yxf - Beata Milczek

RACHUNEK RÓŻNICZKOWY FUNKCJI WIELU
ZMIENNYCH
Wykorzystano:
Krzysztof KOŁOWROCKI
MATEMATYKA
Wykład dla studentów Część 1
Definicja 1
Otoczeniem O ( P0 , ε ) punktu P0 ( x0 , y0 )
o promieniu ε nazywamy zbiór punktów takich, że
( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 < ε 2 .
Definicja 2
Sąsiedztwem S ( P0 , ε ) punktu P0 ( x0 , y0 )
o promieniu ε nazywamy zbiór punktów takich, że
0 < ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 < ε 2 .
Wniosek
S ( P0 , ε ) ⊂ O( P0 , ε ) ,
O( P0 , ε ) \ S ( P0 , ε ) = P0 .
1
Definicja 3
Funkcją dwóch zmiennych x i y , określoną w zbiorze
D płaszczyzny Oxy , nazywamy przyporządkowanie
każdemu punktowi P ( x, y ) tego zbioru dokładnie
jednej liczby rzeczywistej z , co zapisujemy w postaci
z = f ( x, y ), ( x, y ) ∈ D
x i y nazywamy zmiennymi niezależnymi, natomiast
z zmienną zależną lub wartością funkcji f ( x, y ) w
punkcie P ( x, y ). Zbiór D nazywamy dziedziną
funkcji f ( x, y ) , natomiast zbiór D −1 wartości jakie
przyjmuje zmienna z nazywamy przeciwdziedziną tej
funkcji.
Uwaga
Jeśli funkcja f ( x, y ) jest określona wzorem i
dziedzina jej nie jest podana, to przyjmujemy, że jest
nią zbiór wszystkich punktów P ( x, y ) płaszczyzny
Oxy dla których wzór ten ma sens liczbowy.
2
Przykład
Wyznaczyć dziedzinę funkcji
z = ln( x 2 + 4 y 2 − 16) + arcsin(2 x − 1).
Rozwiązanie:….
Definicja 4
Wykresem funkcji
z = f ( x, y ), ( x, y ) ∈ D,
nazywamy powierzchnię
π = {( x, y, z ) : ( x, y ) ∈ D, z = f ( x, y )},
będącą zbiorem punktów P ( x, y, z ) przestrzeni Oxyz
takich, że
( x, y ) ∈ D oraz z = f ( x, y ).
Przykład
z = x2 + y2 , D = R2.
Rozwiązanie: …
Przykład
Wykreślić funkcję
3
z = 4 − x2 − y2 .
Rozwiązanie: …
Definicja 5
Ciąg punktów Pn ( x n , y n ), n = 1,2,..., płaszczyzny
Oxy jest zbieżny do punktu P0 ( x 0 , y 0 ), co
zapisujemy
Pn → P0 ,
n →∞
jeśli
lim d ( Pn , P0 ) = 0,
n →∞
gdzie
d ( Pn , P0 ) = ( x n − x 0 ) 2 + ( y n − y 0 ) 2 ,
jest odległością pomiędzy punktami Pn i P0 .
Wniosek
Pn → P0 ⇔ lim x n = x 0 ∧ lim y n = y 0 .
n →∞
n →∞
n →∞
4
Definicja 6
Liczbę g nazywamy granicą funkcji f ( x, y ) w
punkcie P0 ( x0 , y 0 ), co zapisujemy
lim f ( x, y ) = g lub lim f ( P ) = g ,
x → x0
y → y0
P → P0
jeśli dla każdego ciągu punktów
Pn ( x n , y n ), n = 1,2,..., Pn ≠ P0 , zbieżnego do punktu
P0 ( x 0 , y 0 ), ciąg f ( Pn ) = f ( x n , y n ), n = 1,2,...,
wartości funkcji jest zbieżny do g .
Definicja 7
Granicę
lim f ( x, y ) = g
x → x0
y → y0
nazywamy granicą podwójną funkcji
punkcie P0 ( x 0 , y 0 ) , natomiast granice
f ( x, y ) w
lim [ lim f ( x, y )] = g1, lim [ lim f ( x, y )] = g 2
x → x0 y → y0
y → y0 x → x0
nazywamy granicami iterowanymi funkcji f ( x, y ) w
punkcie P0 ( x 0 , y 0 )
5
Uwaga
Istnienie granicy podwójnej funkcji jest niezależne od
istnienia granic iterowanych tej funkcji. Kolejność
obliczania w granicach iterowanych jest istotna, tzn.
granice g1 oraz g 2 nie muszą być równe.
