Seria 1. - kinematyka

Seria 1. - kinematyka
1. Rybak płynie łódką w górę rzeki. Przepływając pod mostem gubi zapasowe wiosło, które
wpada do wody. Po czasie τ rybak spostrzega brak wiosła. Wraca z powrotem i dogania
wiosło w odległości s poniżej mostu. Jaka jest prędkość rzeki, jeśli rybak poruszając się
zarówno w górę, jak i w dół rzeki wiosłuje jednakowo.
s
2τ
Odp. v =
2. Ciało spada swobodnie na ziemię z wysokości h0 . Na jakiej wysokości hn prędkość tego
ciała będzie n razy mniejsza od jego prędkości końcowej?
Odp. hn = h0 (1 − n−2 )
3. Dwa ciała wyrzucono z tego samego punktu z tą samą prędkością początkową v0 . Jedno z
nich wyrzucono do góry, drugie pod kątem θ do podłoża. Jaka będzie wartość odległości
pomiędzy tymi ciałami w funkcji czasu?
p
Odp. d = v0 t 2(1 − sin θ)
4. Z dachu domu rzucono poziomo kamień z prędkością v0 . Oblicz składową przyspieszenia
kamienia prostopadłą do toru po czasie t.
1
Odp. an = v0 g(v02 + g 2 t2 )− 2
5. Silnik motorówki, płynącej z prędkością v0 , w pewnym momencie przestaje pracować i
zaczyna ona tracić prędkość, poruszając się w taki sposób, że jej różnica prędkości w
porównaniu do v0 jest proporcjonalna do odległości od miejsca, w którym przerwał pracę
silnik. Przyjmując, że stała proporcjonalności wynosi k, obliczyć drogę, którą przebędzie
motorówka do momentu zatrzymania się. Wyznaczyć zależność położenia od czasu.
v0
k ,
Odp. s =
x(t) =
V0
k (1
− e−kt )
6. Ćma porusza się po krzywej, której długość s dana jest wzorem s = s0 ect , gdzie s0 i c stałe. Wiedząc, że wektor przyspieszenia ~a tworzy stały kąt ϕ ze styczną do toru w każdym
punkcie, znaleźć wartość prędkości, przyspieszenia stycznego, przyspieszenia normalnego,
promienia krzywizny toru jako funkcji długości łuku krzywej.
Odp. v = cs0 ect , at = c2 s0 ect , an = at tg ϕ, ρ =
v2
an
= s ctg ϕ
7. Pod jakim kątem musi być nachylony dach domu, aby krople deszczu ściekały po nim w
najkrótszym czasie?
Odp. π/4
8. Prędkość wody płynącej w rzece o szerokości d zmienia się z kwadratem odległości od
brzegu, przy czym prędkość przy brzegu jest równa zeru, a na środku jest maksymalna
i równa vmax . O ile zniesie łódkę prąd w dół rzeki, jeżeli porusza się ona prostopadle do
nurtu z prędkością v0 ?
Odp. ∆ =
2 vmax
3 v0 d
9. Wioślarz przepływa rzekę o szerokości d w ten sposób, że jego łódź jest cały czas skierowana
prostopadle do przeciwległego brzegu. Prędkość wody w rzece opisuje funkcja vw (y) =
w cos (πy/d), gdzie y oznacza odległość od środka rzeki. Prędkość łodzi względem wody
wynosi v0 . Ustalając początek układu współrzędnych na środku rzeki i skierowując oś Oy
prostopadle do jej brzegów, podać wektor prędkości łodzi w zależności od czasu. Jakiego
odchylenia ∆ dozna łódź podczas przeprawy na przeciwległy brzeg? Jaki czas τ zostanie
zużyty na przeprawę?
h
Odp. ~v = w cos
π
d
v0 t −
d
2
i
, v0 , ∆ =
2wd
πv0 ,
1
τ=
d
v0
√
10. Opóźnienie cząstki wynosi co do wartości α v, gdzie α to dodatnia stała. Po jakim czasie
cząstka się zatrzyma i jaką drogę przebędzie do chwili zatrzymania, jeżeli jej prędkość
początkowa wynosiła v0 ?
