ANALIZA MATEMATYCZNA 2 Egzamin na ocen˛e celuj ˛ac ˛a
Transkrypt
ANALIZA MATEMATYCZNA 2 Egzamin na ocen˛e celuj ˛ac ˛a
ANALIZA MATEMATYCZNA 2 Egzamin na ocene¾ celujac ¾ a, ¾ czerwiec 2012 1. ca÷ ke¾ Dla t 2 R niech f (t) oznacza jedyne rozwiazanie ¾ rzeczywiste równania x5 + x = t: Obliczyć Z2 f (t) dt: 0 Rozwiazanie. ¾ Zauwaz·my najpierw, z·e f (t) jest funkcja¾ odwrotna¾ do funkcji t = g (x) = x5 + x: Korzystajac ¾ z interpretacji geometrycznej ca÷ ki (zobacz rysunek) mamy t2 x=f(t) 1 t=g(x) 0 0.0 Z1 0.5 g (x) dx + 0 R1 Poniewaz· g (x) dx = 2. 0 R1 0 (x5 + x) dx = 23 ; wiec ¾ Zbadać zbiezność szeregu · ( ) Z2 1.0 x f (t) dt = 2: 0 R2 f (t) dt = 2 0 1 X n=3 1 (ln ln n)ln n 2 3 = 43 : : e2 Rozwiazanie. ¾ Zauwaz·my, z·e dla n > ee zachodzi nierówność ln ln n > e2 : Wtedy dla tych samych n mamy 1 1 1 0< < = 2: ln n ln n n (ln ln n) (e2 ) 1 P 1 jest zbiez·ny, wiec ¾ takz·e szereg ( ) jest zbiez·ny. Poniewaz· szereg n2 3. n=3 Znaleźć ekstrema lokalne funkcji f (x; y) = x + y p 2 x2 + y 2 : Odpowiedź uzasadnić. Rozwiazanie. ¾ I sposób. We wspó÷ rzednych ¾ biegunowych rozwaz·ana funkcja przyjmie postać g ('; r) = f (r cos '; r sin ') = r (sin ' + cos ' 2) : p Poniewaz· sin ' + cos ' 6 2 dla kaz·dego '; wiec ¾ r (sin ' + cos ' 2) < 0 dla r > 0: Przy czym g ('; r) = 0 dla r = 0: To oznacza, z·e funkcja f przyjmuje w punkcie (0; 0) wartość najwieksz ¾ a. ¾ ×atwo pokazać, z·e w innych punktach p÷ aszczyzny funkcja f nie ma ekstremów. II sposób. Sprawdzamy, w których punktach funkcja f spe÷ nia warunek konieczny istnienia ekstremum. Dla (x; y) 6= (0; 0) otrzymamy uk÷ ad równań 8 < : @f @x @f @y p 2x =1 x2 +y 2 p 2y =1 x2 +y 2 = 0; = 0: Poniewaz· uk÷ ad ten jest sprzeczny, wiec ¾ funkcja f moz·e mieć ekstremum tylko w punkcie (0; 0) : Pokaz·emy, z·e w tym punkcie funkcja f ma maksimum globalne w÷ aściwe. Z de…nicji oznacza to, z·e dla (x; y) 6= (0; 0) zachodzi nierówność p 0 = f (0; 0) > f (x; y) = x + y 2 x2 + y 2 : Ostatnia¾ nierówność przepisujemy równowaz·nie do postaci p x + y < 2 x2 + y 2 : Jez·eli pokaz·emy te¾ nierówność dla x > 0; y > 0; to bedzie ¾ ona prawdziwa takz·e dla dowolnych x; y: Zatem niech x > 0; y > 0; przy czym (x; y) 6= (0; 0) : Podnoszac ¾ obie strony nierówności do kwadratu otrzymamy x2 + 2xy + y 2 < 4 x2 + y 2 : Ostatnia nierówność jest równowaz·na oczywistej nierówności y)2 + 2 x2 + y 2 : 0 < (x Wykres funkcji f prezentujemy poniz·ej (jest to „stoz·ek”z osia¾ nieco odchylona¾ od pionu). -2 -1 2 1 y 0 0 0 -1 1 -1 -2 x2 -2 -3 z -4 -5 -6 4. Kwadrat jednostkowy obraca sie¾ jednostajnie wokó÷osi symetrii prostopad÷ej do jego powierzchni i jednocześnie jednostajnie przesuwa w góre¾ wzd÷ uz· tej osi (rys.). Kwadrat wykona÷ pe÷ ny obrót i podniós÷sie¾ na wysokość 6 : Obliczyć objetość ¾ powsta÷ ej bry÷ y. Rozwiazanie. ¾ Wykorzystamy wzór objetość ¾ (V ) = Zb S (x) dx; a gdzie S (x) oznacza pole przekroju bry÷ y V p÷ aszczyzna¾prostopad÷ a¾do osi Ox wystawiona¾w punkcie x 2 [a; b] : Dla bry÷ y rozwaz·anej w zadaniu (zobacz rysunek) mamy objetość ¾ (V ) = Z6 0 12 dx = 6 :