w tym
czworokącie są równe.
Odcinki, proste i kąty w związku z okręgiem
Kąt między cięciwą i styczną
Kąt ostry między cięciwą i styczną przechodzą przez koniec cięciwy jest równy połowie kąta
środkowego opowiadającego cięciwie.
Kąt środkowy i kąty wpisane oparte na tym samym łuku
Wszystkie kąty wpisane okrąg i oparte na tym samym łuku są równe każdy z nich jest równy
połowie kąta środkowego opartego na tym łuku
Kąt wpisany w półokrąg (oparty na średnicy) jest prosty.
19
17. Rachunek prawdopodobieństwa
Kombinatoryka
Permutacje – każdy n - wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów n elementowego
zbioru.
P = n!
n
n!
Kombinacje – każdy k - elementowy podzbiór n - elementowego zbioru. C kn =   =
 k  k!(n − k )!
Wariacje bez powtórzeń – każdy k - wyrazowy ciąg utworzony z różnych elementów n n!
elementowego zbioru.
Vnk =
(n − k )!
Wariacje z powtórzeniami – każdy k - wyrazowy ciąg utworzony z elementów n - elementowego
zbioru.
Wnk = n k
Własności prawdopodobieństwa
P(A) ≥ 0,
P(∅) = 0,
P(Ω) = 1,
dla każdego A ⊂ Ω jest P(A) ≤1,
jeżeli A ⊂ B to P(A) ≤ P(B),
P(A’) = 1- P(A),
P(A∪B) = P(A) + P(B) – P(A∩B).
Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Jeżeli wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne to prawdopodobieństwo
każdego zdarzenia A jest ilorazem liczby zdarzeń sprzyjających temu zdarzeniu przez liczbę
wszystkich zdarzeń elementarnych.
P(A) =
A
Ω
,
gdzie A - liczba zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A, Ω - liczba wszystkich zdarzeń
elementarnych.
Prawdopodobieństwo warunkowe
Prawdopodobieństwo zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B jest to liczba
P(A ∩ B)
P(A / B) =
P(B)
Prawdopodobieństwo całkowite ( zupełne )
Jeśli B1, B2, ... ,Bn są zdarzeniami wyłączającymi się parami oraz ich suma jest zdarzeniem
pewnym, to dla dowolnego zdarzenia A zachodzi wzór:
P(A) = P(A / B1) ⋅ P(B1) + P(A / B2) ⋅ P(B2) + ... + P(A / Bn) ⋅ P(Bn)
Niezależność zdarzeń
Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeżeli P(A∩B) = P(A) ⋅ P(B).
W przeciwnym przypadku mówimy, że zdarzenia A i B są zależne.
Schemat Bernoulliego – ciąg powtórzeń tego samego doświadczenia
Prawdopodobieństwo otrzymania dokładnie k sukcesów w n próbach Bernoulliego wynosi:
n
Pn(k) =   ⋅pk⋅qn-k,
k
gdzie p – prawdopodobieństwo sukcesu, q = 1- p - prawdopodobieństwo porażki, k = 0, 1, ... ,n.
20
21
SPIS TREŚCI
1. ZBIORY. DZIAŁANIA NA ZBIORACH.
2
2. UKŁADY RÓWNAŃ I NIERÓWNOŚCI.
3
3. FUNKCJA KWADRATOWA.
4
4. WIELOMIANY
5
5. FUNKCJA WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA
6
6. FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE
7
7. FUNKCJE WYMIERNE. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI WYMIERNE.
8
8. CIĄGI
9
9. CIĄGI ARYTMETYCZNY I GEOMETRYCZNY
10
10. GRANICA FUNKCJI. FUNKCJE CIĄGŁE.
11
11. POCHODNA FUNKCJI I JEJ ZASTOSOWANIA
12
12. BADANIE FUNKCJI
13
12. BADANIE FUNKCJI CD.
14
13. FUNKCJA HOMOGRAFICZNA
15
14. GEOMETRIA ANALITYCZNA – WEKTORY, PROSTE
16
15. GEOMETRIA ANALITYCZNA – KRZYWE STOPNIA DRUGIEGO
17
16. PLANIMETRIA - WŁASNOŚCI PODSTAWOWYCH FIGUR
PLANIMETRYCZNYCH
18
16. PLANIMETRIA - WŁASNOŚCI PODSTAWOWYCH FIGUR
PLANIMETRYCZNYCH CD.
19
17. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
20
22