imag0299.jpg (Oblicz granice...) Granica na górze fotki

imag0299.jpg
(Oblicz granice...)
Granica na górze fotki:
lim
√
n
n→+∞
5n + 3 · 4n
Wyciągamy 5n przed pierwiastek. Wyrażenie (4/5)n dąży do zera gdyż jest mniejsze od 1 i dostajemy:
√
n
lim
n→+∞
s
5n
+3·
4n
= lim 5
n
n→+∞
Granica na dole fotki:
√
lim
x→+∞
x2
n
1+3·
4
5
→5
√
+∞
1=5
x+1
+ ln x
Spełnione są założenia tw. de l’Hospitala (licznik i mianownik są dla x > 0 ciągłe, różniczkowalne
i dążą do +∞). Stosujemy to twierdzenie. Różniczkujemy licznik i mianownik po x, co daje:
lim · · · = lim
x→+∞
1
√
√
x
2 x
= lim
=
2
1
x→+∞ 2(2x + 1)
2x +
x
Ponownie stosujemy de l’Hospitala i teraz widać, że wynikiem jest zero.
1
√
= lim
x→+∞
imag0300.jpg
1
2 x
√ =0
= lim
x→+∞
8x
16x x
(Zbadaj ciągłość w x = –3...)
W punkcie x = –3 licznik i mianownik w górnej definicji funkcji stają się zerami, mamy wyrażenie
0/0, trzeba więc zbadać obie granice f(x) (lewo- i prawostronną) gdy x → −3.
Aż się prosi, aby rozłożyć licznik i mianownik na czynniki, bo 27 = 33 . Ze wzorów skróconego mnożenia,
Viete’a lub podobnych, dostajemy:
x3 + 27
(x + 3)(x2 − 3x + 9)
x2 − 3x + 9
=
=
+ 4x + 3
(x + 3)(x + 1)
x+1
x2
(wolno skrócić przez x + 3, bo wzór obowiązuje dla x różnych od –3).
Wyrażenie po prawej stronie ma już oczywistą granicę gdy x → −3, równą jego wartości czyli –27/2,
niezależnie z której strony.
Wartość ta nie jest równa 4,5 więc funkcja jest nieciągła.