Analiza Wektorowa. Lista 2. Literatura A. Goetz, Geometria
Transkrypt
Analiza Wektorowa. Lista 2. Literatura A. Goetz, Geometria
Analiza Wektorowa. Lista 2. Literatura A. Goetz, Geometria Ró»niczkowa, PWN, Warszawa 1965 1. Napisa¢ równanie prostej przechodz¡cej przez punkt wektora → − b: A i równolegªej do → − A = (−3, 1, −2), b = (3, 0, −1); → − b. A = (2, 3, 1), b = (1, −1, 2). a. 2. Napisa¢ równanie prostej przechodz¡cej przez punkty a. A = (0, 0, 0), B = (1, 1, 1): b. A = (1, 4, 2), B = (1, 4, −2). A, B : 3. Napisa¢ równanie parametryczne nast¦puj¡cych prostych: a. x = y , z = 0: b. x = y, y = z; c. x + y + z = 1, x − z = 0; d. x + y − z = 2, 2x − 5y + z = 3. 4. Narysowa¢ nast¦puj¡ce krzywe zadane w postaci parametrycznej t ∈ R: − a. → r = (t, 1/t, 0); b. c. d. e. → − r = (0, t2 , t); → − r = (0, cos t, 2 + 2 sin t); → − r = (cos 3t, sin 3t, −t); → − r = ( √1 cos t, sin t, √1 cos t). 2 2 → − r (t), 5. Okr¡g o promieniu si¦ toczy¢ krzywej o ϕ a, styczny do osi P = (0, 0) zaczyna po dodatniej póªosi x. Wykaza¢, »e punkt P porusza sie po − parametryzacji → r (ϕ) = (a(ϕ − sin ϕ), a(1 − cos ϕ)), gdzie x w punkcie jest k¡tem o jaki obrócony zostaª okr¡g. Krzywa zakre±lana przez punkt P nazywa sie cykloid¡. → − = cos(t) i + − 6. Trajektoria poruszaj¡cego si¦ punktu dana jest wzorem → r (t) → − 2 sin(t) j . Znale¹¢ przyspieszenie styczne i normalne. Znale¹¢ chwile, w których warto±ci przyspieszenia i pr¦dko±ci sa minimalne i maksymalne. 7. Dane s¡ ró»niczkowalne funkcje wektorowe czywista c(t). → − → − a (t), b (t) i funkcja rze- Wykaza¢, »e − − − a + c→ a 0, (c→ a )0 = c0 → → − → − − → −0 − − (→ a · b )0 = → a0· b +→ a · b , → − → − − → −0 − − (→ a × b )0 = → a0× b +→ a × b . 8. Dana jest krzywa krzywizna c → − r (t) (t jest dowolnym parametrem). Wykaza¢, »e jest równa c= 9. Wyznaczy¢ poªo»enie w R3 − − |→ r 0×→ r 00 | , − |→ r 0 |3 krzywej zadanej parametrycznie 1 1 → − r (t) = ( √ cos t, sin t, √ cos t). 2 2 Obliczy¢ jej krzywizn¦. y = f (x), zp= 0, a ≤ x ≤ b. Wykaza¢, Rb »e dªugo±¢ krzywej dana jest wzorem a 1 + (f 0 (x))2 dx a krzywizna 00 0 2 −3/2 c(x) = |f (x)|(1 + f (x) ) . 10. Krzywa dana jest wzorem 11. Krzywa na pªaszczy¹nie dana jest we wspóªrz¦dnych biegunowych r(ϕ), [α, β]. Wykaza¢, »e jej dªugo±¢ dana jest wzorem Rβ√ α r2 + r02 dϕ. 12. Nawijamy pªaszczyzn¦ na walec, prosta le»¡ca na tej pªaszczy¹nie przechodzi na krzyw¡, któr¡ nazywamy lini¡ ±rubow¡. Napisa¢ równanie parametryczne tej krzywej w parametryzacji naturalnej. Obliczy¢ krzywizn¦ w ka»dym punkcie. ϕ∈