Przykład
Obliczyć granicę podwójną oraz granice iterowane
funkcji
f ( x, y ) =
x
w punkcie P0 (0,0).
x+ y
Rozwiązanie: …
Definicja 8
Funkcja f ( x, y ) jest ciągła w punkcie P0 ( x 0 , y 0 ) ,
jeśli ma w tym punkcie granicę podwójną g równą
wartości f ( x0 , y 0 ) funkcji w tym punkcie, tzn. jeśli
lim f ( x, y ) = g ∧ g = f ( x 0 , y 0 ).
x → x0
y → y0
Przykład
Zbadać ciągłość funkcji
f ( x, y ) =
x
x +y
2
2
w punkcie P0 (1,1).
Rozwiązanie: …
6
Niech z = f ( x, y ) będzie funkcją określoną i
ograniczoną w otoczeniu O ( P0 , ε ) punktu
P0 ( x 0 , y 0 ) oraz niech dx będzie przyrostem zmiennej
x , natomiast dy przyrostem zmiennej y takimi, że
( x0 + dx, y0 + dy ) ∈ O ( P0 , ε ).
Definicja 9
Jeżeli istnieje granica
∂f ( x 0 , y 0 )
f ( x 0 + dx, y 0 ) − f ( x 0 , y 0 )
= lim
,
∂x
dx
dx →0
to nazywamy ją pochodną cząstkową rzędu pierwszego
funkcji f ( x, y ) względem zmiennej x w punkcje
P0 ( x 0 , y 0 ).
Jeżeli istnieje granica
∂f ( x 0 , y 0 )
f ( x 0 , y 0 + dy ) − f ( x 0 , y 0 )
= lim
,
∂y
dy
dy →0
to nazywamy ją pochodną cząstkową rzędu pierwszego
funkcji f ( x, y ) względem zmiennej y w punkcje
P0 ( x 0 , y 0 ).
Jeśli granica te nie istnieją, to funkcja f ( x, y ) nie
posiada pochodnych cząstkowych w punkcie
P0 ( x 0 , y 0 ) .
7
Inne oznaczenia pochodnych cząstkowych funkcji
f ( x, y ) w punkcie P ( x, y ) względem zmiennej x
oraz względem zmiennej y :
∂f
∂z
∂f
∂z
, f x , , z x oraz
, f y, , zy.
∂x
∂x
∂y
∂y
Wniosek
∂f ( x 0 , y 0 )
= tgα ,
∂x
gdzie α jest kątem jaki tworzy styczna do krzywej
z = f ( x, y ), y = y0
poprowadzona w punkcie ( x 0 , y 0 , f ( x 0 , y 0 ))
powierzchni z = f ( x, y ), z dodatnim kierunkiem osi
Ox, natomiast
∂f ( x0 , y 0 )
= tgβ ,
∂y
gdzie β jest kątem jaki tworzy styczna do krzywej
z = f ( x, y ), x = x0
poprowadzona w punkcie ( x 0 , y 0 , f ( x 0 , y 0 ))
powierzchni z = f ( x, y ), z dodatnim kierunkiem osi
Oy.
8
Definicja 10
Funkcję f ( x, y ) posiadającą ciągłe pochodne
cząstkowe pierwszego rzędu w punkcie P0 ( x 0 , y 0 )
nazywamy różniczkowalną w tym punkcie. Jeśli
funkcja f ( x, y ) posiada pochodne cząstkowe w
każdym punkcie ( x, y ) zbioru D , to nazywamy ją
różniczkowalną w tym zbiorze. Znajdowanie
pochodnych cząstkowych funkcji nazywamy
różniczkowaniem.
Przykład
Korzystając z definicji pochodnych cząstkowych
znaleźć
∂f
∂f
oraz
, jeśli
∂x
∂y
f ( x, y ) = xy dla ( x, y ) ∈ D = R 2 .
Rozwiązanie: Zgodnie z definicją mamy
f ( x + dx, y ) − f ( x, y )
∂f
= lim
=
∂x dx→0
dx
ydx
( x + dx) y − xy
= lim
= y,
= lim
dx
dx →0
dx →0 dx
∂f
= P.W .S ....