Odp. τ =
√
2 v0
α ,
3/2
d=
2v0
3α
11. Balon odrywa się od ziemi i unosi do góry ze stałą prędkością v0 . Wiatr nadaje mu prędkość
poziomą v = by, gdzie b to stała, a y to wysokość na jakiej znajduje się balon. Znajdź drogę
przebytą przez balon w kierunku poziomym, przyspieszenie całkowite, styczne i normalne
balonu w funkcji wysokości.
Odp. x(y) =
by 2
2v0
12. Koło o promieniu R toczy się ruchem jednostajnym z prędkością kątową ω po prostej.
Zbadać ruch dowolnego punktu leżącego na obwodzie koła. Podać zależność prędkości v i
drogi s przebytej przez ten punkt od czasu t.
ωt
Odp. x = R(ωt − sin ωt), y = R(1 − cos ωt), v = 2Rω sin ωt
2 , s = 4R(1 − cos 2 )
13. Z nieruchomej szpulki o promieniu R jednostajnie odwijamy nić (długość odwiniętej nici
l = l0 + vt). Znaleźć: a) równania końca naprężonej nici, b) odległość końca nici od środka
szpulki w funkcji czasu, c) długość łuku, jaki zatacza koniec nici w funkcji kąta ϕ, o jaki
przesunie się punkt, w którym nitka odwija się ze szpulki.
Odp. x = R cos(vt/R) + l sin(vt/R), y = R sin(vt/R) − l cos(vt/R), r =
s = ϕ(l0 + ϕR/2)
p
R2 + (l0 + vt)2 ,
Układ biegunowy
14. Rzeka o szerokości d tworzy zakole o promieniu wewnętrznym D. Prędkość przepływu
wody w zakolu wynosi vw . Pływak przepływa z brzegu wewnętrznego na zewnętrzny w
ten sposób, że cały czas utrzymuje kierunek prostopadły do brzegu zewnętrznego, a jego
prędkość względem wody wynosi vp . Znajdź równanie toru pływaka r(ϕ) we współrzędnych
biegunowych, przyjmując początek układu odniesienia w środku zakola. Jakiego odchylenia
∆, liczonego wzdłuż brzegu zewnętrznego, dozna pływak? Jaką drogę s przebędzie pływak
podczas przeprawy? Znajdź przyspieszenie radialne, transwersalne, styczne i normalne
pływaka.
vp
Odp. r(ϕ) = De vw ϕ , ∆ =
vw
vp (D
+ d) ln D+d
D
15. Sternik motorówki, zbliżającej się do małej wysepki postanawia, że będzie zbliżał się do
niej ze stałą prędkością u, jednocześnie okrążając ją ze stałą prędkością kątową ω. Zakładając, że w momencie rozpoczęcia manewru odległość od środka wysepki wynosiła D, znajdź
równanie toru motorówki we współrzędnych biegunowych oraz składową styczną i normalną przyspieszenia, jak również promień krzywizny toru jako funkcję bieżącej odległości od
środka wyspy r.
Odp. r(ϕ) = D −
uϕ
ω
16. W czterech rogach kwadratowego sufitu o boku a znajdują się cztery pająki. W pewnej
chwili zaczynają ścigać się nawzajem, tzn. poruszają się wszystkie ze stałą co do wartości
prędkością v0 skierowaną wzdłuż prostej łączącej pająka danego z pająkiem poprzedzającym go. Znaleźć: równania ruchu dowolnego pająka, czas ruchu, równanie toru.
