Postawowe wymagania egzaminacyjne

Wykłady z Mechaniki Teoretycznej
Wymagania egzaminacyjne - rok akademicki 2007/2008
1. Podstawowe wymagania matematyczne: znajomość podstawowych pojęć matematycznych z analizy matematycznej, geometrii i algebry liniowej:
(a) zupełne i cząstkowe pochodne funkcji wielu zmiennych;
(b) różniczki funkcji wielu zmiennych;
(c) podstawy teorii wektorów;
(d) współrzędne kartezjańskie, biegunowe, sferyczne;
(e) całki krzywoliniowe;
2. Podstawowe wymagania z fizyki teoretycznej:
(a) wyprowadzenie Lagranżjanu prostych układów mechanicznych;
(b) wyprowadzenie równań Lagrange’a; Rozwiązywanie równań Lagrange’a w następujących prostych przypadkach: oscylator harmoniczny, cząstka swobodna, cząstka w polu stałej siły ciężkości,
wahadło dla małych wychyleń, maszyna Atwooda.
Pytania ogólne
1. Przedyskutować następujące rodzaje sił:
• siły centralne;
• siły zachowawcze;
• siły reakcji;
• siły wewnętrzne i zewnętrzne;
• tarcie.
2. Proszę podać definicję iloczynu wektorowego w = u × v. (Jak są zdefiniowane długość, kierunek oraz zwrot w?). Wyznaczyć składowe momentu pędu cząstki r × p.
3. Przedyskutować zasadę d’Alemberta. Jakie są zalety podejścia d’Alemberta
w porównaniu do podejścia Newtona?
4. Przedyskutować rodzaje więzów, które ograniczają ruchy układów mechanicznych, podając przykłady.
5. Przedyskutować jaką rolę odgrywają zasady zachowania w problemie
dwóch ciał.
6. (Dla Fizyki Komputerowej) Przedyskutować skrócenie długości w szczególnej teorii względności.
7. (Dla Fizyki Komputerowej) Pokazać, że interwał ds jest niezmienniczym we wszystkich układach inercjalnych.
Zbiór zadań
1. Maszyna Atwooda: wyznaczenie Lagranżjanu i równania ruchu, rozwiązanie równania ruchu.
2. Masywna cząstka poruszająca się po okręgu: podać postać warunku dla więzów, wyprowadzić Lagranżjan i równanie ruchu.
3. Oscylator harmoniczny w jednym, dwóch i trzech wymiarach:
wyprowadzić Lagranżjan i równanie ruchu. Rozwiązania równania ruchu.
4. Cząstka swobodna w trzech wymiarach: wyprowadzić Lagranżjan i równanie ruchu. Rozwiązania równania ruchu.
5. Punkt materialny w polu siły ciężkości: wyprowadzić Lagranżjan
i równanie ruchu. Rozwiązania równania ruchu.
6. Wahadło: podać postać warunku dla więzów, wyprowadzić Lagranżjan i równanie ruchu. Rozwiązanie równania ruchu w przypadku małych kątów oscylacji.
7. Ruch na płaszczyźnie opisany współrzędnymi biegunowymi:
Wyprowadzenie
Lagranżjanu cząstki w potencjale centralnym V (r),
p
2
2
r = x +y ;
8. Siły centralne: Policzyć energię potencjalną w przypadku ogólnej
~ = ϕ(r) ~r
siły centralnej F
r