∂y
9
Uwaga
∂f
funkcji f ( x, y ) obliczamy
Pochodną cząstkową
∂x
tak jak pochodną funkcji jednej zmiennej x, traktując
zmienną
y jako stałą, natomiast pochodną cząstkową
∂f
funkcji f ( x, y ) obliczamy tak jak pochodną
∂y
funkcji jednej zmiennej y , traktując zmienną x jako
stałą.
Uwaga
Podobnie definiujemy, oznaczamy i obliczamy
pochodne cząstkowe funkcji trzech zmiennych
f ( x, y, z ) oraz funkcji większej liczby zmiennych
niezależnych.
Przykład
Wyznaczyć f x oraz f y , jeśli
f ( x, y ) = xe 2 y + x sin xy.
Rozwiązanie:
f x = e 2 y + sin xy + x cos xy ⋅ y =
= e 2 y + sin xy + xy cos xy,
f y = xe 2 y 2 + x cos xy ⋅ x = 2 xe 2 y + x 2 cos xy.
10
Definicja 11
Pochodne cząstkowe pierwszego rzędu pochodnych
cząstkowych
∂f ∂f
i
∂x ∂y
nazywamy pochodnymi cząstkowymi drugiego rzędu
funkcji z = f ( x, y ) .
Pochodne te oznaczamy następująco:
∂ ∂f
∂2 f
∂2z
( )=
= f xx =
= z xx ,
2
2
∂x ∂x
∂x
∂x
∂2 f
∂2z
∂ ∂f
( )=
= f xy =
= z xy ,
∂y ∂x
∂x∂y
∂x∂y
∂2 f
∂2z
∂ ∂f
( )=
= f yx =
= z yx ,
∂x ∂y
∂y∂x
∂y∂x
∂2z
∂ ∂f
∂2 f
( )=
= f yy =
= z yy .
2
2
∂y ∂y
∂y
∂y
11
Twierdzenie (Schwarza)
Jeśli funkcja f ( x, y ) ma w pewnym zbiorze D ⊂ R 2
ciągłe pochodne cząstkowe mieszane rzędu drugiego,
to w każdym punkcie tego obszaru zachodzi równość
∂2 f
∂2 f
=
.
∂x∂y ∂y∂x
Uwaga
Funkcja f ( x, y ) ma trzy różne pochodne cząstkowe
drugiego rzędu. Są nimi:
f xx , f xy , f yy .
Definicja 12
Pochodne cząstkowe rzędu pierwszego pochodnych
cząstkowych
∂2 f ∂2 f ∂2 f ∂2 f
,
,
,
2 ∂x∂y ∂y∂x
∂x
∂y 2
rzędu drugiego nazywamy pochodnymi cząstkowymi
rzędu trzeciego funkcji z = f ( x, y ) .
12
Uwaga
Twierdzenie Schwarza o równości pochodnych
mieszanych jest także prawdziwe dla pochodnych
cząstkowych trzeciego rzędu funkcji f ( x, y ), a
mianowicie w punktach ich ciągłości mamy
∂3 f
∂3 f
∂3 f
=
=
∂x∂y∂x ∂y∂x∂x ∂x∂x∂y
∂3 f
∂3 f
∂3 f
oraz
=
=
.
∂y∂x∂y ∂x∂y∂y ∂y∂y∂x
Kolejność różniczkowania nie jest istotna oraz, że
funkcja dwóch zmiennych f ( x, y ) ma cztery różne
pochodne cząstkowe 3-go rzędu i są nimi:
f xxx , f xxy , f yyx , f yyy
Definicja 13
Pochodne cząstkowe rzędu pierwszego pochodnych
cząstkowych rzędu n-1 funkcji f ( x, y ) nazywamy
pochodnymi cząstkowymi rzędu n tej funkcji.
Różnych pochodnych cząstkowych rzędu n funkcji
f ( x, y ) jest n +1.
13
Definicja 14
Przyrostem funkcji z = f ( x, y ) w punkcie
P0 ( x 0 , y 0 ) odpowiadającym przyrostowi dx
argumentu 0, oraz przyrostowi dy argumentu y
nazywamy liczbę
∆f ( x0 , y0 ) = f ( x0 + dx, y0 + dy ) − f ( x0 , y0 ).
