Elementy geometrii różniczkowej – krzywe
Transkrypt
Elementy geometrii różniczkowej – krzywe
Elementy geometrii różniczkowej – krzywe Wszystkie zadanie zaczerpnięto z książki: Bogusław Gdowski, “Elementy geometrii różniczkowej z zadaniami”, PWN, 1982. 1. Dane są trzy wektory stałe i niezerowe a, b i c takie, że a · b = 0, a · c = 0 i b · c = 0. Jaki zbiór punktów określa hodograf funkcji a) r(u) = a + b cos u + c sin (u) dla u ∈ [0, 2π) b) r(u, v) = a cos (u) + b sin (u) + cv dla u, v ∈ R 2. Dane są dwa wektory stałe i niekolinearne a i b. Znaleźć warunek, jaki muszą spełniać funkcje α(t) i β(t), aby hodograf funkcji wektorowej r = α(t)a + β(t)b był położony na prostej przechodzącej przez końce wektorów a i b. 3. Wykazać, że przedstawienia parametryczne r(u) = [a cos (u), b sin (u)], oraz u ∈ (−π, π) 1 − t2 2t r(u) = a ,b , 1+2 1 + t2 t ∈ R, gdzie a > 0 i b > 0 , są przedstawieniami parametrycznymi tej samej krzywej. Podać nazwę tej krzywej oraz jej równania w postaci uwikłanej. 4. Wykazać, że krzywa określona równaniem r = [au cos (u), au sin (u), bu2 ], u ∈ R, a 6= 0, b 6= 0 leży na paraboloidzie obrotowej. 5. Wykazać, że krzywa określona równaniem r = [a cosh (t), b sinh (t), ct], u ∈ R, a 6= 0, b 6= 0, c 6= 0, leży na walcu hiperbolicznym. 6. Napisać równania parametryczne okręgu x2 + y 2 = a2 przyjmując za parametr t współczynnik kierunkowy cięciwy okręgu przechodzącego przez punkt (−a, 0). 7. Napisać równania parametryczne okręgu x2 + y 2 − 2ax = 0 przyjmując jako parametr kąt ϕ między prostą przechodzącą przez środek okręgu a osią OX. 8. Znaleźć długość łuku krzywej zawartego między danymi punktami: a) y = 14 x2 − 12 ln x; x1 = 1, x2 = 4; b) x = 8at3 , y = 3a(2t2 − t4 ); t1 = 0, t2 = c) x = cos3 (t), y = sin3 (t), z = cos(2t); √ 2; t1 = 0, t2 = π2 ; 1 9. Znaleźć naturalne przedstawienie parametryczne następujących krzywych przyjmując s = 0 dla t = 0: a) r = [3t, 4t], t ≥ 0, b) r = [t, a cosh ( at )], t ≥ 0, c) r = [cos3 (t), sin3 (t), cos (2t)], t ∈ [0, π2 ]. 10. Znaleźć równanie stycznej i normalnej do krzywej: a) x = t3 − 2t, y = t2 + 1 w punkcie t = 1; , 3a ); b) x3 + y 3 − 3axy = 0, a 6= 0, w punkcie ( 3a 2 2 c) ρ = 2a cos (θ), a > 0, w punkcie θ = π4 . 11. Znaleźć równanie stycznej do asteroidy r = [a cos3 (t), a sin3 (t)] najbardziej oddalonej od początku układu. 12. Znaleźć punkt wspólny krzywych: a) x2 + y 2 = 8, b) x2 + y 2 = 8x, y 2 = 2x; y 2 (2 − x) = x3 i kąty, pod jakimi krzywe te przecinają się w tych punktach. 13. Znaleźć równanie płaszczyzny normalnej do krzywej r = [2 cos(t), 2 sin(t), 4t] w punkcie t = 0. 14. Znaleźć równanie prostej stycznej i płaszczyzny normalnej do krzywej o równaniach x2 − 2z = 0, y 2 − 2z = 0 w punkcie P (2, 2, 2) 15. Znaleźć równanie płaszczyzny normalnej do krzywej o równanich x2 + y 2 − z 2 = 1, z 2 = 1 w dowolnym punkcie tej krzywej. x2 − y 2 − 16. Znaleźć krzywiznę krzywej: a) y = ln x w punkcie (1, 0); b) x3 + y 3 = 3axy w punkcie ( 23 a, 32 a). 17. Znaleźć krzywiznę w dowolnym punkcie krzywej: a) y = sin(x); b) y 2 = 2px; c) x = t2 , y = t3 ; d) x = a(t − sin(t)), y = a(1 − cos(t)); e) ρ = a(1 + cos(θ)) 18. Znaleźć rownanie płaszczyzny ściśle stycznej spirali stożkowej r = [t cos(t), −t sin(t), at] w punkcie t = 0. 2 19. Znaleźć rownanie płaszczyzny ściśle stycznej krzywej r = [a cos(t), b sin(t), et ] w punkcie t = 0. 20. Znaleźć rownanie płaszczyzny ściśle stycznej krzywej r = [cos3 (t), sin3 (t), cos(2t)] w dowolnym punkcie tej krzywej. 21. Znaleźć rownanie płaszczyzny ściśle stycznej krzywej powstałej z przekroju sfery x2 +y 2 +z 2 = 9 i walca hiperboloicznego x2 − y 2 = 3 w punkcie P(2,1,2) tej krzywej 22. Znaleźć równanie normalnej głównej i binormalnej krzywej: a) r = [t, t2 , t3 ] w punkcie t = 1; b) x = y 2 , x2 = z w punkcie P (1, 1, 1); c) xy = z 2 , x2 + y 2 − z 2 = 1 w punkcie P (1, 1, 1). 3