układy równań liniowych

OPERACJE NA MACIERZACH – DODAWANIE
I ODEJMOWANIE MACIERZY
Dodawanie i odejmowanie macierzy jest możliwe tylko dla
dwóch macierzy o takich samych wymiarach! Wynikiem tych
operacji jest macierz o takich samych wymiarach jak składniki.
Elementy macierzy wynikowej są sumą odpowiednich elementów
składników.
OPERACJE NA MACIERZACH – MNOŻENIE
MACIERZY PRZEZ SKALAR
Mnożenie przez skalar (dowolną liczbę rzeczywistą) polega na
pomnożeniu każdego elementu macierzy przez tą liczbę.
Mnożenie przez skalar jest przemienne.
OPERACJE NA MACIERZACH –
TRANSPOZYCJA MACIERZY
Transpozycja macierzy polega na zamianie miejscami kolumn i
wierszy macierzy, tak by pierwszy wiersz stał się pierwszą
kolumną itd.
OPERACJE NA MACIERZACH – ILOCZYN
MACIERZY
Wynikiem mnożenia macierzy An m Bm k jest macierz
C o wymiarze nxk.
Każdy element macierzy C – cij jest równy iloczynowi
skalarnemu i-tego wiersza macierzy stojącej po lewej
stronie znaku mnożnie, przez j-tą kolumnę macierzy
stojącej po prawej stronie znaku mnożenia.
x
x
OPERACJE NA MACIERZACH –
WYZNACZNIK MACIERZY
Wyznacznikiem nazywamy, takie odwzorowanie,
które danej macierzy kwadratowej A = [aij]n×n
przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę
rzeczywistą.
Wyznacznik oznaczamy symbolicznie detA lub |A|.
OPERACJE NA MACIERZACH – MACIERZ
ODWROTNA
Wyznaczanie macierzy odwrotnej metodą dopełnień
algebraicznych:
gdzie D – macierz dopełnień algebraicznych.
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH –
METODA CRAMERA
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH –
METODA CRAMERA
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH –
METODA CRAMERA
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH –
METODA CRAMERA
Jeżeli |W| ≠ 0 to układ równań jest oznaczony –
ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Jeżeli |W| = |W1| = |W2| =...= |Wn| = 0 to układ może być
sprzeczny (brak rozwiązań) lub nieoznaczony
(nieskończenie wiele rozwiązań).
Jeżeli |W| = 0 oraz nie wszystkie wyznaczniki macierzy
pomocniczych są jednocześnie równe zeru, to układ jest
sprzeczny.
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH –
METODA MACIERZY ODWROTNEJ
Układ równań liniowych:
można zapisać w postaci macierzowej:
Ax = b
gdzie:
UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH –
METODA MACIERZY ODWROTNEJ
Jeżeli macierz A jest nieosobliwa to można znaleźć
macierz odwrotną do niej A-1.
Mnożąc obie strony równania przez A-1 otrzymujemy:
A-1 · Ax = A-1 b
Wiedząc, że A-1 · A = I, otrzymujemy
x = A-1 b
EXCEL – SKRÓTY KLAWIATUROWE
Popularne skróty klawiaturowe:
Ctrl + N – NOWY, PUSTY SKOROSZYT
Ctrl + O – OTWIERANIE
Ctrl + S - ZAPISZ
Ctrl + A – ZAZNACZENIE BIEŻĄCEGO REGIONU/CAŁEGO ARKUSZA
Ctrl + C – KOPIUJ
Ctrl + V – WKLEJ
Ctrl + X - WYTNIJ
Ctrl + F – WYSZUKAJ
Ctrl + H – ZAMIEŃ
Ctrl + Z – COFNIJ POLECENIE
Ctrl + Y – POWTÓRZ POLECENIE
EXCEL – SKRÓTY KLAWIATUROWE
Popularne skróty klawiaturowe:
Ctrl + B – FORMATOWANIE POGRUBIONE
Ctrl + U – PODKREŚLENIE
Ctrl + I – KURSYWA
Nawigacja i zaznaczanie komórek:
Ctrl + pokrętło myszy – POWIĘKSZENIE (ZOOM)
Ctrl + PageUp – POPRZEDNI ARKUSZ W SKOROSZYCIE
Ctrl + PageDown – NASTĘPNY ARKUSZ W SKOROSZYCIE
Ctrl + Tab – PRZECHODZENIE MIĘDZY PLIKAMI EXCELA
Ctrl + KLAWISZ STRZAŁKI – PRZEJŚCIE DO KRAWĘDZI BIEŻĄCEGO
OBSZARU DANYCH W ARKUSZU
SHIFT + KLAWISZ STRZAŁKI – ROZSZERZENIE ZAZNACZENIA O
JEDNĄ KOMÓRKĘ
EXCEL – SKRÓTY KLAWIATUROWE
Ctrl + Shift + KLAWISZ STRZAŁKI – ROZSZERZENIE ZAZNACZENIA
DO OSTATNIEJ NIEPUSTEJ KOMÓRKI W TEJ SAMEJ
KOLUMNIE LUB W TYM SAMYM WIERSZU
Ctrl + Home – PRZEJŚCIE NA POCZĄTEK ARKUSZA
Ctrl + End – PRZEJŚCIE NA KONIEC ARKUSZA
Ctrl + Spacja – ZAZNACZENIE BIEŻĄCEJ KOLUMNY
SHIFT+ Spacja - ZAZNACZENIE BIEŻĄCEGO WIERSZA
Alt + Enter – Rozpoczyna nowy wiersz w bieżącej komórce
Shift + Enter – Kończy wprowadzanie tekstu w komórce i
przechodzi do komórki powyżej
Ctrl + Enter – Kończy wprowadzanie tekstu w komórce i nie
przechodzi do innej komórki/
Wypełnia zaznaczony zakres komórek bieżącym wpisem
EXCEL – SKRÓTY KLAWIATUROWE
Inne skróty klawiaturowe w programie Excel:
Strona internetowa pakietu Office:
http://office.microsoft.com/pl-pl/excel-help/skrotyklawiaturowe-w-programie-excel-2010-HP010342494.aspx
i pomoc programu Excel (F1).