Definicja 15
Różniczką zupełną funkcji z = f ( x, y ) w punkcie
P0 ( x 0 , y 0 ) odpowiadającym przyrostowi dx
argumentu f ( x, y ) oraz przyrostowi dy argumentu y
nazywamy liczbę
df ( x0 , y0 ) =
∂f ( x0 , y0 )
∂f ( x0 , y0 )
dx +
dy.
∂x
∂y
Pomiędzy przyrostem i różniczką funkcji zachodzi
następująca przybliżona zależność
∆f ( x0 , y0 ) ≅ df ( x0 , y0 ),
a stąd:
f ( x0 + dx, y0 + dy ) ≅
∂f ( x0 , y0 )
∂f ( x0 , y0 )
≅ f ( x0 , y0 ) +
dx +
dy
∂x
∂y
Przykład
Obliczyć przybliżoną wartość wyrażenia
w = (3.98) 2 + (3.01) 2 .
Rozwiązanie:…
14
Definicja 16
Funkcja f ( x, y ) ma w punkcie P0 ( x 0 , y 0 )
maksimum lokalne, gdy dla każdego punktu P ( x, y ) z
pewnego sąsiedztwa tego punktu zachodzi nierówność
f ( x, y ) ≤ f ( x 0 , y 0 ) ( f ( x, y ) < f ( x 0 , y 0 ) ).
Funkcja f ( x, y ) ma w punkcie P0 ( x 0 , y 0 ) minimum
lokalne, gdy dla każdego punktu P ( x, y ) z pewnego
sąsiedztwa tego punktu zachodzi nierówność
f ( x, y ) ≥ f ( x 0 , y 0 ) ( f ( x, y ) > f ( x 0 , y 0 ) ).
Maksima i minima nazywamy ekstremami. Zamiast
ekstremum lokalne mówimy także krótko ekstremum.
Twierdzenie (warunek konieczny istnienia
ekstremum)
Jeżeli funkcja f ( x, y ) ma ekstremum w punkcie
P0 ( x 0 , y 0 ) i ma w tym punkcie pochodne cząstkowe
pierwszego rzędu, to
 ∂f ( x 0 , y 0 )
=0

∂x
 ∂f ( x 0 , y 0 )
= 0.

∂y

15
Wniosek
Funkcja może mieć (nie musi) ekstremum tylko w
punktach, w których jej pochodne cząstkowe są równe
zeru albo nie istnieją.
Twierdzenie (warunek wystarczający istnienia
ekstremum)
Jeżeli funkcja z = f ( x, y ) ma w pewnym otoczeniu
punktu P0 ( x 0 , y 0 ) ciągłe pochodne cząstkowe do
rzędu 2, a ponadto spełniony jest warunek konieczny
 f x ( P0 ) = 0
 f ( P ) = 0.
 y 0
oraz
i) f xx ( P0 ) < 0,
f xx ( P0 )
W2 ( P0 ) =
f yx ( P0 )
f xy ( P0 )
> 0,
f yy ( P0 )
to funkcja ma w punkcie P0 ( x 0 , y 0 ) maksimum
z max = f ( x 0 , y 0 )
ii) f xx ( P0 ) > 0,
f xx ( P0 ) f xy ( P0 )
W2 ( P0 ) =
> 0,
f yx ( P0 ) f yy ( P0 )
to funkcja ma w punkcie P0 ( x 0 , y 0 ) minimum
z min = f ( x 0 , y 0 ).
16
Uwaga
Jeśli spełniony jest warunek konieczny
 f x ( P0 ) = 0
 f ( P ) = 0.
 y 0
oraz W2 ( P0 ) = 0, to funkcja f ( x, y ) może mieć lub
też nie mieć ekstremum w punkcie P0 . Należy wtedy,
zgodnie z definicją ekstremum, badać zachowanie się
znaku przyrostu funkcji w otoczeniu punktu P0 . Jeśli
natomiast W2 ( P0 ) < 0, to funkcja f ( x, y ) nie posiada
ekstremum w punkcie P0 .
Poszukiwanie ekstremum funkcji różniczkowalnej
f ( x, y ) sprowadza się zatem do:
10 znalezienia punktów stacjonarnych, poprzez
rozwiązanie układu równań
 fx = 0
 f = 0,
 y
20 sprawdzenia czy wyznacznik
f xx
W2 =
f yx
f xy
f yy
w punktach stacjonarnych jest dodatni,
3 zbadania znaku pochodnej f xx w tych punktach
stacjonarnych, w których wyznacznik W2 jest dodatni.
0
17