√
Odp. r =
2
2
(a − v0 t), ϕ = − ln 1 −
v0 t a ,
t=
2
a
v0 ,
√
r (ϕ) =
2
−ϕ
2 ae
17. Kolista tarcza o promieniu R wiruje wokół swojej osi ze stałą prędkością ω. Ze środka
tarczy wyrusza biedronka i porusza się wzdłuż promienia ze stałą prędkością v0 . Znaleźć:
(a) równania ruchu i toru biedronki w nieruchomym układzie odniesienia we współrzędnych kartezjańskich i biegunowych,
(b) zależność od czasu wartości wektora prędkości v oraz jego składowych radialnej vr i
transwersalnej vϕ ,
(c) zależność od czasu wartości wektora przyspieszenia a, jak również jego składowych:
radialnej ar , transwersalnej aϕ , oraz normalnej an i stycznej as ,
(d) zależność wartości promienia krzywizny toru ρ od czasu,
(e) całkowitą długość drogi przebytej przez biedronkę względem nieruchomego układu
odniesienia.
Odp.
y
x
= tg
ω
v0
p
x2 + y 2 , r =
ar = −v0 ω 2 t, aϕ = 2v0 ω, as =
v0
ω ϕ;
vr = v0 , vϕ = ωv0 t
2
√v0 ω t ,
1+ω 2 t2
an =
v0 ω (2+ω 2 t2 )
√
;
1+ω 2 t2
ρ=
v2
an
18. Znaleźć tor, po jakim w płaszczyźnie pionowej xy leci samolotem ponaddźwiękowym pilot,
który chce, aby jego koledzy stojący na lotnisku usłyszeli w tym samym momencie huk
silnika z całego toru. Podać współrzędne końca toru. Odległość początkowa wynosi r0 , a
prędkość dźwięku w.
Odp. r (ϕ) = r0 e
−√
w
v 2 −w2
ϕ
19. Ciało porusza się po okręgu o promieniu R ruchem przyspieszonym w taki sposób, że wartość jego przyspieszenia radialnego jest zawsze k razy większa od wartości przyspieszenia
transwersalnego. Jaką drogę przebędzie to ciało w czasie, w którym jego prędkość wzrośnie
n-krotnie?
Odp. s = kR ln n
20. Punkt porusza się po okręgu o promieniu R. Jego prędkość zależy od przebytej drogi w na√
stępujący sposób: v = b s, przy czym b to dodatnia stała. Znajdź tangens kąta (w funkcji
przebytej drogi) pomiędzy wektorem prędkości a wektorem całkowitego przyspieszenia.
Odp. tg ϕ =
2s
R
21. Punkt porusza się ruchem opóźnionym po okręgu o promieniu R w taki sposób, że jego
przyspieszenia styczne i normalne są sobie w każdej chwili co do modułu równe. W chwili
początkowej t = 0 prędkość punktu wynosiła v0 . Znajdź a) prędkość punktu jako funkcję
czasu i przebytej drogi s, b) całkowite przyspieszenie punktu jako funkcję prędkości i
przebytej drogi.
√ 2
√ v2
Odp. a) v = ( Rt + v10 )−1 , v = v0 e−s/R , b) a = 2 vR , a = 2 R0 e−2s/R
22. Znajdź równanie ϕ(t) punktu poruszającego się po okręgu ruchem opóźnionym, jeżeli kąt
pomiędzy wektorem przyspieszenia a promieniem wodzącym ma stałą wartość α. Przyjmij,
że warunki początkowe są następujące: ϕ(0) = 0, ω(0) = ω0 .
Odp. ϕ(t) = ctg α ln(ω0 t tg α + 1)
23. Ciało wiruje wokół pewnej osi z prędkością kątową ω = ω0 − aϕ, gdzie ω0 i a to dodatnie
stałe. Znajdź wartość kąta i prędkości kątowej od czasu.
Odp. ϕ(t) =
ω0
a (1
− e−at ), ω(t) = ω0 e−at
3