Zestaw zadań maturalnych

Zestaw zadań
maturalnych
z matematyki
2011/2012
Opracował: Tomasz Piwowarski
WYRAŻENIA ALGEBRAICZN
Zdający posiada umiejętności w zakresie:

wykorzystania i tworzenia informacji: interpretuje tekst matematyczny i
formułuje uzyskane wyniki

wykorzystania i interpretowania reprezentacji: używa prostych, dobrze
znanych obiektów matematycznych

modelowania matematycznego: dobiera model matematyczny do prostej
sytuacji

użycia i tworzenia strategii: stosuje strategię, która jasno wynika z
treści zadania

rozumowania i argumentacji: prowadzi proste rozumowanie, składające
się z niewielkiej liczby kroków.
Zdający demonstruje poziom opanowania powyższych umiejętności,
rozwiązując zadania, w których:
1.
posługuje się wzorami skróconego mnożenia: (a ± b)2 , (a ± b)3, a2- b2 ,
a3 ± b3,
2.
rozkłada wielomian na czynniki stosując wzory skróconego mnożenia,
grupowanie wyrazów, wyłączanie wspólnego czynnika poza nawias,
3.
dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany,
4.
wyznacza dziedzinę prostego wyrażenia wymiernego z jedną zmienną, w
którym w mianowniku występują tylko wyrażenia dające się sprowadzić do
iloczynu wielomianów liniowych i kwadratowych za pomocą przekształceń
opisanych w punkcie 2,
5.
oblicza wartość liczbową wyrażenia wymiernego dla danej wartości
zmiennej,
6.
dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli wyrażenia wymierne; skraca i rozszerza
wyrażenia wymierne.
Zadania zamknięte
W zadaniach od 1-19 wybierz i zaznacz jedną poprawną odpowiedź.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
Zadania krótkiej odpowiedzi
1. Wielomiany W ( x)  axx  b i V ( x)  x 3  2 x 2  x są równe. Oblicz a i b.
3
x
2. Wyrażenie
zapisz w postaci ilorazu dwóch wielomianów.

x  3 x 1
3. Wykaż, że suma pierwiastków wielomianu W ( x)  x 3  x 2  4 x  4
jest równa 1.
4. Rozłóż wielomian W ( x)  x 3  3x 2  2 x  6 na czynniki liniowe.
5. Wykaż, stosując wzór skróconego mnożenia, że liczba 4 9  39 jest podzielna
przez 91.
8  34  311  9  312
6. Oblicz:
.
46  314
2

 
2

2
7. Oblicz wartość wyrażenia 1  a 1  1  a 1 dla a  2 . Wynik przedstaw w
postaci potęgi o podstawie 8.
8. Bok kwadratu jest o 2 cm krótszy od przekątnej. Oblicz długość boku tego
kwadratu. Wynik przedstaw w postaci a  b c , gdzie a, b, c  C i c  0 .
9. W trójkącie równobocznym wysokość ma długość 3  3 . Wykaż, że długość
boku tego trójkąta należy do przedziału 5;6 .
a2 1 a 1

10.Wykaż, że jeśli a  0 , to
.
a 1
2
Zadania rozszerzonej odpowiedzi
1. Oblicz wartość liczbową wyrażenia x 3  y 3 , gdy x  y  3 i xy  2 .
2. Wykaż, że dla każdych liczb rzeczywistych x, y różnych od zera, takich, że
 x
2 xy
x   2x 
:
 jest liczbą
x  y  x   y wartość wyrażenia 
 2

2
x  y   x  y 
x y x  y
całkowitą.
3. W trójkącie prostokątnym długość jednej z przyprostokątnych i długość
przeciwprostokątnej są kolejnymi liczbami naturalnymi. Obwód tego trójkąta
jest liczbą parzystą. Wyznacz najmniejsze możliwe długości boków tego
trójkąta. Rozważ dwa przypadki.
a

2
 a 3
4. Przedstaw wyrażenie
w postaci potęgi o podstawie a ( a  0 ).
a 5 : a 18
Porównaj wartość danego wyrażenia dla a  2 z liczbą 711 . Odpowiedź
uzasadnij.
7